TẬP BÀI GIẢNG
GIẢI TÍCH 1
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM
Số phức
1.1 Khái niệm về số phức
Ta biết rằng lũy thừa chẵn của mỗi số thực đều không âm, do đó trong tập hợp R
không thể khai căn bậc chẵn của một số âm. Ví dụ: phương trình x2 + 1 = 0 vô nghiệm
thực.Vì vậy, ta đưa một lớp số mới vào nhằm mở rộng trường số thực.
1.1.1 Định nghĩa số phức:
1. Ta định nghĩa phần tử i sao cho i2 = - 1 gọi là đơn vị ảo.
2. Biểu thức z = a + bi với a, b ∈ R gọi là một số phức; a gọi là phần thực, b gọi là
phần ảo . Ký hiệu a = Rez, b = Imz. Như vậy z = a + bi = Rez + i(Imz)
3. Tập hợp các số phức được ký hiệu là C.
4. Nếu a = 0 thì z = bi gọi là số thuần ảo; b = 0 thì được số thực z = a.
5. Hai số phức được gọi là bằng nhau nếu phần thực và phần ảo tương ứng của chúng
bằng nhau, tức là: a + bi = c + di ⇔ a = c và b = d.
6. Cho số phức z = a + bi. Số phức a + (-b)i = a – bi gọi là số phức liên hợp của z, ký
hiệu
z
. Khi đó: số phức liên hợp của
z
là z.
1.1.2 Các dạng biểu diễn của số phức
1. Dạng đại số Cách viết z = a + bi còn gọi là dạng đại số hay dạng nhị thức của số
phức.
2. Biểu diễn hình học: Mọi số phức z = a + bi đều có thể biểu diễn trên mặt phẳng
Oxy dưới dạng điểm A(a,b) với hoành độ a và tung độ b, và ngược lại, mọi điểm M(a,b)
của mặt phẳng Oxy đều có thể xem như là ảnh của số phức a + bi.
Nếu z = a: Thì M(a,0) nằm trên trục Ox. Vì vậy, trục Ox còn được gọi là trục
thực.
Nếu z = bi: Thì M(0,b) nằm trên trục Oy. Vì vậy, trục Oy còn được gọi là trục ảo
Hai số phức liên hợp được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng với nhau qua trục Ox.
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM
Nối điểm A(a,b) với gốc tọa độ, ta được vectơ
OA
uuur
Trong nhiều trường hợp,
người ta xem vec tơ
OA
uuur
như là biểu diễn hình học của số phức z = a + bi.
3. Dạng lượng giác của số phức
Cho số phức z = a +bi và
OA
uuur
là vectơ biểu diễn hình học của z trên mặt phẳng xOy.
Khi đó:
Độ dài r =
OA
của vectơ
OA
uuur
được gọi là mođun của số phức z, ký hiệu là |z|. Hiển
nhiên ta có:
|z | ≥ 0, ∀ z ∈ C, |z | = 0 ⇔ z = 0
Bây giờ giả sử z ≠ 0, tức là
OA
uuur
≠
0
r
. Góc định hướng giữa tia Ox
và vectơ
OA
uuur
(đo bằng radian) ϕ =
•
(
)
,
OxOA
uuur
được gọi là
argument của số phức z, ký hiệu là Argz. Argz không duy nhất
mà sai khác nhau k2π.
Nếu chỉ giới hạn xét ϕ ∈[0;2π) thì khi đó ϕ được gọi là
argument chính, ký hiệu argz.
Khi z = 0 thì ϕ không xác định, ta quy ước Arg0 nhận giá trị tuỳ ý.
Rõ ràng a = rcosϕ ; b = rsinϕ.
Do đó: z = a + bi = r(cosϕ + isinϕ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z.
Sự liên hệ giữa dạng đại số z = a + bi và dạng lượng giác z = r(cosϕ + isinϕ)
Ta có: r =
22
ab
+
, ϕ = tg (b/a) , nếu a ≠ 0. a = rcosϕ ; b = rsinϕ
Từ định nghĩa của số phức liên hợp
z
của z và biểu diễn hình học của
z
, ta có:
|
z
| = | z |; arg
z
= - argz.
Ví dụ:
1. r(cosϕ - isinϕ) có phải là dạng lượng giác của số phức z?
2. Biểu diễn các số phức sau dưới dạng lượng giác
a. z = -2 + 2i
3
b. z = 1 + i c. z = 1- i
d. z = cos.sin
77
i
ππ

