TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT - CÔNG NGHỆ CẦN THƠ
KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BỘ MÔN TOÁN - TIN HỌC ỨNG DỤNG
BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH 2
(Dùng cho các lớp chuyên ngành kỹ thuật)
Năm 2022
Mục lục
2
MỤC LỤC
Tài liệu tham khảo .......................................................................................................... 1
Mục lục ............................................................................................................................ 2
Chương 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN ............................................... 5
1.1. HÀM HAI BIẾN – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC ....................................................... 5
1.1.1. Miền phẳng ................................................................................................. 5
1.1.2. Hàm hai biến ............................................................................................... 6
1.1.3. Giới hạn của hàm hai biến .......................................................................... 8
1.1.4. Hàm số liên tục ........................................................................................... 9
1.2. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN ............................................. 10
1.2.1. Đạo hàm riêng........................................................................................... 10
1.2.2. Vi phân toàn phần ..................................................................................... 11
1.2.3. Đạo hàm hàm số hợp ................................................................................ 12
1.2.4. Đạo hàm hàm số ẩn................................................................................... 13
1.2.5. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao ............................................................ 14
1.3. ỨNG DỤNG ........................................................................................................ 16
1.3.1. Tính gần đúng nhờ vi phân ....................................................................... 16
1.3.2. Cực trị địa phương .................................................................................... 17
1.3.3. Cực trị có điều kiện ................................................................................... 20
1.3.4. Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất ...................................................................... 21
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 .................................................................................................. 24
Chương 2: TÍCH PHÂN BỘI ....................................................................................... 27
2.1. TÍCH PHÂN 2 LỚP ............................................................................................. 27
2.1.1. Định nghĩa và ý nghĩa hình học ................................................................ 27
2.1.2. Cách tính ................................................................................................... 29
2.1.3. Đổi biến số trong tích phân 2 lớp ............................................................. 30
2.2. TÍCH PHÂN 3 LỚP ............................................................................................. 33
2.2.1. Định nghĩa và ý nghĩa vật lý ..................................................................... 33
Mục lục
3
2.2.2. Cách tính ................................................................................................... 35
2.2.3. Đổi biến số trong tích phân 3 lớp ............................................................. 37
2.3. ỨNG DỤNG ........................................................................................................ 41
2.3.1. Ứng dụng trong toán học .......................................................................... 41
2.3.2. Ứng dụng trong vật lý ............................................................................... 44
2.4. BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ......................................................................................... 48
Chương 3: ĐƯỜNG CONG TRONG KHÔNG GIAN ................................................ 52
3.1. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM VECTƠ ............................................................... 52
3.1.1. Phương trình vectơ của đường cong ......................................................... 52
3.1.2. Giới hạn và liên tục ................................................................................... 53
3.1.3. Đạo hàm cấp 1 .......................................................................................... 54
3.1.4. Đạo hàm cấp 2 .......................................................................................... 56
3.1.5. Tiếp tuyến và pháp diện ............................................................................ 57
3.2. ĐỘ CONG CỦA ĐƯỜNG CONG, PHÁP TUYẾN CHÍNH ............................. 59
3.2.1. Phương trình đường cong theo độ dài cung ............................................. 59
3.2.2. Độ cong của đường cong .......................................................................... 60
3.2.3. Mặt phẳng mật tiếp, trùng pháp tuyến, độ xoắn ....................................... 62
