intTypePromotion=3

Chương 7: Tích phân đường và tích phân mặt

Chia sẻ: Chung Chung | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:26

0
56
lượt xem
8
download

Chương 7: Tích phân đường và tích phân mặt

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 7: Tích phân đường và tích phân mặt trình bày các nội dung về tích phân đường, tích phân mặt phẳng, lý thuyết trường. Hi vọng tài liệu sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập cũng như làm việc của mình. Để nắm vững nội dung chi tiết mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Chương 7: Tích phân đường và tích phân mặt

Chương 7<br /> <br /> Tích phân đường<br /> và tích phân mặt<br /> 7.1. Tích phân đường .......................................................................................................... 233<br /> 7.1.1. Tích phân đường của hàm số........................................................................................... 233<br /> 7.1.2. Ý nghĩa của tích phân đường loại I ................................................................................. 236<br /> 7.1.3. Tích phân đường của hàm vectơ...................................................................................... 237<br /> 7.1.4. Ý nghĩa vật lý của tích phân đường loại II...................................................................... 239<br /> 7.1.5. Định lý Green................................................................................................................... 240<br /> 7.1.6. Tích phân không phụ thuộc đường.................................................................................. 242<br /> <br /> 7.2. Tích phân mặt............................................................................................................... 245<br /> 7.2.1. Tích phân mặt của hàm số ............................................................................................... 245<br /> 7.2.2. Tích phân mặt của hàm vectơ.......................................................................................... 246<br /> 7.2.3. Định lý Ostrogradski........................................................................................................ 249<br /> 7.2.4. Định lý Stokes.................................................................................................................. 251<br /> <br /> 7.3. Lý thuyết trường ............................................................................................................ 253<br /> 7.3.1. Khái niệm về trường ........................................................................................................ 253<br /> 7.3.2. Gradient và luật bảo toàn................................................................................................. 255<br /> 7.3.3. Phân tán và định lý Ostrogradski..................................................................................... 256<br /> 7.3.4. Xoáy và định lý Stokes .................................................................................................... 257<br /> <br /> 7.1. Tích phân đường<br /> 7.1.1. Tích phân đường của hàm số<br /> Giả sử C là đường cong trơn trong R2 với điểm đầu A và điểm cuối B, f là<br /> hàm số xác định trên C.<br /> Phân hoạch T của đường cong C là một họ hữu hạn điểm trên đường cong<br /> A0 = A, A1 ,..., An = B , nối tiếp nhau (theo nghĩa khúc AAi là một phần của<br /> khúc AAi +1 , với mọi i=1,2,...,n-1). Ký hiệu ∆sk là độ dài đoạn cong Ak −1 Ak và δT<br /> <br /> 234<br /> <br /> Giải tích các hàm nhiều biến<br /> <br /> là đường kính phân hoạch, tức là số lớn nhất trong các số ∆sk , k = 1,..., n . Chọn<br /> ck ( xk , yk ) ∈ Ak −1 Ak và xét tổng<br /> n<br /> <br /> σT = ∑ f ( xk , yk )∆sk .<br /> k =1<br /> <br /> Nếu như tổng σT có giới hạn khi δT → 0 và không phụ thuộc vào việc chọn các<br /> điểm ck thì giới hạn đó gọi là tích phân đường của hàm f (hay còn gọi là tích<br /> phân đường loại I của f ) theo C và ký hiệu<br /> ∫ f ( x, y)ds = lim σT .