CHƯƠNG 4
Tích phân đường
S4.1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT
4.1.1 Định nghĩa tích phân đường loại một
Cho hàm số f(x,y)xác định trên một cung phẳng ˜
AB. Ta định nghĩa tích phân
đường loại một của hàm f(x,y)trên cung ˜
AB như sau:
Chia cung ˜
AB thành ncung nhỏ bởi các điểm chia
A0≡A,A1,A2, ..., An≡B.
Trên mỗi cung nhỏ ˚
AiAi+1, ta lấy một điểm tùy ý Mi(xi,yi). Gọi độ dài cung ˚
AiAi+1
là ∆si. Nếu khi n→∞sao cho max ∆si→0, tổng
In=
n
∑
i=1
f(xi,yi)∆si
dần tới một giới hạn xác định, không phụ thuộc vào cách chia cung ˜
AB và cách chọn
điểm Mitrên cung ˚
AiAi+1, thì giới hạn đó được gọi là tích phân đường loại một của
hàm số f(x,y)dọc theo cung ˜
AB và được ký hiệu là
Z
˜
AB
f(x,y)ds.(4.1)
Khi đó ta nói hàm số f(x,y)khả tích trên cung ˜
AB.
Chú ý 4.1. Nếu hàm ρ(x,y)là khối lượng riêng tại điểm M(x,y)trên cung ˜
AB (khối
lượng của một đơn vị độ dài) thì khối lượng của cung ˜
AB bằng Z
˜
AB
ρ(x,y)ds. Đặc biệt,
chiều dài của cung ˜
AB được cho bởi Z
˜
AB
ds.
60
S4.1 Tích phân đường loại một 61
Người ta chứng minh được rằng nếu cung ˜
AB trơn từng khúc và nếu hàm số f(x,y)
liên tục trên cung ˜
AB thì hàm f(x,y)khả tích trên cung ˜
AB.
Chú ý 4.2. Tích phân đường loại một có các tính chất như tích phân xác định.
4.1.2 Cách tính tích phân đường loại một
Ta chuyển việc tính tích phân đường loại một về việc tính tích phân xác định. Cho
cung ˜
AB trơn và có phương trình tham số
x=x(t),y=y(t),a≤t≤b.(4.2)
Giả sử hàm số f(x,y)liên tục trên cung ˜
AB. Khi đó vi phân cung ds được cho bởi
công thức
ds =»[x′(t)]2+ [y′(t)]2dt.
Tích phân đường loại một được chuyển về tích phân xác định
Z
˜
AB
f(x,y)ds =
b
Za
f(x(t),y(t))»[x′(t)]2+ [y′(t)]2dt.(4.3)
Trong trường hợp, cung ˜
AB được cho bởi phương trình
y=y(x)với a≤x≤b
thì
Z
˜
AB
f(x,y)ds =
b
Za
f(x,y(x))»1+ [y′(x)]2dx.
Ví dụ 4.1. Tính tích phân Z
˜
AB
xyds, trong đó cung ˜
AB là phần tư của đường tròn
x2+y2=4nằm trong góc phần tư thứ nhất.
Lời giải. Phương trình của cung ˜
AB là x=2 cos t,y=2 sin t,0≤t≤π/2. Ta có
ds =»(−2 sin t)2+ (2 cos t)2dt =2dt.
Khi đó
Z
˜
AB
xyds =
π/2
Z
0
(2 cos t)(2 sin t)2dt =−2 cos 2tπ/2
0=4.
Ví dụ 4.2. Tính độ dài cung parabol (C): y=x2từ điểm O(0; 0)đến điểm A(1; 1).
62 Tích phân đường
Lời giải. Độ dài của cung parabol cho bởi `=Z
C
ds =
1
Z
0p1+4x2dx. Sử dụng công
thức tích phân
Zpx2+a dx =1
2xpx2+a+aln |x+px2+a|+C,a∈R,
ta được
`=1
2xp4x2+1+1
4ln(2x+p4x2+1)1
0=√5
2+1
4ln(2+√5).
4.1.3 Trường hợp đường lấy tích phân là một đường trong không
gian
Tích phân đường loại một của hàm số f(x,y,z)dọc theo một cung ˜
AB trong
không gian cũng được định nghĩa tương tự như trên.
Nếu cung ˜
AB có phương trình tham số là
x=x(t),y=y(t),z=z(t)với a≤t≤b
thì ds =p[x′(t)]2+ [y′(t)]2+ [z′(t)]2dt và ta có công thức tính tích phân đường
Z
˜
AB
f(x,y,z)ds =
b
Za
f(x(t),y(t),z(t))»[x′(t)]2+ [y′(t)]2+ [z′(t)]2dt.
Ví dụ 4.3. Tính tích phân Z
C
(x2+y2+z2)ds, trong đó Clà đường cong có phương
trình
x=cos t,y=sin t,z=t, 0 ≤t≤2π.
Lời giải. Vi phân cung ds =p(−sin t)2+ (cos t)2+12dt =√2dt. Tích phân
Z
C
(x2+y2+z2)ds =
2π
Z
0
(1+t2)√2dt =2π+8
3π3√2.
S4.2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI
4.2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai
Xét bài toán tính công của lực ~
Fdọc theo cung ˜
AB, trong đó lực ~
Fcó hai thành
phần theo các trục tọa độ tại điểm M(x,y)là P(x,y)và Q(x,y). Các hàm số P(x,y)
và Q(x,y)xác định trên cung định hướng ˜
AB (theo chiều từ Ađến B).
