Chương 4 . BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Giáo án Đại số 10 Tiết 40 – Chương trình nâng cao

Giáo viên : Mai Trọng Đạt – Trường THPT Hai Bà Trưng

Chương 4 . BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài1 . BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

A.Mục tiêu : Qua bài học học sinh cần nắm vững :

1. Về kiến thức và kỹ năng : - Định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức

- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức như : biến đổi tương đương , phản chứng , biến đổi hệ quả , sử dụng các bất đẳng thức cơ bản .... Đặc biệt , học sinh vận dụng được các tính chất của bất đẳng thức ( thực chất là các phép biến đổi tương đương và phép biến đổi hệ quả ) , vận dụng được bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối để chứng minh được một số bất đẳng thức

2. Về tư duy : - So sánh , đối chứng , chọn lọc , thay đổi từ các tính chất của đẳng thức để có các tính chất của bất đẳng thức

của bất đẳng thức . Phân biệt được đâu là phép biến đổi hệ quả , đâu là phép biến đổi tương đương

3. Về thái độ : Cẩn thận , chính xác , chặt chẻ , biến đổi có cơ sở . Tạo cơ sở cho thực hiện các biến đổi bất phương trình sau này

B. Chuẩn bị : - HS cần ôn tập kiến thức về bất đẳng thức đã học ở THCS

- GV chuẩn bị bảng phụ tóm tắt phân loại các nhóm tính chất của bất đẳng thức

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng

C. Phương pháp : Phương pháp gợi mở vấn đáp thông qua các hoạt động điều khiển tư duy , đan xen các hoạt động nhóm

D. Tiến trình bài học và các hoạt động

Hoạt động 1: Giới thiệu tổng quan nội dung chương 4 và tầm quan trọng của chương trong toàn bộ chương trình đại số 10 và chương trình Toán THPT

Hoạt động 2 : Định nghĩa bất đẳng thức

TG Hoạt động của thầy giáo Hoạt động của học sinh Nội dung

- Có 3 khả năng ..... 1.Ôn tập và bổ sung các tính chất của bất đẳng thức

- a > b  a- b > 0 - So sánh 2 số thực a và b , có thể xảy ra những khả năng nào ? a > b ( a < b ; a ≥ b ; a ≤ b )  ? - Cho 2 số thực a , b . Các mệnh đề a > b ; a < b ; a ≥ b ; a ≤ b được gọi là những bất đẵng thức a < b  a - b < 0

a ≥ b  a - b ≥ 0 - Chứng minh một BĐT là khẳng định BĐT thức đó là một mệnh đề đúng

a ≤ b  a - b ≤ 0

Hoạt động 3: Ôn tập và bổ sung các tính chất của bất đẳng thức

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng

a



b

Với a>b và b>c thì a > c.

Tính chất 1.

 a > c

- Nêu các tính chất của bất đẳng thức đã học.



c

  b 

Tính chất 2. a > b  a + c > b + c.

*a > b  a + c > b + c.

- Gợi ý : + Cho a > b và b >c nhận xét gì về hai số a và c?

Thật vậy a > b  a - b > 0

+ Biết a > b với một số c bất kì so sánh a + c với b + c?

Hệ quả a > b + c  a - c > b(chuyển vế và đổi dấu)

 a + c - (b + c) > 0  a + c > b + c.

+Biến đổi tương đương bất đẳng thức a > b + c ?

Điều ngược lại cũng đúng.

a  b

Tính chất 3.

 a + c > b + d

 d   c 

+ Cho hai bất đẳng thức cùng chiều a > b và c > d , nhận xét gì về a + c và b + d?

a > b + c  a - c > b.

Chứng minh

a  b ba  0

+ Cho bất đẳng thức a > b và một số thực c  0. Nhận xét gì về ac và bc?

 a - b + c - d > 0 

a > b và c > d  a + c > b + d

 d dc  0   c    

a > b 

 a + c > b + d.

c > 0  ac > bc.

Chú ý: Không có quy tắc trừ hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.

Thật vậy

a > b  a - b > 0  c( a - b) >

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng

0

Tính chất 4.

 ac - bc > 0  ac > bc.

.

ac ac

 

bc bc

, ,

c c

 

0 0

 a > b   

Chứng minh.

* c > 0 : a > b  a - b > 0  c( a - b) > 0

 ac - bc > 0  ac > bc.

Chứng minh tương tự khi c < 0.

