Giảng viên ra đề: 24-07-2020 Người phê duyệt: 24-07-2020
Trưởng BM KHMT
Nguyễn An Khương
TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA – ĐHQG-HCM
KHOA KH&KT MÁY TÍNH
THI CUỐI KỲ Học kỳ/Năm học 2 2019-2020
Ngày thi 25-07-2020
Môn học Mô hình hóa Toán học
Mã môn học CO2011
Thời lượng 90 phút Mã đề 2571
Ghi chú: - SV được phép sử dụng 01 tờ giấy A4 viết tay có chứa ghi chép cần thiết.
- SV phải ghi MSSV, họ và tên vào cuối trang này và nộp lại đề thi cùng với bài làm.
- Tô đậm phương án trả lời đúng vào phiếu làm bài trắc nghiệm.
- Bài thi có 25 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có điểm số là 0.4.
[Đối với riêng các câu về hệ động lực nhằm để kiểm tra mức độ nắm vững lý thuyết trong bài
tập lớn về mô hình SIR, ta xét chung mô hình SIR rời rạc gồm các dãy giá trị S(n),I(n)và R(n)với
n= 0,1,2, . . . thỏa
S(n+ 1) = S(n)−βS(n)I(n),
I(n+ 1) = I(n) + βS(n)I(n)−γI(n),
R(n+ 1) = R(n) + γI(n)
và mô hình SIR liên tục
dS
dt =−βSI,
dI
dt =βSI −γI,
dR
dt =γI.
Trong đó
•Slà số người chưa từng nhiễm bệnh và có nguy cơ nhiễm bệnh với tỷ lệ β > 0hằng số;
•Ilà số người đã nhiễm bệnh với tỷ lệ phục hồi γ > 0hằng số;
•Rlà số người đã phục hồi sau khi nhiễm bệnh và không có nguy cơ mắc bệnh trở lại;
•S, I và Rlà các hàm số phụ thuộc biến thời gian t≥0trong trường hợp liên tục;
•Điều kiện ban đầu là S(0), I(0) và R(0).
Các mô hình này mô tả một bệnh truyền nhiễm trong một cộng đồng có số dân không đổi là N.]
Câu 1. Xét mô hình SIR rời rạc. Giả sử số dân là 500, trong đó ở thời điểm đầu tiên, có 10 người nhiễm
bệnh và không có ca hồi phục. Giả sử tỷ lệ hồi phục là 60% và tỷ lệ bệnh lây lan là 0.3%. Hỏi
số người có nguy cơ mắc bệnh sau 2tuần là bao nhiêu (lấy đến 2 vị trí sau dấu thập phân) nếu
giả sử người đã phục hồi vẫn có thể mắc bệnh lại như người chưa từng mắc bệnh nếu họ tiếp
xúc với người nhiễm bệnh?
A360.25.
B465.51.
C455.24.
D503.33.
Câu 2. Xét mô hình SIR rời rạc. Giả sử thời gian hồi phục của một người từ khi nhiễm bệnh cho đến
khi khỏi bệnh đúng bằng 3 tuần và 5 ngày. Sau một tuần, có tất cả 14 trường hợp mới mắc
bệnh. Hỏi có bao nhiêu người nhiễm bệnh ở tuần trước đó?
A35.
B40.
C25.
D52.
MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . Họ và tên SV: . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 1/5
Câu 3. Xét mô hình SIR rời rạc. Giả sử số ca nhiễm bệnh mới mỗi tuần là một biến ngẫu nhiên rời rạc
gọi là X. Giả Xcó phân phối Poisson Poi (λ). Biết rằng có 70% khả năng λ= 3 và 30% khả
năng λ= 7. Hỏi xác suất để có từ 6 đến 8 ca nhiễm mới mỗi tuần xấp xỉ là bao nhiêu? Biết
rằng hàm khối của phân phối Poi (λ)cho bởi
P(X=k) = λke−λ
k!, k = 0,1,2, . . .
A0.20.
B0.18.
C0.35.
D0.5.
Câu 4. Xét mô hình SIR rời rạc. Giả sử số ca nhiễm mới mỗi tuần là một biến ngẫu nhiên rời rạc gọi là
X. Giả sử Xcó phân phối Poisson Poi (λ)với λ= 4. Xác suất để có từ 6 đến 8 ca nhiễm mới
trong một tuần xấp xỉ bao nhiêu? Biết rằng hàm khối của phân phối Poi (λ)cho bởi
P(X=k) = λke−λ
k!, k = 0,1,2, . . .
A0.19.
B0.21.
C0.33.
D0.15.
Câu 5. Xét mô hình SIR rời rạc. Giả sử thời gian phục hồi của một người từ khi mắc bệnh cho đến khi
khỏi bệnh đúng bằng 2 tuần và 6 ngày. Hỏi mỗi tuần có bao nhiêu phần trăm người khỏi bệnh
từ nhóm người nhiễm bệnh?
A35%.
B15%.
C5%.
D25%.
Câu 6. Automata hữu hạn trên bảng chữ cái {a, b}
cho bởi hình bên chấp nhận ngôn ngữ với biểu
thức chính quy nào sau đây?
