§2. Caên thöùc baäc haivaø haèng ñaúng thöùc
A A =2
.
Ñònh lí: Vôùi moïi soá thöïc a, ta coù
a
a =2
2
2
0
a
a
vaø
a
≥
=
.
)
2
a
a
a neân
2)a(
=
2
Neáu a < 0, ta coù
a
2)
a
a
= 2)a(
neân
( −=
=
−=
2)
a ( a = a2 vôùi moïi a.
Do ñoù,
.
Maø theo ñònh nghóa giaù trò tuyeät ñoái thì
0≥a
Vaäy :
Chöùng minh: Theo ñònh nghóa caên baäc hai soá hoïc, ta phaûi chöùng minh ( Thaät vaäy : Neáu a ≥ 0, ta coù
a a =2
Baøi taäp
6.
Tìm ñieàu kieän cuûa x ñeå caùc caên baäc hai sau coù nghóa
a.
2x− 5−− x
b.
2x
−
+
6x 7 +
c.
d.
2
2
2
e.
x 1 − x 2 +
2
x
0
x
0
2x−
a.
coù nghóa ⇔ 2 x−
≥ ∀ . Vaäy x = 0
x + 4
Giaûi ≥ . Maø 0 5
5−− x
x⇔ − − ≥
b.
.
coù nghóa 5
x⇔ =
0
x − ≤ 5
5−− x
Vaäy
coù nghóa khi x = 5
2x
6x 7
−
+
+ coù nghóa
c.
6
x
x
7
0
x
−
≤
7 0 + ≥ )
⇔ − ( x ⇔ +
7
2 6 + )( 1 x 1 ⇔ − ≤ ≤ 2
2
1
x
+
d.
coù nghóa
1 0
+ ≥ ≥ 0
2 − x 2 2 x )21
x ⇔ − ( x⇔ −
2
Ta ñöôïc moät BÑT luoân ñuùng vôùi moïi x , vaäy caên thöùc treân luoân xaùc ñònh vôùi moïi x ∈ R 4
0 ,
x
x
e. Ta coù :
+ > ∀ . Vaäy caên thöùc naøy luoân xaùc ñònh vôùi
moïi x ∈ R
7. Tính
a.
324 +
347 −
b.
a.
4 2 3
3 2 3 1
+
=
+ =
+
=
+ 3 1
2
b.
7 4 3
2
2.2 3 3
3
3
2
−
=
−
2 = −
+ =
−
)2
Giaûi )2 ( 3 1 + (do 3 1 0 + > ) ( 3
(do 2
−
0 > )
8. Ruùt goïn :
2
x
1
+
2
a.
A
x
=
+
−
(
) 1
x 2 + 1 x + 2
2
4
x
8
x
16
B x =
4 − +
+
+
b.
Giaûi
a. A =
7
x 1 + − x x 1 + + 1
khi x > -1 x 1 + − x x ⎧ ⎪⎪ = ⎨
khi x<-1 1 ⎪− − + x ⎪ ⎩
x 1 + 1 + 1 x + x 1 + khi x > 1 −
2
4
2
b.
-x khi x < -1 ⎧ = ⎨ ⎩
2
4
2
2
2
x 8 x 16 B x = 4 − + + +
2
2
4 + = − + (do x2 + 4 >0)
x x 8 x 16 x x 4 − + + 4 +
2
b)
a)
4 x + 4 − +
d)
c)
x = 22x= 9. Tìm x bieát: 2x = 7 8 −=x
2x = 3x – 8.
4 =x
9
Giaûi
a.
2x = 7
2
b.
7 x x ⇔ = ⇔ = ± 7
4
2
c.
x
9
x
x
= ⇔ = ⇔ = ± 3 9
x 8 x x = − ⇔ = ⇔ = ± 8 8
d.
