Chương 7: Tích phân đường và tích phân mặt

Chương 7<br /> <br /> Tích phân đường<br /> và tích phân mặt<br /> 7.1. Tích phân đường .......................................................................................................... 233<br /> 7.1.1. Tích phân đường của hàm số........................................................................................... 233<br /> 7.1.2. Ý nghĩa của tích phân đường loại I ................................................................................. 236<br /> 7.1.3. Tích phân đường của hàm vectơ...................................................................................... 237<br /> 7.1.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II...................................................................... 239<br /> 7.1.5. Định lý Green................................................................................................................... 240<br /> 7.1.6. Tích phân không phụ thuộc đường.................................................................................. 242<br /> <br /> 7.2. Tích phân mặt............................................................................................................... 245<br /> 7.2.1. Tích phân mặt của hàm số ............................................................................................... 245<br /> 7.2.2. Tích phân mặt của hàm vectơ.......................................................................................... 246<br /> 7.2.3. Định lý Ostrogradski........................................................................................................ 249<br /> 7.2.4. Định lý Stokes.................................................................................................................. 251<br /> <br /> 7.3. Lý thuyết trường ............................................................................................................ 253<br /> 7.3.1. Khái niệm về trường ........................................................................................................ 253<br /> 7.3.2. Gradient và luật bảo toàn................................................................................................. 255<br /> 7.3.3. Phân tán và định lý Ostrogradski..................................................................................... 256<br /> 7.3.4. Xoáy và định lý Stokes .................................................................................................... 257<br /> <br /> 7.1. Tích phân đường<br /> 7.1.1. Tích phân đường của hàm số<br /> Giả sử C là đường cong trơn trong R2 với điểm đầu A và điểm cuối B, f là<br /> hàm số xác định trên C.<br /> Phân hoạch T của đường cong C là một họ hữu hạn điểm trên đường cong<br /> A0 = A, A1 ,..., An = B , nối tiếp nhau (theo nghĩa khúc AAi là một phần của<br /> khúc AAi +1 , với mọi i=1,2,...,n-1). Ký hiệu ∆sk là độ dài đoạn cong Ak −1 Ak và δT<br /> <br /> 234<br /> <br /> Giải tích các hàm nhiều biến<br /> <br /> là đường kính phân hoạch, tức là số lớn nhất trong các số ∆sk , k = 1,..., n . Chọn<br /> ck ( xk , yk ) ∈ Ak −1 Ak và xét tổng<br /> n<br /> <br /> σT = ∑ f ( xk , yk )∆sk .<br /> k =1<br /> <br /> Nếu như tổng σT có giới hạn khi δT → 0 và không phụ thuộc vào việc chọn các<br /> điểm ck thì giới hạn đó gọi là tích phân đường của hàm f (hay còn gọi là tích<br /> phân đường loại I của f ) theo C và ký hiệu<br /> ∫ f ( x, y)ds = lim σT .<br /> δT →0<br /> <br /> C<br /> <br /> Một số tính chất suy trực tiếp từ định nghĩa:<br /> •<br /> <br /> Nếu tồn tại<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) ds thì<br /> <br /> C<br /> <br /> •<br /> <br /> Nếu tồn tại<br /> <br /> ∫<br /> <br /> ∫ αf ( x, y)ds = α ∫<br /> C<br /> <br /> f1 ( x, y )ds và<br /> <br /> C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f 2 ( x, y )ds thì tồn tại<br /> <br /> C<br /> <br /> C<br /> <br /> C<br /> <br /> Khi C là hợp của C1 và C2 và ∫ f1 ( x, y )ds ,<br /> C1<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f1 ( x, y )ds tồn tại, thì<br /> <br /> C2<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) ds + ∫ f ( x, y )ds .