B môn Tóan- Thng kê Khoa Kinh T-Lut HQG Tp.HCM
1
x
y
A

TP HP
I. Khái nim tp hp
1. Tp hp và phn t
Khái nim tp hp là mt trong nhng khái nim u tiên ca toán hc không ưc nh
ngha.
Do ó ta có th hiu mt cách ơn gin tp hp là mt gom góp các vt th mà ta gi là
phn t.
Ngưi ta kí hiu tp hp bi các ch in hoa A, B, C, …, X, Y… Các phn t ca tp hp
ưc kí hiu bi các ch in thưng a, b, …,x, y…
Ví d 1: Tp hp các s t nhiên t 1 n 10.
Tp hp ngưi Vit Nam.
Tp hp nhng ngưi yêu nhau.
Tp hp nhng bn nam trong lp cao trên 1,65m.
• Nu
x
là mt phn t ca tp hp
A
, ta kí hiu
x A
∈
.
• Nu
không là phn t ca tp hp
A
kí hiu
y A
∉
.
2. Cách xác nh tp hp
a) Lit kê phn t: Lit kê các phn t ca tp hp gia hai du
{
}
.
Ví d 2: a) Tp hp
A
nhng s t nhiên t 1 n 5 ưc kí hiu là
{
}
1, 2, 3, 4, 5
A=
.
b) Tp hp
B
nhng nghim thc ca phương trình
2
0
x x
− =
là
{
}
0, 1
B=
.
Ví d 3: Lit kê các phn t ca mi tp hp sau.
a) Không có gì quý hơn c lp t do.
b) Tp hp
A
các s chính phương không vưt quá 100.
b) Ch ra tính cht c trưng cho các phn t
Trong vài trưng hp, chng hn như cho A là tp hp các s nguyên dương, thì vic lit kê
phn t tr nên rt khó khn. Khi ó thay vì lit kê phn t ta có th ch ra tính cht c
trưng ca các phn t ó là A = { x x là s nguyên dương }.
Ví d 4: Tp hp
B
các nghim ca phương trình
2
2 5 3 0
x x
− + =
ưc vit theo tính cht
c trưng là
{
}
2
2 5 3 0
B x x x
= ∈ − + =
Tp hp
B
ưc vit theo cách lit kê phn t là:
3
1,
2
B
=
.
Vuihoc24h.vn
B
môn Tóan- Th
ng kê Khoa Kinh T
-Lu
t
HQG Tp.HCM
2
A
B
A
BC
Ví d 5: Cho tp hp
{
}
15, 10, 5, 0, 5, 10, 15
C= − − −
. Vit tp
C
b!ng cách ch rõ các tính
cht c trưng cho các phn t ca nó
Ví d 6: Xét tp hp
{
}
3 20
D n n= ∈ ≤ ≤
. Hãy vit tp
D
b!ng cách lit kê phn t ca nó
3. Tp hp rng
• Tp hp không ch"a phn t nào là tp hp rng, kí hiu là
∅
Ví d 7: Cho
{
}
2
1 0
E x x x
= ∈ + + =
thì
E
= ∅
vì phương trình
2
1 0
x x
+ + =
vô nghim
II. Tp hp con
1) nh ngha: Tp
A
ưc gi là tp con ca tp
B
và kí hiu là
A B
⊂
,
nu mi phn t ca tp hp
A
#u là phn t ca tp hp
B
.
Hay;
Thay cho
A B
⊂
, ta c$ng có th vit
B A
⊃
(c là
B
ch"a
A
)
Nu
A
không phi là tp con ca
B
, ta vit
A B
⊄
2) Tính cht: T nh ngha ta suy ra
a)
A A
⊂
, vi mi tp hp
A
b) Nu
,
A B B C
⊂ ⊂
thì
A C
⊂
c)
A
∅ ⊂
, vi mi tp hp
A
% Câu hi: Cho
{
}
1 3
A x x
= ∈ − ≤ ≤
. Hãy cho bit:
Các tp con ca
A
có ch"a phn t 2 và 3.
Các tp con ca
A
không ch"a 0, 1.
Hãy cho mt tp hp
C
tho
C A
⊄
và
{
}
1, 2, 3
C
− ⊂
.
III. Tp hp bng nhau
Khi
A B
⊂
và
B A
⊂
ta nói tp hp
A
b!ng tp hp
B
và vit là
A B
=
. Như vy
Ví d 8: Xét hai tp hp
{
A n n
= ∈
là bi ca 4 và
}
6
{
B n n
= ∈
là bi ca 12}
1) Hãy kim tra các kt lun sau:
a)
A B
⊂
b)
B A
⊂
(
)
A B x x A x B
⊂ ⇔ ∀ ∈ ∈
(
)
A B x x A x B
= ⇔ ∀ ∈ ⇔ ∈
Vuihoc24h.vn
B
môn Tóan- Th
ng kê Khoa Kinh T
-Lu
t
HQG Tp.HCM
3
A
BC
A
B
A
B
2) A có b!ng B không?
IV. Các phép toán trên tp hp
1. Giao ca hai tp hp
Cho hai tp hp
A
và
B
. Giao ca
A
và
B
,
kí hiu là
A B
∩
là tp hp các phn t va thuc
A
va thuc
B
T"c là
Ví d 1: Cho
{
}
1, 2, 3, 4, 5
A=
{
}
2 3
B x x
= ∈ − ≤ ≤
{
}
2
2 3 0
C x x x
= ∈ − =
a) Lit kê các phn t ca tp hp
B
và
C
b) Tìm
,
A B B C
∩ ∩
và
A C
∩
2. Hp ca hai tp hp
Cho hai tp hp
A
và
B
, hp ca hai tp hp
A
và
B
, kí hiu
A B
∪
là tp hp các phn t thuc
A
ho c thuc
B
T"c là
Ví d 2: Vi các tp hp
,
A B
và
C
trong ví d& 1 thì
{
}
................................