Ab∗a(a+b)∗.
Bb∗ab∗ab∗ab∗.
C(a+b)∗.
Db∗ab∗ab∗.
Câu 7. Số lượng trạng thái tối thiểu để xây dựng một DFA chấp nhận ngôn ngữ L= (111 + 11111)∗là
A9.
B3.
C5.
D8.
Câu 8. Xét mô hình SIR liên tục. Giả sử số ca nhiễm mới mỗi tuần là một biến ngẫu nhiên liên tục gọi
là X. Giả sử Xcó phân phối Gamma (α, β), với hàm tích lũy xác suất cho bởi
P(X≤x) = 1
Γ(α)Zx
0
βαyα−1e−βy dy
trong đó α, β, x > 0và Γ(α)là hàm Gamma, có tính chất nếu αlà số nguyên dương thì
Γ(α) = (α−1)!.
Cho α= 2 và β= 1, xác suất sao cho có từ 6 đến 8 ca nhiễm mới mỗi tuần xấp xỉ là bao nhiêu?
A0.005.
B0.1.
C0.014.
D0.24.
MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . Họ và tên SV: . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 2/5
Câu 9. Automata hữu hạn sau đây môt tả sơ đồ trạng
thái trong đó Alà trạng thái khởi đầu, mỗi
cạnh được gán nhãn x/y với xchỉ cho 1-bit
đầu vào và ychỉ cho 2-bit đầu ra. Khi đó,
AĐầu ra là tổng của các bit đầu vào của trạng thái hiện tại và trạng thái trước.
BĐầu ra là 01 bất cứ khi nào chuỗi đầu vào chứa chuỗi con 11.
CĐầu ra là 00 bất cứ khi nào chuỗi đầu vào chứa chuỗi con 10.
DĐầu ra là tích của các bit đầu vào của trạng thái hiện tại và trạng thái trước.
Câu 10. Xét mô hình SIR liên tục. Giả sử rằng những người đã phục hồi sau khi nhiễm bệnh vẫn có thể
nhiễm bệnh trở lại giống như người chưa từng nhiễm bệnh nếu họ tiếp xúc người bệnh. Khi đó
mô hình liên tục nào dưới đây là mô hình SIR điều chỉnh phù hợp với giả định trên?
A
dS
dt =−βSI,
dI
dt =βSI −γI.
B
dS
dt =−βSI +γI,
dI
dt =βSI −γI.
C
dS
dt =−βγSI,
dI
dt =βSI −γI.
D
dS
dt =−β
γSI,
dI
dt =βSI −γI.
Câu 11. Đối với DFA trên bảng chữ cái {a, b}cho bởi
hình bên thì DFA nào sau đây là DFA tối tiểu
thu gọn tương ứng với nó?
A
B
C
D
Câu 12. Xét mô hình SIR liên tục. Giả sử rằng mọi người nhiễm bệnh đều có khả năng tử vong theo tỷ
lệ µ > 0hằng số. Gọi số ca tử vong là hàm số Dtheo thời gian. Khi đó phương trình nào sau
đây đúng cho D?
AdD
dt =µI.
BdD
dt =−µI.
CdD
dt = (γ−µ)I.
DdD
dt = (γ+µ)I.
Câu 13. Ngôn ngữ nào sau đây trên bảng chữ cái {0,1}mô tả biểu thức chính quy (0+1)∗0(0+1)∗0(0+1)∗?
ATập tất cả các chuỗi chứa ít nhất hai kí tự 0.
BTập tất cả các chuỗi chứa chuỗi con 00.
CTập tất cả các chuỗi chứa nhiều nhất hai kí tự 0.
DTập tất cả các chuỗi có kí tự đầu tiên và cuối cùng đều là 0 hoặc 1.
MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . Họ và tên SV: . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 3/5
Câu 14. Xét mô hình SIR liên tục. Nghiệm chính xác của Itrong hệ tuyến tính hóa cho bởi Câu hỏi
15 là nghiệm nào dưới đây?
AI(t) = I(0)e(βN +γ)t.
BI(t) = I(0)S(0)e(βN −γ)t.
CI(t) = I(0)e(βN −γ)t.
DI(t) = I(0)e−(βN −γ)t.
Câu 15. Với ngôn ngữ L={ab, aa, baa},thì chuỗi nào sau đây thuộc vào L∗?
(1) abaabaaabaa (2) aaaabaaaa (3) baaaaabaaaab (4) baaaaabaa
ACác chuỗi (1), (2) và (4).
BCác chuỗi (1), (2) và (3).
CCác chuỗi (2), (3) và (4).
DCác chuỗi (1), (3) và (4).
Câu 16. Xét mô hình SIR rời rạc. Giả sử số dân là 500, trong đó ở thời điểm đầu tiên ghi nhận chỉ có 7
người nhiễm bệnh và chưa có ca phục hồi. Giả sử tỷ lệ khỏi bệnh là 60% và tỷ lệ bệnh lây lan là
một hằng số nào đó chưa biết. Nếu sau một tuần, số người mắc bệnh là 12, tỷ lệ bệnh lây lan
sẽ là bao nhiêu (kết quả lấy đến 4vị trí sau dấu thập phân)?
