BÀI TẬP VI TÍCH PHÂN B1
BỘ MÔN GIẢI TÍCH, KHOA TOÁN-TIN HỌC, ĐH KHTN
L. K. Hà O. T. Hải
N. V. Huy B. L. T. Thanh
Trích soạn từ: J. Stewart, CACULUS, The 6th Edition.
Mục lục
1 Số thực 4
1.1 Suy luận logic trên lý thuyết số thực và ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Dãysốthực .................................. 6
2 Hàm số liên tục 9
2.1 Giớihạnhàmsố................................ 9
2.2 Hàmsốliêntục ................................ 12
3 Đạo hàm & vi phân 16
3.1 Khái niệm đạo hàm, độ dốc tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 Kỹ năng tính đạo hàm, đạo hàm của hàm ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3 Liên hệ giữa đạo hàm với tỉ lệ biến thiên tức thời . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3.1 Các bài tập vận tốc trung bình, vận tốc tức thời, 1-5 . . . . . . . . . 21
3.3.2 Các bài tập về tốc độ biến thiên, tỉ lệ biến thiên, 1-19 . . . . . . . . 22
3.3.3 Các bài tập liên hệ giữa các tỉ lệ biến thiên, dựa trên quy tắc móc
xích,1-24............................... 26
3.4 Vi phân và phép xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.5 Các định lý giá trị trung bình của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số . . . 33
4 Tích phân 36
4.1 Bài tập hiểu khái niệm tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.1 Các bài toán đưa về việc tính tổng Riemann của hàm số, 1-11 . . . 37
4.1.2 Các bài tập giúp hiểu khái niệm tích phân. Xấp xỉ tích phân bằng
tổngRiemann,1-10.......................... 40
4.2 Giá trị trung bình của hàm số trên một đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.3 Liên hệ giữa tích phân với đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.1 Định lý cơ bản của giải tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3.2 Kỹ năng tính tích phân thông qua nguyên hàm . . . . . . . . . . . . 48
4.4 Các đại lượng hình học liên quan tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.1 Bài tập tính diện tích miền phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.4.2 Bài tập tính thể tích khối theo kỹ thuật cắt lát, 1-13 . . . . . . . . . 50
4.4.3 Bài tập tính thể tích khối tròn xoay, 1-8 . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4.4 Độdàiđườngcong.......................... 57
4.4.5 Diện tích mặt tròn xoay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Tíchphânsuyrộng .............................. 60
4.5.1 Tích phân suy rộng loại 1, cận là vô cực. . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.5.2 Tích phân suy rộng loại 2, miền tích phân có điểm kỳ dị ....... 61
MỤC LỤC 3
4.5.3 Các tiêu chuẩn khảo sát tích phân suy rộng . . . . . . . . . . . . . 62
5 Chuỗi số 67
5.1 Các khái niệm chung về chuỗi số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.2 Cáctínhchấtvềchuỗi............................. 69
5.3 Chuỗilũythừa ................................ 71
5.4 Đạo hàm, nguyên hàm của chuỗi lũy thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
5.5 Đa thức Taylor và chuỗi Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
A Bài tập làm thêm liên quan đạo hàm 79
A.1 Kỹnăngtínhđạohàm............................. 79
A.2 Cácbàitoántốiưuhóa ............................ 82
A.3 Tínhlồi,lõmcủahàmsố ........................... 82
A.4 Quy tắc L’Hospital để tính giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
B Bài tập làm thêm liên quan tích phân 85
B.1 Ôn lại kỹ năng tính tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.1.1 Tính tích phân thông qua nguyên hàm . . . . . . . . . . . . . . . . 85
B.1.2 Đổi biến trong tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
B.1.3 Tích phân từng phần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
B.2 Ứng dụng của tích phân trong các ngành khoa học khác . . . . . . . . . . . 92
C Bài tập làm thêm liên quan chuỗi số 93
C.1 Các tiêu chuẩn khảo sát chuỗi dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C.1.1 Tiêu chuẩn tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
C.1.2 Tiêuchuẩnsosánh.......................... 94
C.2 Các tiêu chuẩn khảo sát chuỗi có dấu bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
C.2.1 Chuỗiđandấu ............................ 96
C.2.2 Chuỗicódấubấtkỳ ......................... 97
C.3 ChuỗiFourier................................. 99
Chương 1
Số thực
1.1 Suy luận logic trên lý thuyết số thực và ánh xạ
1. Cho A,B,Clà ba tập hợp thỏa ABvà BC. Chứng tỏ AC.
2. Viết mệnh đề sau ở dạng kí hiệu và tìm mệnh đề phủ định của nó: Có một số thực
dương Msao cho với mọi phần tử xcủa tập Athì xM.