2x = 3x – 8
+ + +
x x x 3 8 4 = = x 3 x ⇔ = 8 − ⇔ ⇔ x − x x 8 2 3 = − + = ⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣
=
10. Chöùng toû: 4 1 14 −= 9 4 49 −= 16 9 16 9 = − Haõy vieát tieáp 25 + 16 + 25
36 =
4 1 4 1
(
)
Ta coù :
4 1 VP + = 4 1 = − = = 4 1 − 2 1 − 1 4
Giaûi )( −
Töông töï caùc em chöùng minh caùc ñaúng thöùc tieáp theo
8
− ) + (
Luyeän taäp
11. Tính a) 16
2
b)
25 196 : 49 +
18.3.2:36 169 −
c)
2
d)
81
2 3 +
a) 16 25
4
196 : 49 + =
Giaûi 4.5 14 : 7 10 +
2
2
2
b)
=
c)
81
9
=
3 =
2
d)
2 3
36 : 2.3 .18 169 36 : 3 .6 13 11 − = − = −
a)
b)
4 25 + = 5
= 12. Tìm x ñeå caên thöùc sau coù nghóa 3 +
2
c)
d)
1 x+
1 x+−1
7 4 2 +x − x
Giaûi
2
x
7 0
x
a.
coù nghóa khi
+ ≥ ⇔ ≥ −
7
2 +x
7 2
3
x
4 0
x
b.
coù nghóa khi
−
+ ≥ ⇔ ≤
4
− x
3 +
4 3
0
≥
c.
coù nghóa khi
x
x
1
0
1
⇔ − + > ⇔ >
1 x+−1
x x
0
1 ⎧ ⎪ 1 − + ⎨ ⎪− + ≠ 1 ⎩
2
luoân luoân ñöôïc xaùc ñònh do 1 + x2 > 0 x∀
1 x+
d. 13. Ruùt goïn 2
a)
2 a −5a vôùi a < 0
2
b)
c)
d)
25a + 3a vôùi a ≥ 0 49a + 3a2 vôùi a baát kì a − 3a3 vôùi a baát kì
645
Giaûi
2
a)
(vì a < 0)
a
a
a
a
a
a
a
2
5
2
5
2
5
7
−
=
−
= −
−
= −
9
2
b)
(vì a ≥ 0)
a
a
a
a
25
3 a
5
3 a
5
3 a
8
+
=
+
=
+
=
4
2
2
2
2
c)
9
a
a 3
a 3
a 3
6
a
+
=
+
=
6
3
3
3
a
a
5 4
3 a
10
3 a
d)
−
=
−
3
3
a
a 3
3 a 7 khi
a
0
−
=
≥
3
3
10
a
a 3
3 13 khi
a
a
0
−
−
= −
<
⎡ 10 = ⎢ ⎣
x + 3
x + 5
b) x2 – 6 d) x2 −
32
52
2
)3(
x (
)(3
)3
=
−
x +
14. Phaân tích thaønh nhaân töû
a) x2 – 3 c) x2 + Höôùng daãn : x2 – 3 = x2 –
x
+
3
b. x2 – 6 = ( c. x2 + 32
5
d. x2 −
x −
52
Giaûi ) 6 )2 )2
b) x2 – 2 11 x + 11 = 0
2
d)
(
x
)2
2
x
1
2
+
=
+
)( 6 x − x + 3 =( x + x + 5=( 15. Giaûi phöông trình a) x2 – 5 = 0 4 2 c) x += x
2
a. x2 – 5 = 0
x
x
Giaûi 5
5 ⇔ = ⇔ = ±
b. x2 – 2 11 x + 11 = 0
x
11
11
0
= ⇔ =
( x ⇔ −
2
c.
x 2
4 x 2 2 x x x 2 = + ⇔ = + ⇔ 2 x = + x = − −
)2 2 ⎧ ⎡ ⎪⎢ x 2 ⎨⎣ ⎪ + ≥ x 2 0 ⎩
2 2
Keát luaän : x =2 hay x=
x x = − 2 ⇔= − 3 2 3 x =⎡ ⎢ ⎢ ⎢⎣ x ⎧ =⎡ ⎪⎢⎪ ⎢⇔ ⎨ ⎢ ⎣⎪ ⎪ ≥ − x 2 ⎩
10
2 − 3
2
d.