A B∪ =
{
}
.................................
B C∪ =
(
)
{
}
..................................
A B C∩ ∪ =
3. Hiu và phn bù ca hai tp hp
Cho hai tp hp
A
và
B
. Hiu ca hai tp hp
A
và
B
, kí hiu là
\
A B
là tp hp các phn t ch
thuc
A
nhưng không thuc
B
.
T"c là:
x A
x A B
x B
∈
∈ ∩ ⇔
∈
x A
x A B
x B
∈
∈ ∪ ⇔
∈
\
x A
x A B
x B
∈
∈ ⇔
∉
Vuihoc24h.vn
B
môn Tóan- Th
ng kê Khoa Kinh T
-Lu
t
HQG Tp.HCM
4
c bit: Khi
B A
⊂
thì phn hiu
\
A B
ưc gi
là phn bù ca
B
trong
A
. Kí hiu là
A
C B
Ví d 3: Cho
A
là tp hp các hc sinh lp 10 ang hc
trưng em và
B
là tp hp các hc sinh ang hc môn Ting Anh ca trưng em. Hãy
di'n t b!ng li các tp hp sau
a)
A B
∩
c)
\
A B
. b)
A B
∪
d)
\
B A
4. Mt s các tp con ca tp hp s thc
Trong các chương sau, ta thưng s d&ng các tp con sau ây ca tp s thc
Tên gi và kí hiu Tp hp Biu din trên trc s
Tp s thc
(
)
;
−∞ + ∞
on
[
]
;
a b
Khong
(
)
;
a b
Na khong
[
)
;
a b
Na khong
(
]
;
a b
Na khong
(
]
;
a
−∞
Na khong
[
)
; a
+ ∞
Khong
(
)
;
a
−∞
Khong
(
)
; a
+ ∞
{
}
x a x b
∈ ≤ ≤
..........................................
.......................................
.......................................
......................................
......................................
.......................................
.......................................
.......................................
Trong các kí hiu trên, kí hiu
−∞
c là âm cô cc, kí hiu
+∞
c là dương vô cc;
a
và
b
ưc gi là các u mút ca on, khong hay na khong .
Bài tp
1. a) Cho
A
=
{
20
x x
∈ <
và
x
chia ht cho 3}. Hãy lit kê các phn t ca tp hp
A
b) Cho tp hp
{
}
2, 6, 12, 20, 30
B=
. Xác nh
B
b!ng cách ch ra mt tính cht c
trưng cho các phn t ca nó
c) Hãy lit kê các phn t ca tp hp các hc sinh lp em cao dưi 1m60
2. Trong hai tp hp
A
và
B
dưi ây, tp hp nào là tp hp con ca tp hp còn li? Hai
tp hp
A
và
B
có b!ng nhau không?
a)
A
là tp hp các hình vuông
B
là tp hp các hình thoi
Vuihoc24h.vn
B
môn Tóan- Th
ng kê Khoa Kinh T
-Lu
t
HQG Tp.HCM
5
b)
A
=
{
n n
∈
là mt ưc chung ca 24 và 30}
B
=
{
n n
∈
là mt ưc ca 6}
3. Tìm tt c các tp con ca tp hp sau
a)
{
}
,
A a b
=
b)
{
}
0, 1, 2
B=
4. Lit kê các phn t ca các tp hp sau:
a)
{
}
2 1 16 .
A n n= ∈ + <
b)
{
}
2
16 .
B n n= ∈ <
c)
1 1
, ,và .
2 8
n
C x x n x
= = ∈ ≥
d)
( )
(
)
{
}
2
2 1 2 0 .
D x x x x= ∈ + − =
e)
{
}
2 , , 3 .
E x x k k k= ∈ = ∈ ≤
f)
{
}
2
4 0 .
F x x= ∈ − =
g)
{
}
2
.
G x x x
= ∈ >
h)
2
2
7 10 0
.
5 0
x x
H x x x
− + =
= ∈
− =
i)
{
}
4 .
K x x= ∈ <
j)
( )
(
)
{
}
2
1 2 0 .
L x x x x= ∈ − − =
5. Xác nh các tp hp sau b!ng phương pháp nêu tính cht c trưng:
a)
{
}
1, 3, 5, 7, 9, 11
A=
. b)
{
}
0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 .
B=
c)
1 1 1 1 1
, , , ,
4 8 16 32 64
C
=
. d)
{
}
0, 3, 6, 9, 12, 15
D=
6. Tp hp A có bao nhiêu tp con, nu:
a) A có 2 phn t. b) A có 3 phn t.
c) A có 4 phn t.
7. Cho
{
}
{
}
{
}
; ; , ; , , .
A B a C a b D a b c
= ∅ = = =
Hãy vit ra tt c các tp hp con ca A, B, C,
D.
8. Cho hai tp hp:
{
}
{ }
3 1
6 4 .
A k k
B l l
= + ∈
= + ∈
Ch"ng t( r!ng
B A
⊂
.
9. Cho tp hp
A
, hãy xác nh
, , , , ,
A A
A A A A A A C A C
∩ ∪ ∩∅ ∪ ∅ ∅
.
10. Cho 3 tp hp
{
}
1, 2, 3, 4, 5
A=
{
}
2, 4, 6
B=
{
}
1, 3, 5
C=
Vuihoc24h.vn