BÀI T P GI I TÍCH 2Ậ Ả
CH NG I. HÀM NHI U BI N SƯƠ Ề Ế Ố
Bài 1. Tìm mi n xác đnh c a các hàm s sau:ề ị ủ ố
a) b)
Bài 2. Tìm gi i h n trong các tr ng h p:ớ ạ ườ ợ
a) c)
b) d)
Bài 3. Xét tính liên t c c a các hàm s sau t i các đi m đã cho:ụ ủ ố ạ ể
a) t i đi m (0,0)ạ ể
b) t i đi m (0,0)ạ ể
c) t i đi m (0,0)ạ ể
d) t i đi m (0,0)ạ ể
e) t i đi m (0,0).ạ ể
f) t i đi m (0,0)ạ ể
g) t i đi m (0,0)ạ ể
Bài 4. Tìm các đo hàm riêng c a hàm s ạ ủ ố
a) b)
Bài 5. Cho hàm s . Tính b ng đnh nghĩa. Hàm s có kh vi t i đi m O(0,0) hay không?ố ằ ị ố ả ạ ể
Bài 6. Ch ng minh r ng hàm s liên t c ta đi m O(0,0), có c hai đo hàm riêng , nh ng không kh viứ ằ ố ụ ị ể ả ạ ư ả
t i đi m này.ạ ể
Bài 7. Kh o sát tính kh vi c a hàm s t i đi m (0,0).ả ả ủ ố ạ ể
Bài 8. Cho hàm s . Tính .ố
Bài 9. ng d ng công th c s gia và vi phân toàn ph n đ tính g n đúngỨ ụ ứ ố ầ ể ầ
a) c)
b) d)
Bài 10. Cho là hàm s xác đnh b i h th c trong đó a, b là h ng s , F là hàm kh vi. Tìm bi u th c .ố ị ở ệ ứ ằ ố ả ể ứ
Bài 11. Gi s là các hàm kh vi. Đt và . Ch ng minh r ngả ử ả ặ ứ ằ
a) b) .
Bài 12. Cho hàm s xác đnh t ph ng trình (trong đó là hàm kh vi theo . Ch ng minh r ng .ố ị ừ ươ ả ứ ằ
Bài 13. S d ng quy t c đo hàm hàm n đ tính bi t .ử ụ ắ ạ ẩ ể ế
Bài 14. S d ng quy t c đo hàm hàm n đ tìmử ụ ắ ạ ẩ ể
a) bi t là hàm n xác đnh t ;ế ẩ ị ừ
b) bi t là hàm n xác đnh t ;ế ẩ ị ừ
c) bi t là hàm n xác đnh t ế ẩ ị ừ
Bài 15. Tìm các đo hàm riêng c p hai c a các hàm sạ ấ ủ ố
1
a) b) c)
Bài 16. Tìm đo hàm c a u t i đi m A trong đóạ ủ ạ ể
a) theo h ng và đi m A(1,2,-2). Tìm .ướ ể
b) theo h ng t i đi m A(1,3,0).ướ ạ ể
c) v i A (1,1,1) theo h ng , trong đó N(3,2,3).ớ ướ
Bài 17.
a) Khai tri n hàm s thành công th c Taylor trong lân c n đi m (1,-2).ể ố ứ ậ ể
b) Khai tri n hàm s thành công th c Macloranh đn các s h ng c p b n. ể ố ứ ế ố ạ ấ ố
Bài 18. Tìm c c tr c a hàm s sauự ị ủ ố
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
Bài 19. Tìm c c tr có đi u ki nự ị ề ệ
a) th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ
b) th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ
c) th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ
d) th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ
e) th a mãn đi u ki n ỏ ề ệ .
Bài 20. Tìm GTLN, GTNN c a hàm s trên mi n đóng D.ủ ố ề
a) , trong đó D là v i A(0,0), B(0,6), C(6,0)ớ
b)
c)
d)
e)
Đáp án ch ng I.ươ
1.a) tr nh ng đi m trên Ox; b) tr g c t a đ Oừ ữ ể ừ ố ọ ộ
2.a) Không t n t i; ồ ạ b) 4; c) Không t n t i;ồ ạ d) 0
3.a) Liên t c;ụb) Không liên t c; c) liên t c;ụ ụ d) không liên t c; e) Liên t c; f) không liên t c. ụ ụ ụ
g) không liên t c. ụ
2
4. a) b)
5. . Hàm s không kh vi t i (0,0).ố ả ạ
7. Hàm s kh vi t i đi m (0,0).ố ả ạ ể
8. .