3.3. TIẾP DIỆN VÀ PHÁP TUYẾN CỦA MẶT CONG .......................................... 65
3.4. BÀI TẬP CHƯƠNG 3 ......................................................................................... 68
Chương 4: TÍCH PHÂN ĐƯỜNG – TÍCH PHÂN MẶT ............................................ 70
4.1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG ......................................................................................... 70
4.1.1. Tích phân đường loại 1 ............................................................................. 70
4.1.2. Cách tính tích phân đường loại 1 .............................................................. 72
4.1.3. Tích phân đường loại 2 ............................................................................. 73
4.1.4. Cách tính tích phân đường loại 2 .............................................................. 76
4.1.5. Công thức Green và định lý 4 mệnh đề tương đương .............................. 78
4.1.6. Ứng dụng trong toán học .......................................................................... 82
4.1.7. Ứng dụng trong vật lý ............................................................................... 83
4.2. TÍCH PHÂN MẶT............................................................................................... 86
Mục lục
4
4.2.1. Một số khái niệm ...................................................................................... 86
4.2.2. Tích phân mặt loại 1 ................................................................................. 87
4.2.3. Cách tính tích phân mặt loại 1 .................................................................. 89
4.2.4. Tích phân mặt loại 2 ................................................................................. 90
4.2.5. Cách tính tích phân mặt loại 2 .................................................................. 93
4.2.6. Định lý Stokes và định lý 4 mệnh đề tương đương trong không gian ...... 95
4.2.7. Ứng dụng trong toán học ........................................................................ 100
4.2.8. Ứng dụng trong vật lý ............................................................................. 101
4.3. BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ....................................................................................... 102
Chương 5: GIẢI TÍCH VECTƠ ................................................................................. 108
5.1. TRƯỜNG VÔ HƯỚNG .................................................................................... 108
5.1.1. Định nghĩa trường vô hướng .................................................................. 108
5.1.2. Mặt mức (mặt đẳng trị) ........................................................................... 108
5.1.3. Đạo hàm theo hướng ............................................................................... 109
5.1.4. Gradient .................................................................................................. 111
5.2. TRƯỜNG VECTƠ ............................................................................................ 112
5.2.1. Định nghĩa trường vectơ ......................................................................... 112
5.2.2. Đường dòng ............................................................................................ 113
5.2.3. Thông lượng ........................................................................................... 114
5.2.4. Độ phân kỳ .............................................................................................. 115
5.2.5. Hoàn lưu ................................................................................................. 116
5.2.6. Vectơ xoáy .............................................................................................. 117
5.2.7. Toán tử Hamilton .................................................................................... 118
5.2.8. Một số trường đặc biệt ............................................................................ 119
5.3. BÀI TẬP CHƯƠNG 5 ....................................................................................... 121
Chương 1: Phép tính vi phân hàm nhiều biến
5
G
M
yM
x
y
O
L
Chương 1:
PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
Mở đầu: Trước đây, chúng ta đã làm quen với các hàm số dạng y = (x) và được
gọi là hàm số một biến số. Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen với các hàm số
phụ thuộc hai, ba, … biến khác nhau - được gọi chung là hàm nhiều biến.
Để đơn giản và trực quan - ở đây ta chỉ cần xét hàm hai biến, còn các hàm nhiều
biến hơn thì hoàn toàn tương tự.
1.1. HÀM HAI BIẾN – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
1.1.1. Miền phẳng
* Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy, mỗi điểm M đều tương ứng
với một bộ (cặp) số thực (xM, yM) gọi là tọa độ của nó: xM được gọi là hoành độ còn yM
được gọi là tung độ và ta viết M(xM, yM).
Nên mặt phẳng còn được gọi là mặt phẳng R2 hay mặt phẳng Oxy.
* Tập G R2 được gọi là một miền phẳng, đường
cong L (nếu có) giới hạn G được gọi là biên của G
* Khoảng cách giữa M(xM, yM) và N(xN, yN) là MN =
22 )-()-( MNMN yyxx +
* Hình tròn tâm M0(x0, y0) bán kính r > 0 là tập S(M0, r) = {M R2: M0M < r}
* Dãy điểm {Mn(xn, yn)} R2 được gọi là dần về M0(x0, y0) nếu limMnM0 = 0.
Ta có Mn → M0 limxn = x0 và limyn = y0.
Ví dụ: {Mn(
n
1
,
n
1
)}, {M’n(0,
n
1
)} hội tụ về O(0, 0) khi n → ; {Mn(
21
n
n−
, 1)} hội tụ
về I(0, 1).