Bộ môn Toán – HVCNBCVT Bài tập môn giải tích I – Dùng cho các lớp tín chỉ
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
1
BÀI TẬP GIẢI TÍCH I CHO CÁC LỚP TÍN CHỈ
CHƯƠNG I: GIỚI HẠN DÃY SỐ
1.1. Viết các số phức sau dưới dạng đại số.
a.
ii 31
1
31
1
; b.
10
1
1
i
i
; c.
3
1 2 3 4 2
1 2 1
i i i
ii
; d.
32424 i
1.2.
a. Cho số phức
13
3
i
zi
, tính
2012
z
.
b. Tìm phần thực và ảo của
*
(1 cos2 sin2 ) ,
n
z i n N
;
c. Biểu biễn hàm số
os5 , sin5c x x
theo các hàm số
cos , sinxx
.
1.3.Giải các phương trình sau trong tập số phức.
a.
2 2 2 2
( 3 6) 2 ( 6) 0z z z z z
; b.
2 2 2
( 4 5) ( 1) 0z z z
c.
4 3 2
6 9 100 0x x x
; c.
2
43 10
2
z
z z z
1.4. (Olympic 2000) Cho số tự nhiên
1m
và số phức z có môđun bằng 1. Chứng minh rằng
phương trình
1
1
m
ix z
ix
chỉ có các nghiệm thực.
1.5. Bằng định nghĩa hãy chứng minh sự hội tụ của các dãy số với phần tử tổng quát thứ n
tương ứng sau:
a.
1
41
nn
un
; b.
2
31
nn
un
; c.
3 ( 3)
4
n
nn
u
1.6. Tính các giới hạn sau:
a.
1 1 1
lim ....
1.3 3.5 ( 2)
nnn
; b.
1 1 1
lim ....
1.2.3 2.3.4 ( 1)( 2)
nn n n
c.
lim 3 os
n
ncn
; d.
2
lim ( 2 )
nn an n
( với a là tham số)
1.7. Cho dãy
n
u
với
n
nn
a
ub
với an = 2an-1 + 3bn-1, bn = an-1 + 2bn-1 , a0 > 0, b0 > 0
a. Chứng tỏ rằng an > 0, bn > 0 ,
*
nN
.
b. Biểu diễn un+1 qua un..
Bộ môn Toán – HVCNBCVT Bài tập môn giải tích I – Dùng cho các lớp tín chỉ
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
2
c. Tính un+1 - un và chứng tỏ rằng
n
u
đơn điệu. Hãy tìm
n
lim
un.
1.8. Tìm giới hạn của dãy sau:
a.
1
21
nn
uu
, u0 = 1, b.
1
1
nn
uu
, u0 =
3
.
c. un(3 + un-1) + 1 = 0, u0 = 1, d.
1nn
u a u
, (n > 1), u1 =
a
, a >0.
e.
1
12
nn
nuu
u
, u1 = 0, u2 = 1, f.
21
1
22
n
nu
u
, u1 =
2
1
.
1.9 (Olympic 2005) Cho dãy số
n
u
xác định bởi công thức
2
11
2, 5
nn
u u u
. Hãy tính
giới hạn
1
12
lim . ...
n
nn
u
Iu u u
.
CHƯƠNG II: PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ
2.1. Tìm miền xác định của các hàm số sau:
y =
)1ln(1 2 x
; y =
312
1
xx
;y =
2
12
arcsin
52
1
x
x
x
; y =
232
log ln
1
xx x
x
2.2. Tìm miền giá trị của các hàm số sau :
y =
22xx
; y =
2
2
1
1
xx
xx
;
2
2
1 sin
1 cos
x
yx
; y = arcsin
2
1
2
x
x
2. 3. Tính các giới hạn sau
a)
2
2
7
2 11 21
9 14
lim
x
xx
xx
b)
3
8
2
13
lim
x
x
x
c)
1
1
2
lim
x
xx
x
d)
20
2
10
23
2
lim 12 16
x
xx
xx
e)
2
1
...
lim 1
n
x
x x x n
x
;
f)
12
12
lim 50
100
1
xx
xx
x
;
g)
3
3
1 3 1
lim 3
x
xx
x
h)
1
2
sin
0
lim os3 x
xcx
i)
22
2
2
3 2 1
lim 35
x
x
xx
x
k)
3
0
tan sin
lim
x
xx
x
l)
1
2
()
lim ()
n n n
xa
x a na x a
xa
m)
