Chương 2: chuỗi số, chuỗi hàm
Bài 1: Chuỗi số
Bài 2: Chuỗi số dương, các dấu hiệu hội tụ của chuỗi số dương
Bài 3: Chuỗi đan dấu, dấu hiệu Leibnitz
Bài 4: Chuỗi hàm và chuỗi luỹ thừa
Bài 5: Ứng dụng của chuỗi trong một số mô hình vật lý toán
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 60 / 194
Bài 1. Chuỗi số
1.1. Định nghĩa và ví dụ
Định nghĩa: Cho dãy số vô hạn {un:n≥1}, ta gọi tổng hình thức có
dạng
+∞
X
n=1
un=u1+u2+... +un+...
là một chuỗi số.
•Phần tử unđược gọi là phần tử tổng quát của chuỗi.
•Tổng Sn=
n
X
k=1
uk=u1+u2+... +unđược gọi là tổng riêng thứ ncủa
chuỗi.
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 61 / 194
•Nếu lim
n→+∞Sn=S(hữu hạn), thì ta nói chuỗi
+∞
X
n=1
unlà hội tụ và có tổng
là S. Khi đó ta viết:
+∞
X
n=1
un=S
•Nếu lim
n→+∞Sn=∞hoặc không tồn tại, thì ta nói chuỗi
+∞
X
n=1
unlà phân
kỳ.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng chuỗi sau hội tụ và tính tổng của nó
+∞
X
n=1
1
n(n+1)
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 62 / 194
Ví dụ 2: Khảo sát sự hội tụ, phân kỳ của chuỗi cấp số nhân (q: công bội)
+∞
X
n=1
qn
1.2. Các tính chất
Định lý 1: (Đk cần để chuỗi HT) Nếu chuỗi số
+∞
X
n=1
unlà hội tụ, thì
lim
n→+∞un=0
Hệ quả: Nếu un↛0 khi n→+∞, thì chuỗi số
+∞
X
n=1
unlà phân kỳ.
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 63 / 194
Ví dụ 3: Chuỗi số
+∞
X
n=1
arctan n
n+1là phân kỳ, vì
un= arctan n
n+1→π
4=0,n→+∞
Định lý 2: (Đk cần và đủ để chuỗi HT-Tiêu chuẩn Cauchy)
Chuỗi số
+∞
X
n=1
unlà hội tụ khi và chỉ khi với mọi ε > 0, tồn tại n0∈Nsao
cho với mọi n≥n0và mọi p∈Nthì
|Sn+p−Sn|< ε
Ví dụ 4: CMR chuỗi điều hòa
+∞
X
n=1
1
nlà phân kỳ
Phạm Trí Nguyễn (KHTN) Toán cao cấp 2 Hà Nội - 2022 64 / 194