Áp dụng phép phân tích trực chuẩn giải phương trình đối lưu - khuếch tán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:3

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nghiên cứu này áp dụng phép phân tích trực chuẩn để giải phương trình đối lưu - khuếch tán, một bài toán phổ biến trong mô phỏng động học chất lỏng và vật lý. Phương pháp trực chuẩn cho phép tìm kiếm các giải pháp chính xác hơn trong việc xử lý sự kết hợp giữa đối lưu và khuếch tán trong các điều kiện biên phức tạp. Phân tích được thực hiện thông qua việc kiểm tra tính hội tụ và độ ổn định của phương pháp.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Áp dụng phép phân tích trực chuẩn giải phương trình đối lưu - khuếch tán

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5 ÁP DỤNG PHÉP PHÂN TÍCH TRỰC CHUẨN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI LƯU - KHUẾCH TÁN Nguyễn Đức Hậu Trường Đại học Thủy lợi, email: ndhau.dhtl@tlu.edu.vn 1. GIỚI THIỆU CHUNG Ten sơ tương quan được xác định bởi: Phương pháp phân tích trực chuẩn theo giá R ( x, y )  u '  x, t   u '  y , t  . trị riêng (POD) được sử dụng đầu tiên trong Bài toán xác định giá trị riêng i và véc tơ bài toán phân tích dữ liệu bởi Lumley [1] riêng ui : năm 1967 để xác định cấu trúc của dòng chảy rối. Phương pháp này được sử dụng để xấp xỉ   R  x, y  u  y    u  x  . i i i hệ phương trình Navier-Stokes nhằm xây dựng lại và kiểm soát dòng chảy. Phương Ta có: N pháp POD sẽ xác định một hệ sơ sở trực ui   Ti j v j , chuẩn để xấp xỉ (một cách tối ưu) các dữ liệu j 1 ban đầu là tập hợp rời rạc hoặc liên tục có cỡ do đó: lớn [2, 3]. Trong bài báo này tác giả sử dụng N N N phương pháp POD nghiên cứu phương trình  Q j 1 k 1 T v j  x   i  Ti j v j  x  , jk ik j 1 đối lưu-khuếch tán một chiều. ở đó ma trận Q được xác định bởi: 2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU N Q jk   a j  t  am  t   v k , v m  . (3) 2.1. Phương pháp phân tích trực chuẩn m 1  theo giá trị riêng (POD) Bài toán trở thành: N  N  Tích trong của hai trường véc tơ u và v được xác định như sau:    Q jk Tik  iTi j v j  x   0 . j 1  k 1   u, v  :  u  vdx , (1) Dạng ma trận của bài toán là:  Qt    i t  . i i với chuẩn được xác định bởi: Trực chuẩn hóa: u  :  u, u  . N Trung bình theo thời gian của đại lượng f ui   Ti j ' v j ; ui   1. j 1 trên khoảng thời gian T là: 1 T 2.2. Xét phương trình đối lưu-khuếch tán f :  fdt . (2) T0   2 u  u  2 u , Trường vận tốc được phân tích thành: t x x u  x, t   u 0  x   u '  x, t  , ở đó u là vận tốc, t là thời gian,   1 / Re . N Điều kiện biên tại x  0 và x   là: ở đó: u '  x, t    ai  t  v i  x  , i 1 u  0, t   cos t , với  v i i 1  L2    là hệ cơ sở POD. lim u  x, t   0 . N và: x  101
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5 Bài toán trên có nghiệm là: Trong các hình 1 và hình 2 biểu diễn hai u  e x cos   x  t  , POD modes trong trường hợp  = 1 và  = 0.1. Hình 3 và hình 4 biểu diễn hai hệ số thời gian 2  2 1  16 2  2 trong trường hợp  = 1 và  = 0.1. với:  , 4 2  2 1  16 2  . 4 3. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Nghiệm của phương trình đối lưu-khuếch tán một chiều có thể biểu diễn dạng: u  x, t   cos t.e  x cos  x  sin te  x sin  x 2   ai  t  vi  x  , i 1 ở đó: a1 (t )  cos t , a2 (t )  sin t , (4)  x  x Hình 1. POD mode trong trường hợp  = 1 v1 ( x)  e cos  x, v2 ( x)  e sin  x. (5) Xét trong chu kì T  2 và miền không gian    0,   . Tính toán ma trận Q trong (3) nhờ các công thức (1) và (2), đối với các hàm trong (4) và (5), và N  2 , ta nhận được: 1   2  2 2   Q  , 8  2   2    2  và các mod POD sau khi đã chuẩn hóa là: 2  x u1  x   e         cos  x     2   2 sin  x  ,    2 Hình 2. POD mode trong trường hợp  = 0.1 u2  x    e  x         cos  x     2   2 sin  x  ,    các hệ số thời gian được xác định bởi: 2 a1  t    4  2  2       sin t     2   2 cos t  ,    2 a2  t    4  2  2       sin t     2   2 cos t  .     Hình 3. Hệ số thời gian trong trường hợp  = 1 102
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2024. ISBN: 978-604-82-8175-5 4. KẾT LUẬN Trong bài báo này tác giả sử dụng phương pháp POD để nghiên cứu nghiệm của phương trình đối lưu-khuếch tán trong trường hợp một chiều. Hai mod POD sau khi đã chuẩn hóa và hệ số thời gian đã được xác định. 5. TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lumley, J. L. (1967), The structure of inhomogeneous turbulent flows, Atmospheric turbulence and radio wave propagation, Moscow : Nauka, 167-178. [2] Nguyễn Đức Hậu (2023). Áp dụng phép phân tích trực chuẩn phân tích dữ liệu trong bài toán dòng chảy rối. Tuyển tập Hội nghị Khoa học Thường niên năm 2023, tr. 84-86. Hình 4. Hệ số thời gian trong trường hợp  = 0.1 [3] Sirovich, L. (1987), Turbulence and the dynamics of coherent structures, Quarterly of Applied Mathematics, 5, 561-590. 103