Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – January 2014
102
Chương 7: DÒNG CHẢY ĐỀU TRONG ỐNG
7.1 Phương trình cơ bản :
+ Xét đoạn dòng chảy đều trong đường ống có tiết diện A, giới hạn bởi 2 m/c 1-1 và 2-2, cách
nhau một đoạn L, và gọi O-O là mặt chuẩn cao độ (Hình H.7.1).
+ Áp dụng phương trình năng lượng giữa hai m/c 1-1 và 2-2 :
g
V
2
2
1
1
α
+
γ
1
p
+z1 =
g
V
2
2
2
2
α
+
γ
2
p
+z2 + hw 1-2 (7.1)
hw 1-2 : tổn thất năng lượng của dòng chảy từ m/c 1-1 đến 2-2 :
V1 , V2 : vận tốc tại m/c 1-1 và 2-2
p1 , p2 : áp suất tại m/c 1-1 và 2-2
z1 , z2 : cao độ trọng tâm của hai m/c 1-1 và 2-2
Vì là dòng chảy đều, nên V1 = V2 = V; và giả thiết α1 =α2 ⇒
hw 1-2 = (
γ
*
1
p
-
γ
*
2
p
) (7.2)
với
γ
*
p
=
γ
p
+z
+ Sự cân bằng lực :
- Lực khối : trọng lượng khối chất lỏng.
W = γ.A.L (7.3)
- Lực mặt :
• Áp lực tại m/c 1-1 : p1A
• Áp lực tại m/c 2-2 : p2.A
- Lực ma sát với thành rắn :
τo.χ.L
Với χ : chu vi ướt.
⇒ Tổng lực chiếu lên phương dòng chảy :
-γ.A.Lsin(α)+p1A-p2.A-τo.χ.L = 0 (7.4)
⇒ -Lsin(α) + (
γ
1
p
-
γ
2
p
) =
.
A
χ
.L =
γ
τ
o
.
o
R
L
mà -Lsin(α) = z1 - z2 ⇒
Vp
1
p
2
h
w 1-2
z
1
z
2
L
0 0
H.7.1
1
1
2
2
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – January 2014
103
z1 - z2 + (
γ
1
p
-
γ
2
p
) =
.
o
R
L
(
γ
*
1
p
-
γ
*
2
p
) = hw 1-2 =
γ
τ
o
.
o
R
L
Ta suy ra phương trình cơ bản của dòng chảy đều trong ống là:
τo = γ.Ro.
L
hw21−
= γ.Ro.J (7.5)
Với :
Ro =
χ
A
: bán kính thủy lực
J =
L
h
w21−
: độ dốc đường năng
τo : ứng suất ma sát giữa chất lỏng và thành rắn.
7.2 Phân bố vận tốc :
7.2.1 Chảy tầng :
+ Đặc điểm dòng chảy tầng trong ống tròn có bán kính ro :
- Sự phân bố áp suất và vận tốc đối xứng qua trục ống
- Vận tốc tại thành ống bằng không
- Ứng suất ma sát tuân theo định luật ma sát nhớt của Newton:
τ = -µ.
dy
du
= -µ.
dr
du
(7.6)
+ Sự phân bố vận tốc :
Ta có :
τ = γ.R.J mà R =
χ
A
=
2
r
⇒
τ = γ.
2
r
.J (7.7)
So sánh (7.6) và (7.7)
γ.
2
r
.J = -µ.
dr
du
⇒
dr
du
= - r.
µ
γ
2
.J
u = -
µ
γ
2
.J
.
2
2
r
+C = -
µ
γ
4
.. 2
rJ
+ C (7.8)
r
r
o
o
τ
τ
U
max
H.7.2
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – January 2014
104
tại r = ro ⇒ u = 0 ⇒ C =
µ
γ
4
..
2
o
rJ
⇒
u = -
µ
γ
4
.J
(r2 – ro2) (7.9)
tại r = 0 ⇒ Umax =
µ
γ
4
.J
. ro2 (7.10)
Phương trình (7.9) có thể viết :
u = Umax
( )
−2
1
o
r
r
(7.11)
+ Lưu lượng :
Q =
∫
o
r
0
u.(2.π.r).dr =
2.π.Umax (r -
2
3
o
r
r
).dr
= 2.π. Umax.
o
r
o
r
rr
0
2
42
.4
2
−
= π. Umax.