3. Khi nào thì một ánh xạ không là đơn ánh? không là toàn ánh? không là song ánh?
4. Một hàm fWR!Rlà tăng nếu với hai số thực x,ybất kì thì x<ydẫn tới
f .x/f .y/. Hàm như thế nào thì không tăng?
5. Cho fWR!R,f .x/Dx3. Hàm này có phải là một song ánh hay không?
6. a) Cho số tự nhiên m. Chứng minh rằng nếu m2chẵn thì mcũng là số chẵn.
b) Chứng minh rằng nếu một số chính phương là chẵn thì số chính phương đó chia
hết cho 4.
7. Chứng minh rằng không tồn tại phân số dạng m
n, với mvà nlà số tự nhiên (n6D 0),
thỏa m
n2
D2.
8. Cho số athỏa 8" > 0;jaj< ". Chứng minh aD0. Chứng minh hai mệnh đề sau là
tương đương: Mệnh đề 1 là “8" > 0;a< "”; mệnh đề 2 là “a0”.
9. Chứng minh hai mệnh đề sau là tương đương: Mệnh đề 1 là “8" > 0;a< "”, mệnh
đề 2 là “8" > 0;a"”.
10. Chứng minh hai mệnh đề sau là tương đương: Mệnh đề 1 là “8" > 0;a< "”, mệnh
đề 2 là “8" > 0;a"
2”.
11. a) Dùng các ký hiệu 8hay 9để biểu thị hình thức logic của các phát biểu sau sau:
i/ Tập hợp A bị chặn trên.
ii/ Số ˛không phải là cận trên của tập A.
iii/ Số ˛không phải là phần tử lớn nhất của A.
b) Cho ADŒ0;1/. Số 999
1000 có phải là cận trên của A không? Tại sao?
1.1 Suy luận logic trên lý thuyết số thực và ánh xạ 5
c) Chứng minh không tồn tại max Avà chứng minh sup AD1.
d) Số 0 là gì đối với tập A?
12. a) Dùng các ký hiệu 8hay 9để biểu thị hình thức logic của các phát biểu sau:
i/ Tập hợp A bị chặn dưới.
ii/ Số ˛không phải là cận dưới của tập A.
iii/ Số ˛không phải là phần tử nhỏ nhất của A.
b) Cho AD.1;2. Số 1000
999 có phải là cận dưới của A không? Tại sao?
c) Chứng minh không tồn tại min Avà chứng minh inf AD1.
d) Số 2 là gì đối với tập A?
13. Cho ADnC1
n=n2N. Tập A có bị chặn trên không, vì sao? Chứng minh A có
phần tử nhỏ nhất.
14. Cho ADn
nC1=n2N. Chứng minh A không có phần tử lớn nhất. Chứng minh
sup AD1và chứng minh Acó phần tử nhỏ nhất.
15. Cho .1/n
n=n2N. Chứng minh tồn tại max Avà min A.
16. Chứng minh rằng ˛Dsup Akhi và chỉ khi ˛là cận trên của A, đồng thời 8" >
0;9x2A;x> ˛ ".
17. Chứng minh rằng ˛Dinf Akhi và chỉ khi ˛là cận dưới của A, đồng thời 8" >
0;9x2A;x< ˛ C".
18. a) Cho hai số thực x,ythỏa yx>1. Chứng minh rằng có số nguyên msao cho
x<m<y.
Hướng dẫn. sử dụng ký hiệu Œxcho phần nguyên của x, là số nguyên lớn nhất
không vượt quá x, từ đó chỉ ra số mthỏa đề bài.
b) (Tính trù mật của Qtrong R) Cho hai số thực a,btùy ý và a<b. Chứng minh
rằng có số hữu tỉ qDm
n,m2Zvà n2N, sao cho a<q<b.
Hướng dẫn. Gọi nlà số tự nhiên đủ lớn để n.ba/ > 1, sau đó dùng kết quả
câu a ở trên.
19. Sự tồn tại số vô tỉ từ tiên đề về sự tồn tại biên trên:
a) Hãy chứng minh phương trình x2D2có nghiệm dương duy nhất là số thực
(nghiệm này được ký hiệu là p2) và không có nghiệm là số hữu tỉ.
Hướng dẫn. Đặt LDns2RC=s2<2ovà RDns2RC=s2>2o.
(i) Chứng minh hai tập Lvà Rkhác rỗng, Lbị chặn trên, Rbị chặn dưới. Từ
đó chứng minh sup Linf R.
(ii) Chứng minh không tồn tại max Lvà không tồn tại min R. Suy ra rằng nếu
số xthỏa sup Lxinf Rthì x2D2, đồng thời sup LDinf R.
(iii) Chứng minh nếu xthỏa x2D2thì xkhông phải là số hữu tỉ.