KỲ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CAO CHUYÊN MÔN KHOA HỌC VÀ TOÁN
CẤP CAO LẦN THỨ NHẤT TOÀN QUỐC
NGÀY THI: 26/11/2025
Thời gian làm bài: 180 phút
PHẦN A — TOÁN HỌC
Câu A1. (Giải tích – Tối ưu phi tuyến)
Cho hàm
f(x)=x4−4x3+6x2+1.
(a) Chứng minh rằng
f(x)
đạt giá trị nhỏ nhất duy nhất trên
R
.
(b) Tìm giá trị nhỏ nhất đó và xác định tốc độ hội tụ của phương pháp
Newton khi áp dụng tại điểm gần nghiệm tối ưu.
Câu A2. (Đại số – Nhóm hoán vị)
Xét nhóm đối xứng
Sn
.
(a) Chứng minh rằng số lượng phần tử có cấp (order) đúng bằng 6 trong
S7
là bao nhiêu.
(b) Trình bày cách tổng quát để đếm số phần tử trong
Sn
có cấp cho trước.
Câu A3. (Hình học – Không gian metric)
Cho không gian metric
(X , d )
. Giả sử có dãy
thỏa:
d(xn+1, xn)≤1
2d(xn, xn−1),∀n ≥ 1.
(a) Chứng minh dãy
(xn)
hội tụ.
(b) Nếu thay hằng số
1/2
bằng
c∈(0,1)
, hãy mô tả tốc độ hội tụ theo
c
.
PHẦN B — LOGIC TOÁN & TƯ DUY HÌNH THỨC
Câu B1. (Logic mệnh đề – Chứng minh tính đúng đắn)
Cho công thức:
((P→ Q )∧(¬ P ∨R))→(Q∨R).
(a) Chứng minh công thức trên là hằng đúng (tautology).
(b) Viết dạng CNF tối thiểu của công thức.
Câu B2. (Logic bậc nhất – Khả quy & suy diễn)
Xét hệ tiên đề:
1.
∀x (A(x)→ B(x))
2.
∃x A ( x)
3.
∀x (B(x)→ C(f(x)))
Hãy chứng minh rằng:
∃y C (y)
là hệ quả logic, và phân tích độ phức tạp chứng minh trong hệ Hilbert.
Câu B3. (Bài toán đếm – Trí tuệ nhân tạo cổ điển)
Ta có 8 robot hoạt động độc lập, mỗi robot có 3 trạng thái: hoạt động,
chờ, tắt.
(a) Số cấu hình hợp lệ nếu không được phép có hơn 3 robot hoạt động
cùng lúc.
(b) Mô hình hóa bài toán này bằng logic vị từ và đưa ra thuật toán kiểm
tra tính hợp lệ thời gian tuyến tính theo số robot.
PHẦN C — VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
Câu C1. (Spin – Ma trận Pauli)
Cho vector trạng thái
∣ψ⟩=(α
β),∣α∣2+∣β∣2=1.
(a) Tính giá trị kỳ vọng của toán tử spin
Sz=ℏ
2σz
.
(b) Tìm trạng thái cho giá trị kỳ vọng bằng 0, và giải thích ý nghĩa vật lý.
Câu C2. (Hệ hai qubit – Entanglement)
Xét trạng thái
∣ϕ⟩=1
√
3∣00 ⟩+
√
2
√
3∣11 ⟩.
(a) Kiểm tra trạng thái này có vướng víu (entangled) hay không bằng cách
kiểm tra ma trận mật độ con.
(b) Tính entropy vướng víu
S=−Tr (ρAlog ⁡
2ρA)
.
Câu C3. (Cơ học lượng tử – Phương trình Schrödinger)
Hệ hạt trong giếng thế vô hạn chiều dài
L
.
(a) Viết nghiệm tổng quát của hàm sóng theo điều kiện biên.
(b) Xét trạng thái ban đầu:
ψ(x , 0)=Ax (L−x).
Tìm khai triển Fourier vào các trạng thái dừng và xác định
ψ(x ,t )
.
PHẦN D — HÓA HỌC CẤP CAO
Câu D1. (Hóa lý – động học phản ứng)
Phản ứng bậc hai:
A+B →C
(a) Dẫn ra phương trình tích phân biểu diễn nồng độ theo thời gian khi
nồng độ ban đầu của A và B là khác nhau.
(b) Từ công thức, phân tích trường hợp giới hạn khi
¿
.
Câu D2. (Cấu trúc phân tử – Lý thuyết nhóm)
Xét phân tử
P F5
.
(a) Xác định nhóm điểm (point group).
(b) Liệt kê tất cả các biểu diễn bất khả quy xuất hiện trong phân tích dao
động của phân tử.
(c) Nêu các dao động IR-active.
Câu D3. (Hóa lượng tử – Orbital phân tử)
Phân tử
H2
+¿¿
có phương trình Schrödinger gần đúng theo mô hình LCAO:
(a) Viết dạng sóng bonding và antibonding.
(b) Tính tỉ lệ mật độ phân bố tại mỗi hạt nhân khi hệ ở trạng thái bonding.
(c) Giải thích tại sao năng lượng giảm trong trạng thái bonding.
GIÁM THỊ COI THI KHÔNG GIẢI THÍCH GÌ THÊM.
--------------HẾT--------------