Bài giảng Toán cao cấp (A2) - TS. Lê Bá Long, ThS. Đỗ Phi Nga [Chuẩn Nhất]

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG - - - - - - - (cid:9) - - - - - - -

BÀI GIẢNG

TOÁN CAO CẤP (A2)

Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG Ths. ĐỖ PHI NGA

Lưu hành nội bộ

HÀ NỘI - 2006

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

LỜI NÓI ĐẦU

Toán cao cấp A1, A2, A3 là chương trình toán đại cương dành cho sinh viên các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Nội dung của toán cao cấp A1, A3 chủ yếu là phép tính vi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến, còn toán cao cấp A2 là các cấu trúc đại số và đại số tuyến tính. Có khá nhiều sách giáo khoa và tài liệu tham khảo viết về các chủ đề này. Tuy nhiên với phương thức đào tạo từ xa có những đặc thù riêng, đòi hỏi học viên làm việc độc lập nhiều hơn, do đó cần phải có tài liệu hướng dẫn học tập thích hợp cho từng môn học. Tập tài liệu hướng dẫn học môn toán cao cấp A2 này được biên soạn cũng nhằm mục đích trên.

Tập tài liệu này được biên soạn theo chương trình qui định năm 2001 của Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông. Nội dung của cuốn sách bám sát các giáo trình của các trường đại học kỹ thuật, giáo trình dành cho hệ chính qui của Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông biên soạn năm 2001 và theo kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của tác giả. Chính vì thế, giáo trình này cũng có thể dùng làm tài liệu học tập, tài liệu tham khảo cho sinh viên của các trường, các ngành đại học và cao đẳng.

Giáo trình được trình bày theo cách thích hợp đối với người tự học, đặc biệt phục vụ đắc lực cho công tác đào tạo từ xa. Trước khi nghiên cứu các nội dung chi tiết, người đọc nên xem phần giới thiệu của mỗi chương cũng như mục đích của chương (trong sách Hướng dẫn học tập Toán A2 đi kèm) để thấy được mục đích ý nghĩa, yêu cầu chính của chương đó. Trong mỗi chương, mỗi nội dung, người đọc có thể tự đọc và hiểu được cặn kẽ thông qua cách diễn đạt và chứng minh rõ ràng. Đặc biệt bạn đọc nên chú ý đến các nhận xét, bình luận để hiểu sâu hơn hoặc mở rộng tổng quát hơn các kết quả. Hầu hết các bài toán được xây dựng theo lược đồ: Đặt bài toán, chứng minh sự tồn tại lời giải bằng lý thuyết và cuối cùng nêu thuật toán giải quyết bài toán này. Các ví dụ là để minh hoạ trực tiếp khái niệm, định lý hoặc các thuật toán, vì vậy sẽ giúp người đọc dễ dàng hơn khi tiếp thu bài học.

Giáo trình gồm 7 chương tương ứng với 4 đơn vị học trình (60 tiết):

Chương I: Lô gích toán học, lý thuyết tập hợp, ánh xạ và các cấu trúc đại số.

Chương II: Không gian véc tơ.

Chương III: Ma trận.

Chương IV: Định thức.

Chương V: Hệ phương trình tuyến tính

Chương VI: Ánh xạ tuyến tính.

Chương VII: Không gian véc tơ Euclide và dạng toàn phương.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ngoài vai trò là công cụ cho các ngành khoa học khác, toán học còn được xem là một ngành khoa học có phương pháp tư duy lập luận chính xác chặt chẽ. Vì vậy việc học toán cũng giúp ta rèn luyện phương pháp tư duy. Các phương pháp này đã được giảng dạy và cung cấp

từng bước trong quá trình học tập ở phổ thông, nhưng trong chương I các vấn đề này được hệ thống hoá lại. Nội dung của chương I được xem là cơ sở, ngôn ngữ của toán học hiện đại. Một vài nội dung trong chương này đã được học ở phổ thông nhưng chỉ với mức độ đơn giản. Các cấu trúc đại số thì hoàn toàn mới và khá trừu tượng vì vậy đòi hỏi học viên phải đọc lại nhiều lần mới tiếp thu được.

