TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM
KHOA CƠ SỞ - CƠ BẢN
BỘ MÔN TOÁN
—–ooOoo—–
TÀI LIỆU HỌC TẬP
GIẢI TÍCH
TÊN HỌC PHẦN : GIẢI TÍCH
MÃ HỌC PHẦN : 18142
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : ĐẠI HỌC CHÍNH QUY
Hải Phòng - 6/2024
2
Mục lục
1. HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 5
1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. Không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. Sự liên tục của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . 7
1.2. Đạo hàm riêng và vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.1. Định nghĩa đạo hàm riêng . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2. Vi phân toàn phần . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.3. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao . . . . . . . . . 11
1.2.4. Công thức Taylor đối với hàm nhiều biến . . . . . 13
1.3. Cực trị của hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1. Cực trị tự do của hàm hai biến . . . . . . . . . . 14
1.3.2. Cực trị có điều kiện của hàm hai biến . . . . . . . 19
1.3.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm hai
biến trên miền đóng, bị chặn . . . . . . . . . . . . 22
Bàitậpchương1 ......................... 28
2. TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI 33
2.1. Tíchphânkép........................ 33
2.1.1. Định nghĩa tích phân kép . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.2. Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các . 36
2.1.3. Đổi biến số sang hệ tọa độ cực . . . . . . . . . . . 42
2.1.4. Ứng dụng của tích phân kép . . . . . . . . . . . . 49
2.2. Tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.2.1. Định nghĩa tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . 55
2.2.2. Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Đề-các 56
2.2.3. Phương pháp đổi biến số trong tích phân bội ba . 58
2.2.4. Ứng dụng tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . 65
2.3. Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3.1. Định nghĩa tích phân đường loại hai . . . . . . . 67
2.3.2. Cách tính tích phân đường loại hai . . . . . . . . 69
2.3.3. Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4 MỤC LỤC
2.3.4. Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc
đường lấy tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
Bàitậpchương2 ......................... 82
3. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 89
3.1. Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.1.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp một . . . 90
3.1.2. Phương trình vi phân tách biến (Phương trình vi
phân có biến phân li) . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.3. Phương trình đẳng cấp cấp một (Phương trình vi
phân thuần nhất cấp một) . . . . . . . . . . . . . 93
3.1.4. Phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . 95
3.1.5. Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.1.6. Phương trình vi phân toàn phần . . . . . . . . . . 100
3.2. Phương trình vi phân cấp hai . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.2.1. Đại cương về phương trình vi phân cấp hai . . . . 103
3.2.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
số có vế phải đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Bàitậpchương3 ......................... 111
TÀI LIỆU THAM KHẢO 116
Chương 1
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
1.1. Định nghĩa hàm số nhiều biến số
1.1.1. Không gian metric
Kí hiệu Rnlà tập các bộ có thứ tự nsố thực x= (x1, x2, ..., xn), mà ta
cũng gọi là các điểm. Ta gọi khoảng cách giữa hai điểm x= (x1, x2, ..., xn)
và y= (y1, y2, ..., yn)của Rnlà biểu thức
d(x, y) = »(x1−y1)2+ (x2−y2)2+... + (xn−yn)2.(1.1)
Dễ thấy, khoảng cách trong Rnđược cho bởi (1.1) có ba tính chất cơ
bản sau của metric là
(a) d(x, y)≥0,∀x, y ∈Rn, d(x, y) = 0 ⇔x=y;
(b) d(x, y) = d(y, x),∀x, y ∈Rn;
(c) d(x, y)≤d(x, z) + d(z, y),∀x, y, z ∈Rn.
Như vậy, tập Rnvới khoảng cách được cho bởi công thức (1.1) là
không gian metric.
Giả sử x∗∈Rnvà ε > 0. Ta gọi ε- lân cận của x∗là tập hợp sau của
Rn
Vε(x∗) = {x∈Rn|d(x, x∗)< ε}.
Ta gọi lân cận của x∗là mọi tập của Rnchứa được một ε- lân
cận nào đó của x∗. Lân cận của x∗được kí hiệu là V(x∗). Tập 0
Vε(x∗) =
Vε(x∗)\{x∗}được gọi là ε- lân cận thủng của x∗. Tập 0
V(x∗) = V(x∗)\{x∗}
được gọi là lân cận thủng của x∗.