<br /> δT →0<br /> <br /> C<br /> <br /> Một số tính chất suy trực tiếp từ định nghĩa:<br /> •<br /> <br /> Nếu tồn tại<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) ds thì<br /> <br /> C<br /> <br /> •<br /> <br /> Nếu tồn tại<br /> <br /> ∫<br /> <br /> ∫ αf ( x, y)ds = α ∫<br /> C<br /> <br /> f1 ( x, y )ds và<br /> <br /> C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f 2 ( x, y )ds thì tồn tại<br /> <br /> C<br /> <br /> C<br /> <br /> C<br /> <br /> Khi C là hợp của C1 và C2 và ∫ f1 ( x, y )ds ,<br /> C1<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f1 ( x, y )ds tồn tại, thì<br /> <br /> C2<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) ds + ∫ f ( x, y )ds .<br /> <br /> C1<br /> <br /> f ( x, y ) ds =<br /> <br /> C<br /> <br /> •<br /> <br /> C2<br /> <br /> Việc lấy C = AB hay C = BA không ảnh hưởng tới tích phân, nghĩa là<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y )ds = ∫ f ( x, y )ds .<br /> <br /> AB<br /> <br /> •<br /> <br /> và<br /> <br /> f1 ( x, y )ds + ∫ f 2 ( x, y )ds .<br /> <br /> C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> ∫ ( f1 + f 2 )ds<br /> C<br /> <br /> ∫ ( f1 ( x, y) + f 2 ( x, y))ds = ∫<br /> •<br /> <br /> f ( x, y )ds với mọi α ∈R.<br /> <br /> C<br /> <br /> BA<br /> <br /> ∫<br /> <br /> Nếu f ( x, y ) ≥ 0 trên C thì<br /> <br /> f ( x, y )ds ≥ 0 .<br /> <br /> C<br /> <br /> •<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y )ds ≤ ∫ f ( x, y ) ds .<br /> <br /> C<br /> <br /> •<br /> <br /> C<br /> <br /> Tồn tại α ∈ [ inf<br /> <br /> ( x , y )∈C<br /> <br /> f ( x, y ), sup f ( x, y )] sao cho<br /> ( x , y )∈C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y )ds = αl (C ) ,<br /> <br /> C<br /> <br /> trong đó l (C ) là độ dài của C.<br /> Để tính tích phân đường loại I chúng ta xét phương trình tham số của C theo<br /> tham số tự nhiên<br /> <br /> x = x( s ) ,<br /> <br /> y = y ( s ) , 0 ≤ s ≤ l (C ) .<br /> <br /> 235<br /> <br /> Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt<br /> <br /> Phân hoạch T của C bởi A0 = A, A1 ,..., An = B sinh ra phân hoạch tương ứng của<br /> [0, l (C )] bởi 0 = s0 < s1... < sn = l (C ) . Điểm ck ∈ Ak −1 Ak ứng với τk ∈ [ sk −1sk ] .<br /> Khi ấy<br /> n<br /> <br /> σT = ∑ f ( x( τk ), y (τk ))∆sk .<br /> k =1<br /> <br /> Qua giới hạn tổng trên khi δT → 0 ta thu được<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) ds = ∫ f ( x( s ), y ( s ))ds .<br /> <br /> C<br /> <br /> C<br /> <br /> Nếu C được cho bởi phương trình tham số t bất kỳ<br /> x = x(t ) ,<br /> <br /> y = y (t ) , a ≤ t ≤ b ,<br /> <br /> thì như ta đã biết ds = x '2 (t ) + y '2 (t )dt , do đó<br /> b<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y )ds =<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x(t ), y (t )) x '2 (t ) + y '2 (t ) dt .<br /> <br /> a<br /> <br /> C<br /> <br /> Nhận xét. Hoàn toàn tương tự như trên, nếu C là đường cong không gian cho bởi<br /> phương trình tham số x = x(t ) , y = y (t ) , z = z (t ) , a ≤ t ≤ b , thì tích phân đường<br /> của hàm f trên C được tính theo công thức<br /> b<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y , z )ds =<br /> <br /> C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x(t ), y (t ), z (t )) x '2 (t ) + y '2 (t ) + z '2 (t )dt .<br /> <br /> a<br /> <br /> Thí dụ<br /> <br /> 1) Cho C là đoạn parabol y = x 2 giữa A = (0,0) và B = (1,1). Tính ∫ xyds .<br /> C<br /> <br /> 2<br /> <br /> Giải. Phương trình tham số của C là x = t , y = t , 0 ≤ t ≤ 1 . Vậy<br /> 1<br /> <br /> ∫<br /> C<br /> <br /> xyds = ∫ t 3 1 + 4t 2 dt = 1 .<br /> 2<br /> 0<br /> <br /> 2) Cho C là đường cong trong không gian x = sin 2t , y = sin t cos t , z = cos t<br /> 0 ≤ t ≤ π / 2 . Tính<br /> <br /> ∫ zds .<br /> C<br /> <br /> Giải. Áp dụng công thức trong nhận xét ta có<br /> π2<br /> <br /> ∫<br /> <br /> zds<br /> <br /> = ∫ cos t 4sin 2 t cos 2 t + (cos 2 t − sin 2 t ) 2 + sin 2 tdt<br /> 0<br /> <br /> C<br /> <br /> 1<br /> <br /> = ∫ 1 + u 2 du = 1 2 − 1 ln( 2 −1).