−+


e. z = sin.cos
33
i
ππ

+


A(a,b)
b
y
O a x
ϕ
r
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM
1.2 Những phép tính cơ bản trên số phức:
Cho hai số phức z = a + bi và w = c + di. Lần lượt có dạng lượng giác là r1 (cosϕ1 +
isinϕ1) và r2 (cosϕ2 + isinϕ2)
1.2.1 Phép cộng z + w = (a + c) + (b + d)i (1)
1.2.2 Phép nhân z .w = (ac – bd) + (ad + bc)i (2)
Nhận xét: z.
z
= a2 + b2 = | z |2.
Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác thì ta có:
z.w = r1.r2 (cos(ϕ1 +ϕ2) + isin(ϕ1 +ϕ2)) (3)
Nhận xét: | z.w | = | z |. | w |;
| zn | = | z |n ; Arg(zn) = n. Argz + k2π
1.2.3 Phép chia 2 số phức.
Bổ đề: Cho số phức z = a + bi. Khi đó tồn tại số phức z1 sao cho z.z1 =1. Khi đó z1 được
gọi là nghịch đảo của số phức z, ký hiệu z-1. Vậy z-1 = 1/z.
Chứng minh
Ta cần tìm z1 = c + di sao cho z.z1 = 1.
Hay cần xác định c, d để (a + bi).(c+di) = 1
Tức: (ac – bd) + (ad + bc)i = 1
Suy ra : ac – bd = 1 và ad + bc = 0 (I)
Giải hệ phương trình (I) ta được:
2222
;
ab
cd
abab
−
==
++
Vậy z1 tồn tại.
Do đó, z-1 = z1 =
2222
ab
i
abab
−
++
(4)
Nhận xét: Trong thực hành ta có thể tìm z-1 = 1/z bằng cách nhân tử và mẫu cho số phức
liên hợp
z
Phép chia hai số phức:
Giả sử w ≠ 0. Khi đó:
Tập bài giảng: Giải tích 1 – GV Nguyễn Vũ Thụ Nhân – Khoa Lý ĐHSP Tp.HCM
2222
.().()()()
.
zzwabicdiacbdbcadi
wcdcd
ww
+−++−
===
++
(5)
Nếu các số phức cho ở dạng lượng giác ta có:
z/w = (r1/r2). (cos(ϕ1 - ϕ2) + isin(ϕ1-ϕ2)) (6)
1.2.4 Các ví dụ:
1. Cho z = 1–2i và w = 3+4i. Tìm z + w,z – w,z.w, z/w.
2. Tính (1 + i)2 , (1 + i)4. Suy ra (1+i)2006, (1 – i)210906
3. (3 –i)(14 +2i); (2+3i)/ (1 - 4i); (1 + 2i)2/1-i
4. (1 + i)9/(1 – i )7 ; 1 + (1+i) + (1+i)2 + ... + (1+i)99
5. Tìm modun của các số phức sau: 4
(1)
(16)(27)
i
ii
+
+−
1.3 Phép nâng lên lũy thừa và phép khai căn số phức
1.3.1 Nâng lên lũy thừa
Từ công thức (3) của mục trên, suy ra rằng nếu n là một số nguyên dương thì:
[r(cosϕ + isinϕ)]n = rn (cosnϕ + isinnϕ).
Công thức này gọi là công thức Moivre. Nó chứng tỏ rằng khi nâng một số phức
lên lũy thừa nguyên dương thì môđun được nâng lên lũy thừa đó và argument bị nhân với
số mũ của lũy thừa.
Áp dụng của công thức Moivre:
Trong công thức đặt r = 1, ta được
(cosϕ + isinϕ)n = (cosnϕ + isinnϕ)
Khai triển vế trái theo công thức của nhị thức Newton và so sánh phần thực và phần
ảo của hai vế, ta có thể biểu diễn sinnϕ và cosnϕ theo luỹ thừa của cosϕ và sinϕ.
Chẳng hạn với n = 3: ta có:
VT = cos3ϕ + i.3cos2ϕsinϕ - 3cosϕsin2ϕ - isin3ϕ
VP = cos3ϕ + isin3ϕ
Do đó: cos3ϕ = cos3ϕ - 3cosϕsin2ϕ = -3cosϕ + 4 cos3ϕ
sin3ϕ = -sin3ϕ + 3cos2ϕsinϕ = 3sinϕ - 4 sin3ϕ
1.3.2 Phép khai căn
Căn bậc n của một số phức mà lũy thừa bậc n bằng số dưới căn: n
n
zwwz
=⇔=
.
Hay:
(cossin)(cossin)
n
rii
ϕϕρθθ
+=+