2
2
o
r
Q = π. (
µ
γ
4
.J
. ro2).
2
2
o
r
=
µ
πγ
8
.J
. ro4 (7.12a)
V =
ω
Q
=
µ
γ
8
.J
. ro2 (7.12b)
V =
2
max
U
(7.13)
+ Tổn thất dọc đường trong chảy tầng :
(7.12b) ⇒ J =
L
h
d
=
2
.
8
o
r
V
γ
µ
hd =
2
.
8
o
r
V
γ
µ
.L =
ν
VD
64
.
D
L
.
g
V
2
2
(7.14)
Vơ
i : Re =
ν
DV.
⇒
λ =
e
R
64
(7.15)
⇒ Công thức Darcy-Weisbach :
hd =λ.
D
L
.
g
V
2
2
(7.16)
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – January 2014
105
7.2.2 Chảy rối:
+ Ứng suất ma sát rối theo Prandtl :
τ = ρ.K2.y2.
2
dy
du
(7.17)
ρ : Khối lượng riêng của chất lỏng
y : Khoảng cách từ điểm tính toán đến thành ống
K : Hệ số Kapa (K=0.4)
Từ (7.17), ta suy ra:
ρ
τ
.
yK.
1
=
dy
du
Đặt U* =
ρ
τ
⇒
dy
du
=
yK
U
.
*
⇒ du =
K
U*
.
y
dy
⇒
u =
K
U*
.ln(y) +C (7.18)
tại tâm ống y=ro , u = Umax ⇒ C = Umax -
K
U*
.ln(ro)
Thế vào (7.18)
u =
K
U*
.ln(y) -
K
U*
.ln(ro) + Umax
*
max
U
uU −
= -
K
1
.ln(
o
r
y
) (7.19)
+ Kết luận :
Sự phân bố lưu tốc trong trường hợp chảy rối có dạng logarithm,
và có dạng tương đối đồng đều hơn so với chảy tầng.
7.3 Tổn thất dọc đường trong ống:
Sự tổn thất năng lượng do ma sát giữa chất lỏng và thành ống, và
giữa các phần tử chất lỏng với nhau luôn luôn xảy ra khi dòng lưu chất chuyển động trong đường
ống. Tổn thất này càng lớn khi khoảng di chuyển càng dài. Sự tiêu hao năng lượng này được gọi
là tổn thất năng lượng dọc đường, ký hiệu là hd.
7.3.1 Công thức Darcy:
hd =λ.
D
L
.
g
V
2
2
(7.20a)
Với :
λ =
e
R
64
: đối với chảy tầng, λ được xác định thông qua lý thuyết.
Umax
y
H.7.3
Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM
PGS. TS. Lê Văn Dực
www.datechengvn.com
Copyright @datechengvn – January 2014
106
λ = f (
D
ε
, Re) : đối với chảy rối, λ được xác định thông qua thực nghiệm và phân tích thứ
nguyên.
ε : độ nhám tuyệt đối (hoặc Δ, e )
D : đường kính ống
D
ε
: độ nhám tương đối.
Re =
ν
DV.
: số Reynolds
V : lưu tốc trung bình mặt cắt (=
A
Q
=
2
4
D
Q
π
)
hd =
52
8
gD
L
π
λ
.Q2 (7.20b)
7.3.2 Hệ số tổn thất λ:
Viêc xác định λ, chủ yếu dựa vào thực nghiệm, trừ trường hợp chảy tầng.
+ Thí nghiệm Nikuradse :
Ông Nikuradse đã làm thí nghiệm với các loại ống có đường kính và độ nhám nhân tạo
khác nhau và vẽ quan hệ log(λ) theo log(Re) và độ nhám tương đối
D
ε
như trên hình H.7.4.
+ Kết luận :
Có thể chia làm 5 khu vực : AB, BC, CD, CD → EF ,và sau EF
- Khu AB (chảy tầng):
λ chỉ phụ thộc vào số Reynolds Re, không phụ thuộc vào
D
ε
:
λ = f (Re) =
e
R
64
(7.21)
- Khu BC (quá độ từ tầng sang rối):
Sự thay đổi của λ không theo một quy luật nào cả.
- Khu CD (rối thành trơn):
λ
R
e
30
1
=
D
ε
504
1
=
D
ε
2,61
1
=
D
ε
252
1
=
D
ε
1014
1
=
D
ε
E
C
B
D F
A
H.7.4