A0.0015.
B0.0032.
C0.0026.
D0.0014.
Câu 17. Đối với DFA cho bởi hình bên thì khẳng định
nào sau đây sai?
1. L(A)là một ngôn ngữ chính quy.
2. L(A) = L((11∗0 + 0)(0 + 1)∗0∗1∗).
3. Đây là một DFA tối tiểu.
4. DFA này chỉ chấp nhận các chuỗi trên
{0,1}với độ dài ít nhất là 2.
AChỉ 3 và 4 sai.
BChỉ 2 và 4 sai.
CChỉ 2 và 3 sai.
DChỉ 1 và 3 sai.
Câu 18. Ngôn ngữ nào sau đây là chính quy
(I) {anb2m|m, n ≥0}.(II) {anbm|n= 2m}.(III) {anbm|m6=n}.(IV) {xcy|x, y ∈ {a, b}∗}?
AChỉ (I) và (IV).
BChỉ (I) và (III).
CChỉ (I).
DChỉ (IV).
Câu 19. Xét mô hình SIR liên tục. Xét hệ tuyến tính hóa như trong Câu hỏi 15, số người nhiễm bệnh
sẽ tăng theo tốc độ hàm mũ khi nào?
AR0:= β
γ<1.
BR0:= β
γ>1.
CR0:= βN
γ<1.
DR0:= βN
γ>1.
Câu 20. Khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
AMọi tập con hữu hạn của một ngôn ngữ không chính quy sẽ là một ngôn ngữ chính quy.
BMọi tập con của một ngôn ngữ chính quy cũng là một ngôn ngữ chính quy.
CHợp của hai ngôn ngữ không chính quy luôn là một ngôn ngữ không chính quy.
DHợp vô hạn của các ngôn ngữ hữu hạn luôn là ngôn ngữ chính quy.
MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . Họ và tên SV: . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 4/5
Câu 21. Cho hai hàm số thực fvà gphụ thuộc vào hai biến x, y ∈R. Gọi (x∗, y∗)là nghiệm của các
phương trình f(x, y) = g(x, y)=0. Sự tuyến tính hóa hệ động lực
dx
dt =f(x, y),
dy
dt =g(x, y)
xung quanh điểm (x∗, y∗)cho bởi hệ động lực tuyến tính
dx
dt =fx(x∗, y∗)x+fy(x∗, y∗)y,
dy
dt =gx(x∗, y∗)x+gy(x∗, y∗)y,
trong đó fxlà đạo hàm riêng của hàm ftheo biến x. Xét hệ tuyến tính hóa cho hệ SIR liên tục
(chỉ xét hai phương trình cho Svà I) xung quanh điểm (S(0), I(0)) = (N, 0) với Nlà hằng số
và là số dân, phương trình nào sau đây là sự tuyến tính hóa cho hàm I?
AdI
dt = (βN −γ)I.
BdI
dt = (βN +γ)I.
CdI
dt =βNI −γS.
DdI
dt =βNS +γI.
Câu 22. Xét mô hình SIR liên tục. Điều nào sau đây là đúng?
AR(t) = R(0) + γ
βln S(0)
S(t).
BI(t) = I(0) + γ
βln S(0)
S(t).
CR(t) = R(0) + γ
βln S(t)
S(0).
DI(t) = I(0) + γ
βln S(t)
S(0).
Câu 23. Xét mô hình SIR rời rạc. Giả sử số dân là 500 người, trong đó ở thời điểm đầu tiên ghi nhận
chỉ có 10 người nhiễm bệnh và chưa có ca phục hồi. Nếu tỷ lệ hồi phục là 60% và tỷ lệ bệnh lây
lan là 0.3%, số người mắc bệnh sau 3 tuần là bao nhiêu (kết quả lấy đến 2vị trí sau dấu thập
phân)?
A34.14.
B59.61.
C54.95.
D34.33.
Câu 24. Với nnguyên dương, xét ngôn ngữ Ltrên bảng chữ cái {a}cho bởi
L={ank|k∈Z+}.
Khi đó số trạng thái nhỏ nhất để xây dựng một DFA chấp nhận Llà
An+ 1.
B2n+1.
Ck.
D2k+1.
Câu 25. Xét mô hình SIR liên tục. Trạng thái (S, I, R)được gọi là trạng thái cân bằng của hệ SIR
nếu dS(t)
dt =dI(t)
dt =dR(t)
dt = 0,∀t≥0.
Khẳng định nào sau đây là chính xác nhất?
AMô hình SIR không có trạng thái cân bằng.
BMô hình SIR đạt trạng thái cân bằng ở tại thời điểm có một vài trường hợp mắc bệnh.
CMô hình SIR đạt trạng thái cân bằng khi không còn người trong nhóm có nguy cơ.
DMô hình SIR đạt trạng thái cân bằng khi không có người mắc bệnh.
MSSV: . . . . . . . . . . . . . . . . . Họ và tên SV: . . . . . . . . . . . . . . . . . Trang 5/5