2
4
21
1
cos
lim
tan
x
x
x
2.4. Tính các giới hạn sau.
Bộ môn Toán – HVCNBCVT Bài tập môn giải tích I – Dùng cho các lớp tín chỉ
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
3
1)
0
1
2
sin cos
lim
sin .arctan
x
x x x
xx
2)
2
0
(1 cos )arcsin
lim tan
x
xx
xx
3)
22
01
(1 cos5 )arcsin2
lim tan
x
xe
xx
x
4)
1
1
sin( 1)
lim ln
x
x
e
x
5)
2
1
( 1)ln
lim arctan ( 1)
x
xx
x
6)
2
0
sin 1
ln 1 3sin
lim
x
x
x
x
7)
3
01 ln 1 tan
sin3 sin5
lim x
xex
xx
8)
2
0
ln os2
ln 1 3
lim
x
cx
x
9)
2
2
0
sin 3
ln 1 2
lim
x
x
x
10)
sin3
0
1
ln 1 tan2
lim x
x
e
x
11)
sin5 sin 2
0ln 1 2
lim xx
x
ee
x
12)
2
2
0
cos
sin
lim x
x
ex
x
13)
0
1 sin3 1
ln 1 tan 2
lim
x
x
x
14)
2
0
1 sin cos
arctan
lim
x
x x x
x
15)
1
ln 1 sin3
2
01 tanlim xx
xx
16)
cot
3
0sin2lim x
x
xex
17)
1
1 os7
2
01lim cx
x
xxe
18)
5
0
1 os3 tan5
3
lim
x
c x x
xx
19)
2
2
0
arcsin3 sin
tan ln 1 7
lim
x
xx
xx
20)
25
23
0
ln 1
1 tan
lim x
x
xx
ex
21)
35
0
sin3 os4x-1
ln 1 arcsin
lim
x
xc
xx
2.5. Khảo sát tính liên tục của các hàm số
1)
10
10
sin khi
()
khi
xx
fx x
x
2)
210
()
2
2 3 2 0
x
ekhi x
fx x
x x khi x
3)
2
1
0
()
00
x
e khi x
fx
khi x
4)
2 0 1
() 2 1 2
x khi x
fx x khi x
2.6. Xác định các giá trị của tham số để các hàm sau liên tục trên miền xác định
a)
2
4
12
)( ax
x
xf
nếu
1
1
x
x
; b) f(x) =
2sin 2
sin 22
cos 2
x khi x
a x b khi x
x khi x
Bộ môn Toán – HVCNBCVT Bài tập môn giải tích I – Dùng cho các lớp tín chỉ
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
4
c)
2
3
30
21 0
sin ln
x a khi x
fx xx
khi x
x
d)
1
2
1
2
2
1 3 0
0
ln
sin khi
khi
x
fx xx
x a x
2.7. Tìm điểm gián đoạn và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau
1)
2
2
4
6
x
yxx
2)
32
2
32
xx
yx
3)
2
73
4
x
yx
4)
3
2
5 4 1x
yxx
5)
coty x x
6)
2
1
1x
ye
7)
1
23
1
x
y
xe
8)
2
42
2 0 2
4 0 2
khi
khi ,
khi
x
y x x
xx
9)
2
2
13 0
12
2 1 0
os
ln
cx khi x
x
y
x khi x
2.8. Tính các đạo hàm của hàm số sau:
)a y x x x
; b)
yx
x
arcsin 2
1
2
; c)
y x x ln( )5 2
221 2) lnsin ; ) ;
xxxy x xd y e x e
)x
x
f y x
.
2.9. Cho hàm số
1 2 . 1000f x x x x x
. Tính
’1f
2.10. Xét tính khả vi của các hàm số sau:
a.
;0
() 1 sin ; 0
x
ex
fx xx
; b.
ln(1 ) 0
() sin cos 1 0
x khi x
fx x x khi x
;
c.
22
( 1)( 2) ( 3)y x x x
; d.
2y x x
2.11. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau:
a)
2
1
yxx
; b)
sin .siny ax bx
; c)
(20)
1,
1
x
yy
x
d)
xxy sin)1( 2
; e)
)sin( cbxey ax
; f)
xey xsin.
g) Chứng minh hàm số
x
nexy
1
1
thỏa mãn
x
n
n
ne
x
y
1
1
)( )1(
.
2.12. Tính:
a)
()
x
d xe
; b) d(
22
xa
) ; c)
3 6 9
3( 7 11 )
()
dx x x
dx
; d)
2
sin
(cos )
arc
dx
d x x
2.13.
Bộ môn Toán – HVCNBCVT Bài tập môn giải tích I – Dùng cho các lớp tín chỉ
Giảng viên soạn: Lê Văn Ngọc
5
a) Chứng minh rằng với mọi
m
, phương trình
03
3 mxx
không thể có 2 nghiệm khác
nhau trong [0,1].
b) Chứng minh rằng phương trình f’(x) = 0 có 3 nghiệm thực, trong đó
)3)(2)(1()( xxxxxf
c) Cho f(x) khả vi trên [a,b] và có đạo hàm đến cấp hai trên (a,b). Chứng minh rằng với mọi
( , )x a b
có thể tìm được ít nhất số
),( baCx
sao cho
)("
2
))((
)(
)()(
)()( x
Cf
bxax
ax
ab
afbf
afxf
2.14. Chứng minh các bất đẳng thức sau đây:
a.
ln , (0 )
a b a a b ba
a b b
; b.
22
tan tan , (0 )
cos cos 2
,
c.
11
( ) ( ),( ),
n n n n
nb a b a b na a b b a n N
, d.
arctan arctana b a b
.
2.15. Sử dụng qui tắc L’Hopital tính các giới hạn sau:
1)
24
0
lim ln 1
xx
x
ee
x
2)
3
1
1 2 1
lim 2
x
x
xx
3)
arctan
2
lim 1
ln 1
x
x
x
4)
0
2
lim sin
xx
x
e e x
xx
5)
2
0
ln 1
lim os3 x
x
x
c x e
6)
2
1
2
1
lim 2arctan( )
x
x
e
x
7)
3
0
31
lim sin5
x
x
ex
xx
8)
11
lim ln
x
x
xx
xx
9)
2
0
2
15
sin cos
lim cos
x
x
e x x
x
10)
2
2
0
cos
lim sin
x
x
ex
x
11)
5
012
sin sin
lim ln
xx
x
ee
x
12)
416
lim 32
5 6 16
2
x
x x x
x
13)
012
ln
lim lnsin
x
x
x
14)
0
12
ln tan
lim tan
x
x
x
x
15)
2
1
2
ln
lim
ln arctan
x
x
x
16)
0
11
1
lim x
xxe
17)
3
1
11
2 1 3 1
lim
xxx
18)
2
2
0
1
lim cot
x
x
x