( x 2) 2 x 1 2 2 x + = x + ⇔ + = + 1
1 2 1 x x 2 + = + 1 = − 1 ⇔ ⇔ x ⇔ = 2 1 x x 2 + = − −
16. Ñoá: Haõy tìm choã sai trong pheùp chöùng minh sau:
2
2
3
2 3
2.3.
9 15
−
=
−
+
= −
+
6 = − +
=
5 2
5 2
5 2
25 4
1 4
25 4
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
2
2
2
2
2
2.2.
4 10
−
=
−
+
= −
+
6 = − +
=
5 2
5 2
5 2
25 4
1 4
25 4
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
2
⎞ ⎟ ⎠ 2
3
2
Vaäy :
−
=
−
5 2
5 2
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
Khai phöông hai veá ta coù :
3
2 − = −
5 2
5 2
Coäng hai veá treân cho
ta coù : 3 = 2 !!!
5 2
x ⎡ ⎢ ⎣ 2 1 0 + ≥ x ≥ − ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 1 2 x ⎧ =⎡ ⎪⎢ ⎪ x ⎣ ⎨ ⎪ ⎪⎩
Giaûi
Baøi toùan sai ôû choã khai phöông hai veá, ta coù
3
3
0
( do
−
3 = −
3 = −
− > )
5 2
5 2
5 2
⎛ ⎜ ⎝
(do
2
2
−
2 = −
2
0
− < )
5 2
5 = − 2
5 2
⎛ ⎜ ⎝
25 ⎞ ⎟ 2 ⎠ 25 ⎞ ⎟ 2 ⎠
(cid:153) Moät baøi töông töï khaùc Chöùng minh 3 = 4. Hoûi SAI ôû ñaâu ?
4 3
c
a b +
=
4 3 −
4 c 3 b
+ −
= +
) − −
4
3
a b c
=
a b c + −
4 b 4 c )
( 3 b 3 a (
3 c 3 c )
Giaûi söû a + b = c ) ( )( ⇔ − 3 4 a a − ⇔ − 4 4 b a = ⇔ + ( ⇔ + − 4 3 ⇔ =
11
BAØI TAÄP TÖÏ GIAÛI
Tìm giaù trò cuûa x ñeå moãi bieåu thöùc sau ñaây coù nghóa :
Baøi 1
2
a.
d.
4
x
5
+
−
b.
e.
x−4 2x
−
+
6x 7 +
4
1
x − 1 2 −x 3
f.
c.
2
( −xx
)1
8
x−
c.
Baøi 2
5
2 −a
≥
Phaân tích thaønh nhaân töû : a. a
(vôùi
0)
b.
− 9a 247 a−
d. 5 a− (vôùi a ≥ 0)
Baøi 3
Tính :
a.
c.
324 +
347 −
b.
d.
26
10
2
11 +
27 −
Baøi 4
x
(2
−
neáu )1
≥ 2x
a.
x
x
+
=
−
) 2 2
(
<
2
2x neáu
Chöùng minh raèng : ⎧ ⎨ ⎩
2
b.
Giaûi caùc phöông trình sau ñaây :
− 3 neáu > 3x 6 9 x x x − =−+ + 3 neáu ≤ 3x ⎧ ⎨ 2x- ⎩
Baøi 5
2
a.
x
2
b.
3 − x 6 9 =+
x
x
x
( 2
)1
2
c.
x
8
x
16
x
−
+
2
4 −= 2
d.
x
2
x
x
−
1 =+
6 − 9 =+ −
1 − Höôùng daãn :
12
Ñöa veà daïng :
A B = ⇔ A B
13
B = − B O ≥⎧ ⎪ =⎡⎨ ⎢⎪ A ⎣⎩
