Tóm tắt lý thuyết và bài tập môn Giải Tích Nâng Cao
Nguyễn Đăng Minh - Trịnh Thị Thanh Hải - Lưu Đăng Khoa
Ngày 14 tháng 8 năm 2025
ĐẠI HỌC MỞ THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
The harmony of the world is made manifest in Form and Number, and the
heart and soul and all the poetry of Natural Philosophy are embodied in
the concept of mathematical beauty.
– D’Arcy Wentworth Thompson
Mục lục
Mục lục iii
HÀM MỘT BIẾN 1
1 Phương trình vi phân 2
1.1 Khái niệm chung ........................................ 2
1.2 Mô hình hoá tăng dân số bằng phương trình vi phân .................... 3
1.3 Một số dạng giải được bằng phương pháp giải tích ..................... 3
Dạng 2: Phương trình đẳng cấp ................................ 6
Dạng 3: Phương trình toàn phần ............................... 7
Dạng 4: Phương trình tuyến tính ............................... 9
Dạng 5: Phương trình Bernoulli ................................ 12
1.4 Phương trình vi phân cấp hai ................................. 13
Dạng 1: Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng thuần nhất ............. 13
Dạng 2: Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng không thuần nhất .......... 16
1.5 Phương pháp tính số. ..................................... 25
HÀM NHIỀU BIẾN 29
2 Vi phân hàm nhiều biến 30
2.1 Hàm nhiều biến ......................................... 30
Giới hạn và liên tục ...................................... 31
2.2 Đạo hàm riêng ......................................... 34
Đạo hàm riêng cấp cao ..................................... 36
2.3 Đạo hàm riêng hàm hợp .................................... 37
2.4 Đạo hàm riêng hàm ẩn ..................................... 38
2.5 Cực trị tự do .......................................... 39
2.6 Cực trị điều kiện ........................................ 41
2.7 Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất .............................. 43
2.8 Đạo hàm theo hướng ...................................... 44
2.9 Vectơ gradient ......................................... 47
2.10 Mặt phẳng tiếp xúc và xấp xỉ tuyến tính ........................... 48
3 Tích phân bội 53
3.1 Tích phân bội hai ........................................ 53
Tích phân bội trên hình chữ nhật ............................... 53
Tính chất của tích phân bội hai ................................ 54
Ứng dụng của tích phân bội hai ................................ 55
Toạ độ cực tích phân bội .................................... 60
3.2 Tích phân bội ba ........................................ 64
Tích phân bội ba trên miền hình chữ nhật .......................... 64
Tích phân bội ba trên miền bất kỳ .............................. 65
Toạ độ trụ của tích phân bội ba ................................ 70
Toạ độ cầu của tích phân bội ba ............................... 72
Phương pháp giải số tích phân bội .............................. 75
4 Tích phân đường 77
4.1 Phương trình tham số của một số đường đơn giản ..................... 77
4.2 Tích phân đường loại 1 ..................................... 78
4.3 Tích phân đường loại 2 ..................................... 81
4.4 Tích phân đường trong không gian .............................. 82
4.5 Định lý Green .......................................... 85
5 Tích phân mặt 89
5.1 Phương trình tham số cơ bản ................................. 89
5.2 Mặt phẳng tiếp xúc ...................................... 90
5.3 Các mặt tham số ........................................ 90
5.4 Tích phân mặt dạng đồ thị của 𝑧=𝑓(𝑥, 𝑦)......................... 91
5.5 Tích phân mặt loại 2 ...................................... 94
Danh sách hình vẽ
1.1 Ví dụ tách biến ........................................... 3
1.2 Ví dụ tách biến ........................................... 4
1.4 Ví dụ pt tuyến tính ......................................... 9
1.5 Ví dụ pt tuyến tính2 ........................................ 9
1.6 VD1.PT tuyến tính cấp 2 tn .................................... 13
1.7 VD2.PT tuyến tính cấp 2 tn .................................... 14
1.8 VD3.PT tuyến tính cấp 2 tn .................................... 14
1.9 VD3.PT tuyến tính cấp 2 tn .................................... 14
2.1 Đồ thị hàm hai biến ........................................ 30
2.2 Đồ thị hàm hai biến ........................................ 30
2.3 Đồ thị hàm hai biến ........................................ 31
2.4 Đồ thị đường mức ......................................... 31
2.5 Hàm hai biến liên tục tại (𝑎, 𝑏).................................. 31
2.6 Đồ thị đạo hàm riêng ........................................ 34
2.7 Cực trị địa phương ......................................... 40
2.8 Đồ thị cực trị ............................................ 41
2.9 Mặt phẳng tiếp xúc ......................................... 45
2.10 Mặt phẳng tiếp xúc ......................................... 49
2.11 Cực trị địa phương ......................................... 50
3.1 Cách phân hoạch miền lấy tích phân ............................... 53
3.2 Định nghĩa tích phân hai biến ................................... 54
3.3 Phân hoạch tích phân ....................................... 54
3.4 Phân hoạch tích phân ....................................... 54
3.5 .................................................... 55
3.6 Ví dụ Ứng dụng tích phân bội 2 .................................. 55
3.7 Tính tích phân theo hai cách ................................... 58
3.8 Định lý Fubini ........................................... 58
3.9 Định lý Fubini ........................................... 58
3.10 Miền ℝ-toạ độ cực của tích phân bội .............................. 60
3.11 Miền ℝ-toạ độ cực của tích phân bội .............................. 60
3.12 Toạ độ cực của tích phân bội ................................... 60
3.13 Miền ℝ-toạ độ cực của tích phân bội .............................. 61
3.14 Miền ℝ-toạ độ cực của tích phân bội .............................. 62
3.15 Miền ℝ-toạ độ cực của tích phân bội .............................. 62
3.16 Miền ℝ-toạ độ cực của tích phân bội .............................. 62
3.17 Tích phân bội ba .......................................... 64
3.18 Tích phân bội ba .......................................... 64
3.19 Tích phân bội ba .......................................... 65
3.20 Tích phân bội ba .......................................... 66
3.21 Tích phân bội ba .......................................... 66
3.22 Tích phân bội ba .......................................... 67
3.23 Tích phân bội ba .......................................... 67
3.24 Tích phân bội ba .......................................... 68
3.25 Tích phân bội ba .......................................... 68