9. a) 2,95 b) 1,0129 c) 2,0327 d) 1,08
10. 1
13.
14. a)
b) c)
16. a) b) c) .
17. a)
b)
18. a) C c đi ự ạ b) C c đi ự ạ c) C c ti u ự ể
d) C c ti u ự ể e) C c ti u; (0,0) không là c c trự ể ự ị
f) C c ti u (1;1), (-1;-1); (0,0) không là c c trự ể ự ị g) (1;0) không là c c tr .ự ị
h) C c đi ; (0, 0) không là c c tr .ự ạ ự ị i) là c cự ti uể; (3;1) không là c c trự ị.
19. a) C c ti u (-1;0;1)ự ể b) c c ti u , c c đi ự ể ự ạ
c) c c ti u , c c đi ự ể ự ạ d) c c đi (2;2;-1), c c ti u (-2;-2;1).ự ạ ự ể
e) C c đi (1;1;1)ự ạ
20. a)
b)
c)
d)
e) .
3
CH NG II. TÍCH PHÂN B IƯƠ Ộ
Bài 1. Tính tích phân kép sau trên mi n D đc ch raề ượ ỉ
a) v i D đc gi i h n b i ớ ượ ớ ạ ở
b) v i D đc gi i h n b i ớ ượ ớ ạ ở .
c)
d)
e) v i D đc gi i h n b i ớ ượ ớ ạ ở
f) v i D đc gi i h n b i ớ ượ ớ ạ ở
Bài 2. Đi th t l y tích phân r i tính các tích phân sauổ ứ ự ấ ồ
a) b)
Bài 3. Dùng phép đi bi n thích h p, tính các tích phân sauổ ế ợ
a) trong đó D là hình gi i h n b i các đng th ng .ớ ạ ờ ườ ẳ
b) trong đó D là mi n n m trong góc ph n t th nh t gi i h n b i các đng th ng y=x, y=3x vàề ằ ầ ư ứ ấ ớ ạ ở ườ ẳ
các hypebol xy=1, xy=3.
c)
Bài 4. Dùng công th c đi bi n ch ng minh r ngứ ổ ế ứ ằ
a) b)
Bài 5 Dùng đi bi n t a đ c c tính các tích phân sauổ ế ọ ộ ự
a)
b)
c)
d) trong đó D là mi n n m trong góc ph n t th nh t b ch n b i 2 đng tròn .ề ằ ầ ư ứ ấ ị ặ ở ườ
e) ;
4
f) ;
g)
Bài 6. Dùng tích phân hai l p tính di n tích c a các hình ph ngớ ệ ủ ẳ
a) Gi i h n b iớ ạ ở
b) N m trong c hai đng tròn và ằ ả ườ
c) B ch n b i các đng cong ị ặ ở ườ
d) Gi i h n b i đng cong (L): ớ ạ ở ườ
e) Gi i h n b i đng cong (L): ớ ạ ở ườ
Bài 7. Tính di n tích c a m t congệ ủ ặ
a) Là giao c a các m t tr ủ ặ ụ
b) Là ph n m t c u n m trong hình tr ầ ặ ầ ằ ụ
c) Là ph n m tầ ặ n m trong hình trằ ụ
d) Là ph n m t paraboloid n m trên mi n trong góc ph n t th nh t (c a m t Oxy)ầ ặ ằ ề ầ ư ứ ấ ủ ặ
gi i h n b i các đng và .ớ ạ ở ườ
Bài 8. Tính th tích V c a v t thể ủ ậ ể
a) Gi i h n b i m t tr và m t c u ớ ạ ở ặ ụ ặ ầ
b) Xác đnh b i các b t đng th c ị ở ấ ẳ ứ
c) Trên m t nón và n m d i m t c u ặ ằ ướ ặ ầ
d) Trên m t nón ặ và n m d i m t c u ằ ướ ặ ầ
e) B ch n b i các paraboloid và ị ặ ở
f) B ch n b i paraboloid và m t ph ng ị ặ ở ặ ẳ
g) Gi i h n b i các m t cong và ớ ạ ở ặ
h) Gi i h n b i các m t có ph ng trình ớ ạ ở ặ ươ
i) B ch n b i hai hình tr và ị ặ ở ụ
5