<br /> <br /> C1<br /> <br /> f ( x, y ) ds =<br /> <br /> C<br /> <br /> •<br /> <br /> C2<br /> <br /> Việc lấy C = AB hay C = BA không ảnh hưởng tới tích phân, nghĩa là<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y )ds .<br /> <br /> AB<br /> <br /> •<br /> <br /> và<br /> <br /> f1 ( x, y )ds + ∫ f 2 ( x, y )ds .<br /> <br /> C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> ∫ ( f1 + f 2 )ds<br /> C<br /> <br /> ∫ ( f1 ( x, y) + f 2 ( x, y))ds = ∫<br /> •<br /> <br /> f ( x, y )ds với mọi α ∈R.<br /> <br /> C<br /> <br /> BA<br /> <br /> ∫<br /> <br /> Nếu f ( x, y ) ≥ 0 trên C thì<br /> <br /> f ( x, y )ds ≥ 0 .<br /> <br /> C<br /> <br /> •<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y )ds ≤ ∫ f ( x, y ) ds .<br /> <br /> C<br /> <br /> •<br /> <br /> C<br /> <br /> Tồn tại α ∈ [ inf<br /> <br /> ( x , y )∈C<br /> <br /> f ( x, y ), sup f ( x, y )] sao cho<br /> ( x , y )∈C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y )ds = αl (C ) ,<br /> <br /> C<br /> <br /> trong đó l (C ) là độ dài của C.<br /> Để tính tích phân đường loại I chúng ta xét phương trình tham số của C theo<br /> tham số tự nhiên<br /> <br /> x = x( s ) ,<br /> <br /> y = y ( s ) , 0 ≤ s ≤ l (C ) .<br /> <br /> 235<br /> <br /> Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt<br /> <br /> Phân hoạch T của C bởi A0 = A, A1 ,..., An = B sinh ra phân hoạch tương ứng của<br /> [0, l (C )] bởi 0 = s0 < s1... < sn = l (C ) . Điểm ck ∈ Ak −1 Ak ứng với τk ∈ [ sk −1sk ] .<br /> Khi ấy<br /> n<br /> <br /> σT = ∑ f ( x( τk ), y (τk ))∆sk .<br /> k =1<br /> <br /> Qua giới hạn tổng trên khi δT → 0 ta thu được<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) ds = ∫ f ( x( s ), y ( s ))ds .<br /> <br /> C<br /> <br /> C<br /> <br /> Nếu C được cho bởi phương trình tham số t bất kỳ<br /> x = x(t ) ,<br /> <br /> y = y (t ) , a ≤ t ≤ b ,<br /> <br /> thì như ta đã biết ds = x '2 (t ) + y '2 (t )dt , do đó<br /> b<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y )ds =<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x(t ), y (t )) x '2 (t ) + y '2 (t ) dt .<br /> <br /> a<br /> <br /> C<br /> <br /> Nhận xét. Hoàn toàn tương tự như trên, nếu C là đường cong không gian cho bởi<br /> phương trình tham số x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) , a ≤ t ≤ b , thì tích phân đường<br /> của hàm f trên C được tính theo công thức<br /> b<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y , z )ds =<br /> <br /> C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x(t ), y (t ), z (t )) x '2 (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )dt .<br /> <br /> a<br /> <br /> Thí dụ<br /> <br /> 1) Cho C là đoạn parabol y = x 2 giữa A = (0,0) và B = (1,1). Tính ∫ xyds .<br /> C<br /> <br /> 2<br /> <br /> Giải. Phương trình tham số của C là x = t , y = t , 0 ≤ t ≤ 1 . Vậy<br /> 1<br /> <br /> ∫<br /> C<br /> <br /> xyds = ∫ t 3 1 + 4t 2 dt = 1 .<br /> 2<br /> 0<br /> <br /> 2) Cho C là đường cong trong không gian x = sin 2t , y = sin t cos t , z = cos t<br /> 0 ≤ t ≤ π / 2 . Tính<br /> <br /> ∫ zds .<br /> C<br /> <br /> Giải. Áp dụng công thức trong nhận xét ta có<br /> π2<br /> <br /> ∫<br /> <br /> zds<br /> <br /> = ∫ cos t 4sin 2 t cos 2 t + (cos 2 t − sin 2 t ) 2 + sin 2 tdt<br /> 0<br /> <br /> C<br /> <br /> 1<br /> <br /> = ∫ 1 + u 2 du = 1 2 − 1 ln( 2 −1).