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng

a  b a b  0

+

 ac > bc

Tính chất 5

 ac > bd.  0  d  0   c    c 

Giúp hs phát hiện ra t/chất 5: Cho hai bất đẳng thức a > b > 0 và c > d > 0, nhận xét gì về ac và bd?

 d

Chứng minh.

+

 bc > bd  0 c   b  a  b

+

 ac > bc (1)  0  ac > bd.   c 

 d

+

 bc > bd (2)

Từ bđt 5 giúp hs thấy được t/chất 6 và 7 Cho a > b > 0

 0 c   b 

Từ (1) và (2) suy ra ac > bd.

Từ bất đẳng thức ở tính chất 5 ta có điều gì?

áp dụng tchất 5 ta có: a2 > b2 a và b ? Chứng

Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều.

So sánh minh?

Tính chất 6 a > b ≥ 0  an > bn ,  n  N*

giả sử a  b , áp dụng t/c 6 ta có a  b (vô lý).

b

Tính chất 7 a > b ≥ 0  a

Vậy a b .

3 b

a

Tính chất 8 a > b  3

Hệ quả *Nếu a > 0 và b > 0 thì a > b  a2 > b2.

*Nếu a  0 và b  0 thì a  b  a2  b2

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng

Hoạt động 4 : áp dụng các tính chất của bất đẳng thức

1. Không dùng bảng số hoặc máy tính , hãy so sánh hai số : 2 3 và 3

2. Chứng minh rằng : x2 > 2( x - 1)

3. Chứng minh nếu a, b , c là ba cạnh của một tam giác thì : ( b + c - a)( c + a - b)( a + b - c) ≤ abc

1. Gợi ý: Chứng minh phản chứng - Vận dụng tính chất 6 1/ Giả sử 2 3 ≤ 3  ......,  6 ≤ 4 . Vôlý

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng

hoặc biến đổi tương đương Vậy 2 3 > 3

≥ 0 ( Hiển nhiên )

2/ x2 > 2( x - 1)  x2 - 2x + 1 ≥ 0 - Giải tại chổ và trình bày cách giải bằng lời  ( x - 1)2 2. Làm rõ phương pháp chứng minh bđt bằng cách biến đổi tương đương và gợi ý hs tiếp tục vận dụng phương pháp đó để giải bài tập 2

3/ Ta có các bất đẳng thức hiển nhiên sau

a2 ≥ a2 - ( b - c )2 = ( a-b+c) (a+b-c) ≥ 0 3. Gợi ý phương pháp : Hãy xuất phát từ những bất đẵng thức quen thuộc trong tam giác và biến đổi để suy ra đpcm

b2 ≥ b2 - (c - a )2 = ( b-c+a) (b+c-a) ≥ 0

c2 ≥ c2 - ( a - b )2 = ( c-a+b) (c+a-b) ≥ 0

áp dụng tính chất 5 ta có :

a2b2c2 ≥ (b+c-a)2 (c+a-b)2 (a+b-c) 2

Tiếp tục áp dụng tính chất 7 thu được đpcm

Hoạt động 5 : Tìm kiếm các bất đẳng thức liên quan giá trị tuyệt đối

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng



;a

a

2. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối - Từ định nghĩa GTTĐ , ta có được những bất đẳng thức nào ? - HS suy nghĩ , phát biểu và bổ sung cho nhau a/ Từ định nghĩa ta có :

  IR

a

a

a

x

a

     . Với a > 0

x

 

a



b

x > a  x < -a hoặc x > a . Với a > 0

b/ Ta có a b . Thật vậy

2

2

a b

 

a



b

- HS liên hệ với kết quả tương tự ở vectơ , từ các ví dụ cụ thể để dự đoán và chứng minh 

 a b



(

a



b

)

2

2

2

2

a



2

 ab b



a



2

ab



b

-Hãy so sánh GTTĐ của tổng hai số với hiệu và tổng GTTĐ của hai số đó ? Liên hệ với kết quả tương tự ở vectơ ?

ab



 ab ( Hiển nhiên đúng )

a b b

a b

b

      



b

áp dụng BĐT trên cho 2 số a+b và -b ta có : a

  a b

 a

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng

b

 a b

 

a



b

Tóm lại : a

Hoạt động 6: Cũng cố kiến thức

- Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến đổi tương đương ? Nêu phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng phép biến đổi tương đương ? Các phép biếnđổi bất đẳng thức nào là phép biến đổi không tương đương ? Cách sử dụng pbđ không tương đương để chứng minh BĐT ?

Tổ Toán – Trường THPT Hai Bà Trưng