Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2016. ISBN: 978-604-82-1980-2
184
SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA MỘT LỚP BAO HÀM THỨC
VI PHÂN BẬC PHÂN SỐ
Đỗ Lân
Trường Đại học Thủy lợi
1. GIỚI THIỆU CHUNG
Trong báo cáo này, tôi chứng minh sự tồn
tại nghiệm tích phân cho một lớp bao hàm
thức trong không gian Banach tổng quát. Kết
quả này là nghiên cứu gần đây của tôi, là các
chứng minh cho tính tồn tại nghiệm đối với
lớp bao hàm thức có xung, có trễ hữu hạn với
điều kiện không cục bộ. Bài toán này là tổng
quát hóa của bài toán Cauchy có xung và
điều kiện không cục bộ. Một số trường hợp
riêng của bài toán này đã được nghiên cứu
rộng rãi trong vài năm gần đây.
2. NỘI DUNG BÁO CÁO
Bao hàm thức vi phân bậc phân số với điều
kiện không cục bộ và trễ hữu hạn có dạng
( ) ( ) ( , ( ), ), 0
( ) ( ( )) ( )
( ) ( ( )) ( ), ;0 .
C t
k k k
D u t Au t F t u t u t
u t I u t I
u s g u s s s h
Ở đây,
u
là hàm nhận giá trị trong không
gian Banach
X
,
t
u
là hàm trễ, tức là
( ) ( ), ;0
t
u s u t s s h
. Kí hiệu
C
D
thể
hiện đạo hàm bậc phân số cấp
. Toán tử
là một toán tử đóng, sinh ra một nửa nhóm
liên tục mạnh còn
F
là một hàm đa trị.
Để chứng minh sự tồn tại nghiệm, tôi sử
dụng các công cụ của giải tích hàm. Cụ thể, ở
đây, tôi sử dụng đến hai công cụ chính:
Các định lí điểm bất động cho ánh xạ nén.
Các ước lượng cho độ đo không compact.
2.1. Xây dựng không gian hàm chứa
trọng phù hợp
Gọi
là không gian các hàm liên tục từng
khúc trên R. Xét
( )
(( , ); ) : lim 0
( )
t
u t
PC u PC h X t


.
Trên
PC
,ta xây dựng các độ đo sau
0
( ) sup ( ( )),
( )
( ) limsupsup ,
*( ) ( ) ( ).
T PC T
t
Tu D t T
D D
u t
d D e
D D d D

Với cách xây dựng này thì
*
là một độ
đo chính quy trên không gian
.PC
2.2. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của
bài toán
Đối với bài toán này, ta cần các điều kiện
sau đây cho các hàm phi tuyến trong bài:
Nửa nhóm sinh bởi toán tử
A
là liên tục
theo chuẩn và bị chặn toàn cục.
Thành phần phi tuyến đa trị
F
thỏa mãn
các điều kiện về tính chính quy, tính bị
chặn, tính nửa liên tục trên và tính nén.
Hàm không cục bộ
g
là một hàm liên tục,
thỏa mãn điều kiện nén và bị chặn.
Các hàm xung
k
I
cũng là các hàm liên tục
và thỏa mãn điều kiện nén và điều kiện
tăng trưởng. Đồng thời, các điểm xung có
thể là vô hạn và chạy ra vô cùng. Tuy
nhiên, trong mỗi khoảng compact chỉ
được phép có hữu hạn điểm xung.
Với các điều kiện trên, sử dụng các phép
biến đổi Laplace cho bài toán (I), ta thu được
Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2016. ISBN: 978-604-82-1980-2
185
công thức nghiệm tích phân của bài toán (I)
có dạng.
0
1
0
( ) ( ) (0) ( )(0)
( ) ( ( ))
( ) ( ) ( ) .
k
k k k
t t
t
u t S t g u
S t t I u t
t s P t s f s ds
Công cụ để chứng minh sự tồn tại nghiệm
tích phân của bài toán này là định lí điểm bất
động sau đây.
Định lí 1: Giả sử
M
là một tập con đóng,
lồi, bị chặn trong không gian Banach
và
toán tử đa trị
:F M M
là một ánh xạ đóng
và nén. Khi đó, tập các điểm bất động của
F
là một tập compact khác rỗng.
Để áp dụng định lí này, chúng ta cần
chứng minh 3 bước: đầu tiên, ta chứng minh
toán tử nghiệm là đóng. Tiếp theo, ta chứng
minh toán tử nghiệm là nén, và cuối cùng, ta
chứng minh trong không gian
PC
, tồn tại
một hình cầu bất biến. Như vậy, ta sẽ cần
dùng tới các bổ đề sau.
Bổ đề 1: Với các điều kiện về phần phi
tuyến thỏa mãn, toán tử nghiệm là một toán
tử đóng.
Từ các định lí về tính hội tụ và hội tụ yếu
của các dãy được Bothe trình bày năm 1998,
tính đóng của toán tử nghiệm dễ dàng được
chứng minh.
Bổ đề 2: Toán tử nghiệm là nén theo độ đo
*
.
Tính nén là tính chất đặc trưng và quan
trọng nhất của toán tử nghiệm. Để thu được
tính nén theo
*
, ta cần chứng minh tính nén
theo cả hai độ đo
và
d
bằng cách áp
dụng các kĩ thuật đánh giá mới thu được gần
đây theo các độ đo không compact và đánh
giá tích phân đuôi.
Sử dụng tính chất tăng trưởng dưới tuyến
tính của các hàm phi tuyến, ta thu được sự tồn
tại hình cầu bất biến trong
PC
. Kết hợp hai
bổ đề trên, ta thu được định lí chính sau đây
về sự tồn tại nghiệm cho lớp bao hàm thức.
Định lí 2: Bài toán (I) tồn tại nghiệm hút,
tức là ( ) 0, khiu t t
với các điều
kiện thích hợp của toán tử
A
, hàm đa trị
F
,
hàm xung
k
I
và hàm không cục bộ
G
.
3. KẾT LUẬN
Đối với lớp bao hàm thức vi phân có xung,
có trễ với điều kiện không cục bộ và trễ hữu
hạn, việc xây dựng công thức nghiệm và
chứng minh được tính giải được dưới các
điều kiện trên là mới.
Một đóng góp quan trọng ở đây là việc ta
xây dựng được các độ đo thích hợp dựa trên
độ đo Hausdorff. Việc xây dựng này là quan
trọng cho việc nghiên cứu giải quyết các vấn
đề tiếp theo của bao hàm thức vi phân bậc
phân số.
4. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] R.R. Akhmerov, M.I. Kamenskii, A.S.
Potapov, A.E. Rodkina, B.N. Sadovskii,
(1992), Measures of Noncompactness and
Condensing Operators, Birkhauser, Boston-
Basel-Berlin.
[2] E.G. Bajlekova, (2001), Fractional
Evolution Equations in Banach Spaces, PhD
Thesis, Eindhoven University of
Technology.
[3] R.-N. Wang, D.-H. Chena, T.-J. Xiao
(2012), Abstract fractional Cauchy
problems with almost sectorial operators, J.
Differential Equations, 252, 202-235.