<br /> 2<br /> 2<br /> 0<br /> <br /> 236<br /> <br /> Giải tích các hàm nhiều biến<br /> <br /> 7.1.2. Ý nghĩa của tích phân đường loại I<br /> Ý nghĩa hình học<br /> <br /> Giả sử C là đường cong phẳng trong mặt<br /> phẳng tọa độ Oxy, f là hàm số biến x và y,<br /> nhận giá trị không âm. Khi ấy, ta suy ra ngay<br /> từ định nghĩa là tích phân đường của f theo C<br /> là diện tích miền thẳng đứng giới hạn bởi C và<br /> đường cong không gian xác định như sau<br /> <br /> z<br /> <br /> f ( x, y)<br /> <br /> x<br /> <br /> y<br /> <br /> {( x, y, f ( x, y )) : ( x, y ) ∈ C} .<br /> Ý nghĩa cơ học<br /> <br /> C<br /> <br /> Hình 7.1<br /> <br /> Giả sử C là đường cong vật chất với khối lượng riêng tại mỗi điểm là m( x, y ) .<br /> Với mỗi phân hoạch T của C = AB , trên cung Ak −1 Ak ta có thể xem như khối<br /> lượng riêng không đổi và bằng m( xk , yk ) . Khi ấy tổng<br /> m<br /> <br /> ∑ m( xk , yk )∆sk<br /> k =1<br /> <br /> là xấp xỉ của khối lượng của toàn bộ C. Qua giới hạn tổng trên khi δT → 0 , ta sẽ<br /> thu được công thức tính khối lượng của đường cong vật chất C là<br /> <br /> M = ∫ m( x, y )ds .<br /> C<br /> <br /> Tương tự ta có thể tính moment theo x và y<br /> <br /> M x = lim<br /> <br /> δT →0<br /> <br /> M y = lim<br /> <br /> δT →0<br /> <br /> n<br /> <br /> ∑ yk m( xk , yk )∆sk = ∫ ym( x, y)ds ,<br /> k =1<br /> <br /> C<br /> <br /> n<br /> <br /> ∑ xk m( xk , yk )∆sk = ∫ xm( x, y)ds ,<br /> k =1<br /> <br /> C<br /> <br /> cũng như moment quán tính<br /> J 0 = J x + J y = ∫ ( y 2 + x 2 ) m( x, y )ds .<br /> C<br /> <br /> Trọng tâm của đường cong vật chất là ( x0 , y0 ) được tính theo công thức<br /> x0 =<br /> <br /> My<br /> M<br /> , y0 = x .<br /> M<br /> M<br /> <br /> 237<br /> <br /> Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt<br /> <br /> 7.1.3. Tích phân đường của hàm vectơ<br /> Nếu như trong tổng σT khi định nghĩa tích phân đường loại I ta thay ∆sk bởi<br /> ∆xk và ∆yk thì ta sẽ thu được hai dạng tích phân đường nữa gọi là tích phân<br /> đường của f theo C đối với x và y. Cụ thể là<br /> <br /> ∫<br /> <br /> n<br /> <br /> f ( x, y ) dx = lim<br /> <br /> δT →0<br /> <br /> C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> ∑ f (uk , vk )∆xk ,<br /> k =1<br /> n<br /> <br /> ∑ f (uk , vk )∆yk .<br /> δ →0<br /> <br /> f ( x, y ) dy = lim<br /> T<br /> <br /> C<br /> <br /> k =1<br /> <br /> Những tích phân này còn được gọi là tích phân đường loại II. Khác với<br /> ∆sk luôn dương, trong tích phân này giá trị ∆xk và ∆yk có thể âm, dương, hay<br /> bằng 0, và phụ thuộc vào việc chọn điểm đầu, điểm cuối của đường cong. Cho nên<br /> người ta còn viết rõ<br /> B<br /> <br /> ∫<br /> <br /> B<br /> <br /> f ( x, y ) dx và<br /> <br /> A<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) dy .<br /> <br /> A<br /> <br /> Nếu như đường cong C được cho bởi phương trình tham số<br /> x = x(t ) , y = y (t ) , a ≤ t ≤ b ,<br /> thỏa mãn giả thiết x(t ), y (t ) liên tục trên [a,b] và hàm f liên tục trên C, thì do<br /> tk<br /> <br /> ∫<br /> <br /> ∆xk = xk − xk −1 = x(tk ) − x(tk −1 ) =<br /> <br /> x '(t )dt ,<br /> <br /> tk −1<br /> tk<br /> <br /> ∆yk = yk − yk −1 = y (tk ) − y (tk −1 ) =<br /> <br /> ∫<br /> <br /> y '(t ) dt ,<br /> <br /> tk −1<br /> <br /> nên sau khi qua giới hạn trong các tổng tích phân ta có công thức<br /> b<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) dx = ∫ f ( x(t ), y (t )) x '(t )dt ,<br /> a<br /> b<br /> <br /> C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) dy = ∫ f ( x(t ), y (t )) y '(t ) dt .<br /> a<br /> <br /> C<br /> <br /> Trong các ứng dụng, tích phân đường loại II thường xuất hiện dưới dạng tích<br /> phân đường của hàm vectơ ( f , g ) như sau<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y )dx + g ( x, y )dy .<br /> <br /> C<br /> <br /> Nếu C là đường cong không gian thì tích phân đường của hàm ba biến theo C<br /> đối với x, y, z cũng định nghĩa tương tự, và ta cũng có các công thức tính tương<br /> ứng khi C được cho bởi phương trình tham số.<br /> <br />