Các chương còn lại của giáo trình là đại số tuyến tính. Kiến thức của các chương liên hệ chặt chẽ với nhau, kết quả của chương này là công cụ của chương khác. Vì vậy học viên cần thấy được mối liên hệ này. Đặc điểm của môn học này là tính khái quát hoá và trừu tượng cao. Các khái niệm thường được khái quát hoá từ những kết quả của hình học giải tích ở phổ thông. Khi học ta nên liên hệ đến các kết quả đó.

Tuy rằng tác giả đã rất cố gắng, song vì thời gian bị hạn hẹp cùng với yêu cầu cấp bách của Học viện, vì vậy các thiếu sót còn tồn tại trong giáo trình là điều khó tránh khỏi. Tác giả rất mong sự đóng góp ý kiến của bạn bè đồng nghiệp, học viên xa gần và xin cám ơn vì điều đó.

Cuối cùng chúng tôi bày tỏ sự cám ơn đối với Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu Chính Viễn Thông, Trung tâm Đào tạo Bưu Chính Viễn Thông 1 và bạn bè đồng nghiệp đã khuyến khích động viên, tạo nhiều điều kiện thuận lợi để chúng tôi hoàn thành tập tài liệi này.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Hà Nội, cuối năm 2004. Ts. Lê Bá Long Khoa cơ bản 1 Học Viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1. CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LÔGÍC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

1.1 SƠ LƯỢC VỀ LÔGÍC MỆNH ĐỀ

1.1.1 Mệnh đề

Lôgíc mệnh đề là một hệ thống lôgích đơn giản nhất, với đơn vị cơ bản là các mệnh đề mang nội dung của các phán đoán, mỗi phán đoán được giả thiết là có một giá trị chân lý nhất định là đúng hoặc sai.

rqp , ,

...

Để chỉ các mệnh đề chưa xác định ta dùng các chữ cái

và gọi chúng là các biến mệnh đề. Nếu mệnh đề p đúng ta cho p nhận giá trị 1 và p sai ta cho nhận giá trị 0. Giá trị 1 hoặc 0 được gọi là thể hiện của p .

Mệnh đề phức hợp được xây dựng từ các mệnh đề đơn gián hơn bằng các phép liên kết

lôgích mệnh đề.

,p đọc là

1.1.2 Các phép liên kết lôgíc mệnh đề

1. Phép phủ định (negation): Phủ định của mệnh đề p là mệnh đề được ký hiệu

không p . Mệnh đề p đúng khi p sai và p sai khi p đúng.

qp,

p ∧ (đọc q

là mệnh đề được ký hiệu

p ∧ chỉ đúng khi p và q cùng đúng.

). Mệnh đề 2. Phép hội (conjunction): Hội của hai mệnh đề q là p và

qp,

p ∨ q

là mệnh đề được ký hiệu

cùng sai. ). q (đọc là p hoặc 3. Phép tuyển (disjunction): Tuyển của hai mệnh đề p ∨ chỉ sai khi p và

p ⇒

4. Phép kéo theo (implication): Mệnh đề kéo theo , ký hiệu , là mệnh đề chỉ

p đúng

sai khi sai.

(

)

⇒∧⇒

được gọi là mệnh đề 5. Phép tương đương (equivalence): Mệnh đề

p tương đương

p ⇔

, ký hiệu .

Một công thức gồm các biến mệnh đề và các phép liên kết mệnh đề được gọi là một công

thức mệnh đề. Bảng liệt kê các thể hiện của công thức mệnh đề được gọi là bảng chân trị.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Từ định nghĩa của các phép liên kết mệnh đề ta có các bảng chân trị sau

∧ 1

∨ 1

0 1

1 0

0 0

1 0

0 0

1 0

qp 1 1 1 0

⇒ 1 0

qp 1 1 1 0

⇒ 1 1

⇔ 1 0

0 0

1 0

1 1

0 0

1 0

0 1

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

p và q cùng đúng hoặc cùng

Như vậy là một mệnh đề đúng khi cả hai mệnh đề

q q

p ⇔ p ⇔

sai và mệnh đề sai trong trường hợp ngược lại.