S4.2 Tích phân đường loại hai 63
Ta chia cung ˜
AB thành ncung nhỏ bởi các điểm chia
A≡A0,A1,A2, ..., An≡Bvới tọa độ các điểm chia Ai(xi,yi),i=0, n.
Gọi (∆xi,∆yi)là tọa độ của vectơ −−−−→
Ai−1Ai
−−−−→
Ai−1Ai= (∆xi,∆yi),∆xi=xi−xi−1,yi=yi−yi−1,i=1, n.
Trên mỗi cung nhỏ ˚
Ai−1Ai, ta lấy một điểm Mitùy ý và lập tổng tích phân
In=
n
∑
i=1
[P(Mi)∆xi+Q(Mi)∆yi].
Đặt dn=max
1≤i≤np(∆xi)2+ (∆yi)2. Nếu khi n→∞sao cho dn→0mà dãy {In}có
giới hạn hữu hạn I, không phụ thuộc vào cách chia cung ˜
AB và cách chọn điểm Mi
trên mỗi cung nhỏ ˚
Ai−1Aithì ta gọi Ilà công của lực ~
Fdọc theo cung ˜
AB và ta định
nghĩa tích phân đường loại hai của hai hàm P(x,y),Q(x,y)dọc theo cung ˜
AB là
Z
˜
AB
P(x,y)dx +Q(x,y)dy :=lim
n→∞
(dn→0)
n
∑
i=1
[P(Mi)∆xi+Q(Mi)∆yi].
Người ta chứng minh được rằng nếu các hàm số P(x,y),Q(x,y)xác định và liên tục
trên cung trơn từng khúc ˜
AB thì tích phân đường Z
˜
AB
P(x,y)dx +Q(x,y)dy tồn tại và
khi đó ta nói các hàm P(x,y),Q(x,y)khả tích trên cung ˜
AB.
Ý nghĩa vật lý. Một chất điểm Mdi chuyển dọc theo một cung phẳng từ Ađến B,
dưới tác dụng của lực ~
F=~
F(x,y) = P(x,y)
~
i+Q(x,y)
~
j. Công của lực ~
Flà
W=Z
˜
AB
P(x,y)dx +Q(x,y)dy.
Với cùng lực ~
Fđó và chất điểm di chuyển theo chiều ngược lại, từ Bđến A, thì công
của lực ~
Flà
Z
˜
BA
P(x,y)dx +Q(x,y)dy =−W=−Z
˜
AB
P(x,y)dx +Q(x,y)dy.
Nói cách khác, nếu ta đổi chiều trên cung ˜
AB thì tích phân đường loại hai đổi dấu.
Chú ý 4.3. +) Giả sử cung trơn ˜
AB có phương trình cho bởi hàm vectơ~
r(t) = x(t)
~
i+
y(t)
~
j. Khi đó ta viết d
~
r(t) = dx(t)
~
i+dy(t)
~
jvà tích phân đường được viết dưới dạng
Z
˜
AB
P(x,y)dx +Q(x,y)dy =Z
˜
AB
~
F·d
~
r,trong đó ~
F=P(x,y)
~
i+Q(x,y)
~
j.
64 Tích phân đường
+) Tích phân đường loại hai dọc theo đường cong cho bởi hàm vectơ~
r(t) = x(t)
~
i+
y(t)
~
j+z(t)
~
ktrong không gian được định nghĩa một cách tương tự
Z
˜
AB
Pdx +Qdy +Rdz =Z
˜
AB
~
F·d
~
r,
trong đó ~
F=P(x,y,z)
~
i+Q(x,y,z)
~
j+R(x,y,z)
~
klà một trường vectơ, xem chương
6.
Chú ý 4.4. Nếu đường cong phẳng Llà đường cong kín (không tự cắt), thì ta quy
ước chiều dương trên Llà ngược chiều kim đồng hồ. Đó là chiều sao cho một người
đi dọc Ltheo chiều đó, sẽ thấy miền giới hạn bởi Lnằm về bên tay trái. Khi đó tích
phân đường trên đường cong kín Lđược ký hiệu là
I
L
P(x,y)dx +Q(x,y)dy.
Chú ý 4.5. Tích phân đường loại hai có một số tính chất tương tự như tích phân xác
định (tuyến tính, cộng tính, v.v.).
4.2.2 Cách tính tích phân đường loại hai
Giả sử cung ˜
AB trơn và các hàm số P(x,y),Q(x,y)liên tục trên cung ˜
AB, ta
chuyển tích phân đường loại hai về tích phân xác định như sau:
∙Nếu cung ˜
AB có phương trình tham số x=x(t),y=y(t), với A(x(tA),y(tA)),
B(x(tB),y(tB)), thì
Z
˜
AB
P(x,y)dx +Q(x,y)dy =
tB
Z
tAP(x(t),y(t))x′(t) + Q(x(t),y(t))y′(t)dt.
∙Nếu cung ˜
AB có phương trình y=f(x), với A(xA,f(xA)),B(xB,f(xB)), thì
Z
˜
AB
P(x,y)dx +Q(x,y)dy =
xB
Z
xAP(x,f(x)) + Q(x,f(x)) f′(x)dx.
∙Nếu cung ˜
AB có phương trình x=g(y), với A(g(yA),yA),B(g(yB),yB), thì
Z
˜
AB
P(x,y)dx +Q(x,y)dy =
yB
Z
yAP(g(y),y)g′(y) + Q(g(y),y)dy.
Ví dụ 4.4. Tính tích phân đường I=Z
C
4xydx + (x2+y)dy, với Clà cung parabol
y=1+x2từ điểm A(−1; 2)đến điểm B(0; 1).