ĐINH HUY HOÀNG (CHỦ BIÊN)
NGUYỄN HUY CHIÊU - NGUYỄN VĂN ĐỨC
GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH HÀM
NGHỆ AN, 2024
PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG (CHỦ BIÊN) PGS.TS. NGUYỄN HUY CHIÊU, PGS.TS. NGUYỄN
VĂN ĐỨC
GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH HÀM
(DÙNG CHO ĐÀO TẠO CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN HỌC)
NGHỆ AN, 2024
MỤC LỤC
Lời nói đầu
Chương 1 Không gian mêtric
1.1 Không gian mêtric và dãy hội tụ trong không gian mêtric . . . . . . .
1.1.1 Định nghĩa và ví dụ về không gian mêtric . . . . . . . . . . .
1.1.2 Khái niệm và tính chất cơ bản của dãy hội tụ . . . . . . . . .
1.2 Tập mở và tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Tập mở, tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Phần trong, bao đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Khái niệm liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Các tính chất của ánh xạ liên tục . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Không gian mêtric đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản . . . . . . . . .
1.4.2 Định lí phạm trù . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Định lý điểm bất động Banach . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Không gian mêtric compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Ánh xạ liên tục trên tập compact . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Không gian mêtric liên thông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Định nghĩa và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4Giáo trình Giải tích hàm
1.6.2 Tập liên thông trong R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Tóm tắt chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Hướng dẫn tự học và tài liệu đọc thêm chương 1 . . . . . . . . . . . . 51
Bài tập chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Chương 2 Không gian định chuẩn 56
2.1 Các khái niệm và tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.1 Chuẩn và mêtric sinh bởi chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.1.2 Chuỗi trong không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.1.3 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.2 Không gian Lp(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.1 Không gian Lp(X) với 1 6 p < ∞. . . . . . . . . . . . . . . 73
2.2.2 Không gian L∞(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.3 Ánh xạ tuyến tính liên tục giữa các không gian định chuẩn . . . . . . 79
2.3.1 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.2 Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . 81
2.3.3 Các ví dụ về ánh xạ tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . 85
2.4 Không gian con, không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.4.1 Không gian con . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.4.2 Tổng trực tiếp tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.4.3 Siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.4.4 Không gian thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.5 Không gian hữu hạn chiều, không gian khả li . . . . . . . . . . . . . . 93
2.5.1 Không gian hữu hạn chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.5.2 Tập toàn vẹn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.5.3 Không gian khả li . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Tóm tắt chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
Hướng dẫn tự học và tài liệu đọc thêm chương 2 . . . . . . . . . . . . 100
5Giáo trình Giải tích hàm
Bài tập chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Chương 3 Các định lí cơ bản của giải tích hàm 107
3.1 Định lí Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1.1 Bổ đề Zorn, sơ chuẩn, nửa chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.1.2 Định lí Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.1.3 Vài hệ quả của Định lí Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2 Định lí ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.2.1 Định lí ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.2.2 Vài hệ quả của định lí ánh xạ mở . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3 Định lí đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.1 Đồ thị của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.2 Định lí đồ thị đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4 Nguyên lí bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4.1 Nửa chuẩn liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.4.2 Nguyên lí bị chặn đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Tóm tắt chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Hướng dẫn tự học và tài liệu đọc thêm chương 3 . . . . . . . . . . . . 121
Bài tập chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Chương 4 Không gian Hilbert 124
4.1 Không gian tiền Hilbert và không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . 125
4.1.1 Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
4.1.2 Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.2 Quan hệ trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.1 Định lý Pythagore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.2 Hệ trực giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
4.2.3 Các quan hệ trực giao khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131