Chương 2. Tích phân bội hai
CÁC NỘI DUNG SẼ HỌC:
2.1. Phương trình tham số và tọa độ cực của đường cong
2.1.1. Phương trình tham số của đường cong
2.1.2. Phương trình của đường cong trong toạ độ cực
2.2. Tích phân bội hai
2.2.1. Định nghĩa và tính chất của tích phân bội hai
2.2.2. Cách tính tích phân bội hai trong hệ trục tọa độ Đề-các
2.2.3. Đổi biến trong tích phân bội hai
2.2.4. Cách tính tích phân bội hai trong hệ tọa độ cực
2.3. Ứng dụng của tích phân bội hai
2.3.1. Tính khối lượng của một bản phẳng không đồng chất
2.3.2. Mômen quán tính của bản phẳng
2.3.3. Trọng tâm của bản phẳng
(KHUD-HUIT) Bài giảng môn Giải tích nâng cao 67 / 138
Chương 2. Tích phân bội hai
2.2. TÍCH PHÂN BỘI HAI
2.2.1. Định nghĩa và tính chất của tích phân bội hai
Giả sử cần tính thể tích Vcủa vật thể hình trụ cong Ω,giới hạn
dưới bởi miền hữu hạn D(Oxy),giới hạn trên bởi mặt cong
S:z=f(x,y)0 và giới hạn xung quanh bởi mặt trụ với
đường sinh song song với trục Oz và đường chuẩn là biên của D.
Hàm số z=f(x,y)xác định, liên tục và không âm trong miền
D.
Chia miền Dmột cách tùy ý thành nmiền nhỏ D1,D2, ..., Dn
không dẫm lên nhau ( nghĩa là ˚
Di\˚
Dj=?,8i6=j,
[n
i=1Di=D), có các diện tích tương ứng là ∆S1,∆S2, ..., ∆Sn,
và qua biên của các miền nhỏ ấy dựng các mặt trụ đường sinh
song song với trục Oz.Như vậy hình trụ cong được chia thành n
hình trụ cong nhỏ Ω1,Ω2,...,Ωn.
(KHUD-HUIT) Bài giảng môn Giải tích nâng cao 68 / 138
Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép - thể
tích vật thể hình trụ cong
Hình 2.1
(KHUD-HUIT) Bài giảng môn Giải tích nâng cao 69 / 138
Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép - thể
tích vật thể hình trụ cong
Để tính thể tích của Ωi,lấy trong miền Dimột điểm tùy ý
Mi(ξi,ηi).
Do f(x,y)liên tục trên miền D,nên trên miền nhỏ Di,
f(M)'f(Mi). Vậy ta có thể xem V(Ωi)gần bằng thể tích
hình trụ đáy Divà chiều cao f(Mi)
∆Vi=V(Ωi)f(Mi)S(Di) = f(ξi,ηi)∆Si(24)
và thể tích Vcủa Ωđược tính gần đúng bằng tổng sau
V(Ω)
n
∑
i=1
f(ξi,ηi)∆Si=Vn(25)
(KHUD-HUIT) Bài giảng môn Giải tích nâng cao 70 / 138
Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân kép - thể
tích vật thể hình trụ cong
Khi tăng số phần chia nlên sao cho các miền nhỏ Dicó đường
kính d(Di)(ở đây d(Di)ký hiệu là đường kính của mảnh Di
bằng khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm bất kì thuộc Di)càng
nhỏ lại thì sự khác nhau giữa Vvà Vncàng ít.
Cho max d(Di)!0 (khi ấy n!∞,∆Si!0)thì Vntiến đến
giá trị giới hạn là thể tích của khối Ω.
Vậy
V(Ω) = lim
max
1ind(Di)!0Vn=lim
max
1ind(Di)!0
n
∑
i=1
f(ξi,ηi)∆Si
| {z }
.
Sn
(KHUD-HUIT) Bài giảng môn Giải tích nâng cao 71 / 138