<br /> 2<br /> 2<br /> 0<br /> <br /> 236<br /> <br /> Giải tích các hàm nhiều biến<br /> <br /> 7.1.2. Ý nghĩa của tích phân đường loại I<br /> Ý nghĩa hình học<br /> <br /> Giả sử C là đường cong phẳng trong mặt<br /> phẳng tọa độ Oxy, f là hàm số biến x và y,<br /> nhận giá trị không âm. Khi ấy, ta suy ra ngay<br /> từ định nghĩa là tích phân đường của f theo C<br /> là diện tích miền thẳng đứng giới hạn bởi C và<br /> đường cong không gian xác định như sau<br /> <br /> z<br /> <br /> f ( x, y)<br /> <br /> x<br /> <br /> y<br /> <br /> {( x, y, f ( x, y )) : ( x, y ) ∈ C} .<br /> Ý nghĩa cơ học<br /> <br /> C<br /> <br /> Hình 7.1<br /> <br /> Giả sử C là đường cong vật chất với khối lượng riêng tại mỗi điểm là m( x, y ) .<br /> Với mỗi phân hoạch T của C = AB , trên cung Ak −1 Ak ta có thể xem như khối<br /> lượng riêng không đổi và bằng m( xk , yk ) . Khi ấy tổng<br /> m<br /> <br /> ∑ m( xk , yk )∆sk<br /> k =1<br /> <br /> là xấp xỉ của khối lượng của toàn bộ C. Qua giới hạn tổng trên khi δT → 0 , ta sẽ<br /> thu được công thức tính khối lượng của đường cong vật chất C là<br /> <br /> M = ∫ m( x, y )ds .<br /> C<br /> <br /> Tương tự ta có thể tính moment theo x và y<br /> <br /> M x = lim<br /> <br /> δT →0<br /> <br /> M y = lim<br /> <br /> δT →0<br /> <br /> n<br /> <br /> ∑ yk m( xk , yk )∆sk = ∫ ym( x, y)ds ,<br /> k =1<br /> <br /> C<br /> <br /> n<br /> <br /> ∑ xk m( xk , yk )∆sk = ∫ xm( x, y)ds ,<br /> k =1<br /> <br /> C<br /> <br /> cũng như moment quán tính<br /> J 0 = J x + J y = ∫ ( y 2 + x 2 ) m( x, y )ds .<br /> C<br /> <br /> Trọng tâm của đường cong vật chất là ( x0 , y0 ) được tính theo công thức<br /> x0 =<br /> <br /> My<br /> M<br /> , y0 = x .<br /> M<br /> M<br /> <br /> 237<br /> <br /> Chương 7. Tích phân đường và tích phân mặt<br /> <br /> 7.1.3. Tích phân đường của hàm vectơ<br /> Nếu như trong tổng σT khi định nghĩa tích phân đường loại I ta thay ∆sk bởi<br /> ∆xk và ∆yk thì ta sẽ thu được hai dạng tích phân đường nữa gọi là tích phân<br /> đường của f theo C đối với x và y. Cụ thể là<br /> <br /> ∫<br /> <br /> n<br /> <br /> f ( x, y ) dx = lim<br /> <br /> δT →0<br /> <br /> C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> ∑ f (uk , vk )∆xk ,<br /> k =1<br /> n<br /> <br /> ∑ f (uk , vk )∆yk .<br /> δ →0<br /> <br /> f ( x, y ) dy = lim<br /> T<br /> <br /> C<br /> <br /> k =1<br /> <br /> Những tích phân này còn được gọi là tích phân đường loại II. Khác với<br /> ∆sk luôn dương, trong tích phân này giá trị ∆xk và ∆yk có thể âm, dương, hay<br /> bằng 0, và phụ thuộc vào việc chọn điểm đầu, điểm cuối của đường cong. Cho nên<br /> người ta còn viết rõ<br /> B<br /> <br /> ∫<br /> <br /> B<br /> <br /> f ( x, y ) dx và<br /> <br /> A<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) dy .<br /> <br /> A<br /> <br /> Nếu như đường cong C được cho bởi phương trình tham số<br /> x = x(t ) , y = y (t ) , a ≤ t ≤ b ,<br /> thỏa mãn giả thiết x(t ), y (t ) liên tục trên [a,b] và hàm f liên tục trên C, thì do<br /> tk<br /> <br /> ∫<br /> <br /> ∆xk = xk − xk −1 = x(tk ) − x(tk −1 ) =<br /> <br /> x '(t )dt ,<br /> <br /> tk −1<br /> tk<br /> <br /> ∆yk = yk − yk −1 = y (tk ) − y (tk −1 ) =<br /> <br /> ∫<br /> <br /> y '(t ) dt ,<br /> <br /> tk −1<br /> <br /> nên sau khi qua giới hạn trong các tổng tích phân ta có công thức<br /> b<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) dx = ∫ f ( x(t ), y (t )) x '(t )dt ,<br /> a<br /> b<br /> <br /> C<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y ) dy = ∫ f ( x(t ), y (t )) y '(t ) dt .<br /> a<br /> <br /> C<br /> <br /> Trong các ứng dụng, tích phân đường loại II thường xuất hiện dưới dạng tích<br /> phân đường của hàm vectơ ( f , g ) như sau<br /> <br /> ∫<br /> <br /> f ( x, y )dx + g ( x, y )dy .<br /> <br /> C<br /> <br /> Nếu C là đường cong không gian thì tích phân đường của hàm ba biến theo C<br /> đối với x, y, z cũng định nghĩa tương tự, và ta cũng có các công thức tính tương<br /> ứng khi C được cho bởi phương trình tham số.<br /> <br />

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản