intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Giải tích 3: Chương 1

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:133

Thêm vào BST
Báo xấu
3
lượt xem 2
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Giải tích 3" Chương 1 - Chuỗi, được biên soạn gồm các nội dung chính sau: đại cương về chuỗi số; chuỗi số dương; chuỗi số có số hạng với dấu bất kỳ; chuỗi hàm số; chuỗi lũy thừa; chuỗi fourier;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích 3: Chương 1

  1. Chương 1: CHUỖI BỘ MÔN TOÁN CƠ BẢN VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI SAMI (HUST) – version 2023 Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 1/54 1 / 54
  2. Chương 1: CHUỖI 1 Bài 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ 2 Bài 2: CHUỖI SỐ DƯƠNG 3 Bài 3: CHUỖI SỐ CÓ SỐ HẠNG VỚI DẤU BẤT KỲ 4 Bài 4: CHUỖI HÀM SỐ 5 Bài 5: CHUỖI LŨY THỪA 6 Bài 6: CHUỖI FOURIER Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 2/54 2 / 54
  3. Chương 1: CHUỖI Bài 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ CHUỖI SỐ Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 3/54 3 / 54
  4. Bài 1: Đại cương về chuỗi số I. Các định nghĩa và một số ví dụ ban đầu Cho {an }∞ là một dãy số bất kỳ. Tổng vô hạn các số hạng n=1 a1 + a2 + · · · + an + · · · ∞ được gọi là một chuỗi số và được ký hiệu là an . Khi đó: n=1 Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 4/54 4 / 54
  5. Bài 1: Đại cương về chuỗi số I. Các định nghĩa và một số ví dụ ban đầu Cho {an }∞ là một dãy số bất kỳ. Tổng vô hạn các số hạng n=1 a1 + a2 + · · · + an + · · · ∞ được gọi là một chuỗi số và được ký hiệu là an . Khi đó: n=1 • an được gọi là số hạng tổng quát. Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 4/54 4 / 54
  6. Bài 1: Đại cương về chuỗi số I. Các định nghĩa và một số ví dụ ban đầu Cho {an }∞ là một dãy số bất kỳ. Tổng vô hạn các số hạng n=1 a1 + a2 + · · · + an + · · · ∞ được gọi là một chuỗi số và được ký hiệu là an . Khi đó: n=1 • an được gọi là số hạng tổng quát. • Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n. Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 4/54 4 / 54
  7. Bài 1: Đại cương về chuỗi số I. Các định nghĩa và một số ví dụ ban đầu Cho {an }∞ là một dãy số bất kỳ. Tổng vô hạn các số hạng n=1 a1 + a2 + · · · + an + · · · ∞ được gọi là một chuỗi số và được ký hiệu là an . Khi đó: n=1 • an được gọi là số hạng tổng quát. • Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n. • Nếu dãy số {Sn }∞ có lim Sn = S là một số hữu hạn, thì ta nói chuỗi hội tụ (HT), có tổng bằng n=1 ∞ S và viết an = S. n=1 Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 4/54 4 / 54
  8. Bài 1: Đại cương về chuỗi số I. Các định nghĩa và một số ví dụ ban đầu Cho {an }∞ là một dãy số bất kỳ. Tổng vô hạn các số hạng n=1 a1 + a2 + · · · + an + · · · ∞ được gọi là một chuỗi số và được ký hiệu là an . Khi đó: n=1 • an được gọi là số hạng tổng quát. • Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n. • Nếu dãy số {Sn }∞ có lim Sn = S là một số hữu hạn, thì ta nói chuỗi hội tụ (HT), có tổng bằng n=1 ∞ S và viết an = S. Nếu dãy số {Sn }∞ không có giới hạn hữu hạn, thì ta nói chuỗi phân kỳ n=1 n=1 (PK). Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 4/54 4 / 54
  9. Bài 1: Đại cương về chuỗi số I. Các định nghĩa và một số ví dụ ban đầu Cho {an }∞ là một dãy số bất kỳ. Tổng vô hạn các số hạng n=1 a1 + a2 + · · · + an + · · · ∞ được gọi là một chuỗi số và được ký hiệu là an . Khi đó: n=1 • an được gọi là số hạng tổng quát. • Sn = a1 + a2 + · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n. • Nếu dãy số {Sn }∞ có lim Sn = S là một số hữu hạn, thì ta nói chuỗi hội tụ (HT), có tổng bằng n=1 ∞ S và viết an = S. Nếu dãy số {Sn }∞ không có giới hạn hữu hạn, thì ta nói chuỗi phân kỳ n=1 n=1 (PK). • Rn = S − Sn được gọi là phần dư thứ n. Nếu chuỗi HT, thì lim Rn = 0. Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 4/54 4 / 54
  10. Bài 1: Đại cương về chuỗi số Ví dụ: Xét sự HT, PK và tính tổng (nếu có) của các chuỗi sau đây: ∞ 1) a.q n−1 , với a ̸= 0 (Chuỗi hình học). n=1 Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 5/54 5 / 54
  11. Bài 1: Đại cương về chuỗi số Ví dụ: Xét sự HT, PK và tính tổng (nếu có) của các chuỗi sau đây: ∞ 1) a.q n−1 , với a ̸= 0 (Chuỗi hình học). n=1 ® Sn = a + aq + · · · + aq n−1 1 − qn Giải: Ta có . Do đó Sn = a (với q ̸= 1) và qSn = aq + aq 2 + · · · + aq n 1−q  a  nếu |q| < 1 lim Sn = 1 − q ∞ nếu |q| > 1. • Nếu q = 1 thì Sn = an ⇒ lim Sn = ±∞ tùy theo dấu của a ⇒ Chuỗi PK. ® 0 nếu n chẵn • Nếu q = −1 thì Sn = ⇒ không tồn tại lim Sn ⇒ Chuỗi PK. a nếu n lẻ a KL: Chuỗi hình học đã cho HT và có tổng bằng nếu |q| < 1, PK nếu |q| ≥ 1. 1−q Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 5/54 5 / 54
  12. Bài 1: Đại cương về chuỗi số ∞ 1 2) . n=1 n(n + 2) Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 6/54 6 / 54
  13. Bài 1: Đại cương về chuỗi số ∞ 1 2) . n=1 n(n + 2) 1 1 1 Giải: Phân tích un = − . Ta có 2 n n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = − + − + ··· + − = + − − 2 1 3 2 4 n n+2 2 1 2 n+1 n+2 Do đó lim Sn = 3/4. KL: Chuỗi đã cho HT và có tổng bằng 3/4. Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 6/54 6 / 54
  14. Bài 1: Đại cương về chuỗi số ∞ 1 2) . n=1 n(n + 2) 1 1 1 Giải: Phân tích un = − . Ta có 2 n n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = − + − + ··· + − = + − − 2 1 3 2 4 n n+2 2 1 2 n+1 n+2 Do đó lim Sn = 3/4. KL: Chuỗi đã cho HT và có tổng bằng 3/4. ∞ 1 3) (Chuỗi điều hòa). n=1 n Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 6/54 6 / 54
  15. Bài 1: Đại cương về chuỗi số ∞ 1 2) . n=1 n(n + 2) 1 1 1 Giải: Phân tích un = − . Ta có 2 n n+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Sn = − + − + ··· + − = + − − 2 1 3 2 4 n n+2 2 1 2 n+1 n+2 Do đó lim Sn = 3/4. KL: Chuỗi đã cho HT và có tổng bằng 3/4. ∞ 1 3) (Chuỗi điều hòa). n=1 n Giải: Với 1 < m ∈ N bất kỳ, chọn n > 2m+1 ta được 1 1 1 Sn > 1 + + + · · · + m+1 2 Å 3 ã 2Å ã Å ã 1 1 1 1 1 1 1 1 1 =1+ + + + + + + + ··· + + · · · + m+1 2 3 4 5 6 7 8 2m + 1 2 1 1 1 1 m+1 > 1 + + 2. + 4. + · · · + 2m . m+1 = 1 + ⇒ lim Sn = ∞ ⇒ Chuỗi PK. 2 4 8 2 2 Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 6/54 6 / 54
  16. Bài 1: Đại cương về chuỗi số II. Điều kiện cần để chuỗi HT ∞ • Định lý: Nếu chuỗi an HT, thì lim an = 0. n=1 Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 7/54 7 / 54
  17. Bài 1: Đại cương về chuỗi số II. Điều kiện cần để chuỗi HT ∞ • Định lý: Nếu chuỗi an HT, thì lim an = 0. n=1 ∞ CM: Ta có an = Sn − Sn−1 . Vì an HT nên tồn tại lim Sn = S (hữu hạn) ⇒ lim Sn−1 = S. n=1 Do đó, lim an = lim(Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0. Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 7/54 7 / 54
  18. Bài 1: Đại cương về chuỗi số II. Điều kiện cần để chuỗi HT ∞ • Định lý: Nếu chuỗi an HT, thì lim an = 0. n=1 ∞ CM: Ta có an = Sn − Sn−1 . Vì an HT nên tồn tại lim Sn = S (hữu hạn) ⇒ lim Sn−1 = S. n=1 Do đó, lim an = lim(Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0. ∞ • Chú ý: Chiều ngược lại là không đúng, tức là: Nếu lim an = 0 thì chuỗi an chưa chắc HT. n→∞ n=1 ∞ 1 1 Ví dụ: Chuỗi điều hòa có lim an = lim = 0 nhưng chuỗi này PK (theo ví dụ trước). n=1 n n Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 7/54 7 / 54
  19. Bài 1: Đại cương về chuỗi số II. Điều kiện cần để chuỗi HT ∞ • Định lý: Nếu chuỗi an HT, thì lim an = 0. n=1 ∞ CM: Ta có an = Sn − Sn−1 . Vì an HT nên tồn tại lim Sn = S (hữu hạn) ⇒ lim Sn−1 = S. n=1 Do đó, lim an = lim(Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = 0. ∞ • Chú ý: Chiều ngược lại là không đúng, tức là: Nếu lim an = 0 thì chuỗi an chưa chắc HT. n→∞ n=1 ∞ 1 1 Ví dụ: Chuỗi điều hòa có lim an = lim = 0 nhưng chuỗi này PK (theo ví dụ trước). n=1 n n ∞ • Phủ định: Nếu lim an ̸= 0 hoặc ∄ lim an , thì chuỗi an PK. n=1 ∞ ∞ 2n − 1 Ví dụ: a) (PK do lim an = 2/3 ̸= 0) b) (−1)n (PK do ∄ lim an ). n=1 3n + 2 n=1 Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 7/54 7 / 54
  20. Bài 1: Đại cương về chuỗi số III. Các tính chất cơ bản của chuỗi số • Tính HT, PK của chuỗi số không thay đổi khi ta bớt đi một số hữu hạn số hạng đầu tiên, tức là ∞ ∞ an và an (với mọi N0 > 1) cùng tính chất HT hoặc PK. n=1 n=N0 Viện Toán ứng dụng và Tin học (ĐHBKHN) MI1131-GIẢI TÍCH III-CHƯƠNG 1 SAMI (HUST) – version 2023 8/54 8 / 54
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
10=>1