Một công thức mệnh đề được gọi là hằng đúng nếu nó luôn nhận giá trị 1 trong mọi thể hiện của các biến mệnh đề có trong công thức. Ta ký hiệu mệnh đề tương đương hằng đúng là " ≡ " thay cho " ". ⇔

1.1.3 Các tính chất

Dùng bảng chân trị ta dễ dàng kiểm chứng các mệnh đề hằng đúng sau:

p ≡ p

luật phủ định kép. 1)

(

)

) q ≡⇒

∨

. 2)

, pp

∧≡∧

∨≡∨

3) luật giao hoán.

(

)

(

)

∧

≡

∧

(

)

(

)

∨

≡

∨

(

)

(

∧

rq ∨

∧

∨

]

[ (

]∧ ) r

luật kết hợp.

(

)

(

∨

∧

≡

∨

∧

≡ ]

p [ (

∨ ] r )

luật phân phối. 5) [ [

p ∨ luôn đúng

luật bài chung. 6) Mệnh đề

p ∧ luôn sai

luật mâu thuẫn.

∧≡∨

∨≡∧

luật De Morgan.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

qq ⇒≡⇒

8) luật phản chứng.

; pp

p ≡∨

p ≡∧

luật lũy đẳng. 9)

(

)

; pp

(

)

∨

∧

≡

∧

∨

≡

luật hấp thu. 10)

1.2 TẬP HỢP

1.2.1 Khái niệm tập hợp

,...

,YX

,...

, yx

,...

Khái niệm tập hợp và phần tử là khái niệm cơ bản của toán học, không thể định nghĩa qua các khái niệm đã biết. Các khái niệm "tập hợp", "phần tử" xét trong mối quan hệ phân tử của tập hợp trong lý thuyết tập hợp là giống với khái niệm "đường thẳng", "điểm" và quan hệ điểm trên đường thẳng được xét trong hình học. Nói một cách nôm na, ta có thể xem tập hợp như một sự tụ tập các vật, các đối tượng nào đó mà mỗi vật hay đối tượng là một phần tử của tập hợp. Có thể lấy ví dụ về các tập hợp có nội dung toán học hoặc không toán học. Chẳng hạn: tập hợp các số tự nhiên là tập hợp mà các phần tử của nó là các số 1,2,3..., còn tập hợp các cuốn sách trong thư viện của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông là tập hợp mà các phần tử của nó là các cuốn sách.

, BA còn các phần tử bởi các Ax ∈ , nếu x không thuộc A ta ký hiệu

Ta thường ký hiệu các tập hợp bởi các chữ in hoa Nếu phần tử x thuộc A ta ký hiệu

chữ thường Ax ∉ . Ta cũng nói tắt "tập" thay cho thuật ngữ "tập hợp".

1.2.2 Cách mô tả tập hợp

Ta thường mô tả tập hợp theo hai cách sau:

a) Liệt kê các phần tử của tập hợp

}9,7,5,3,1

. Ví dụ 1.1: Tập các số tự nhiên lẻ nhỏ hơn 10 là {

012 =−x

}1,1− .

Tập hợp các nghiệm của phương trình là {

b) Nêu đặc trưng tính chất của các phần tử tạo thành tập hợp

∈

{ ∈= n

(cid:178) Ví dụ 1.2: Tập hợp các số tự nhiên chẵn (cid:178)}

)(xS

Dx ∈ . Khi cho biến x một giá trị cụ thể thì ta được mệnh đề lôgích (mệnh đề chỉ nhận một trong hai giá trị hoặc đúng hoặc sai).

)(xS

phụ thuộc vào biến Hàm mệnh đề trên tập hợp D là một mệnh đề

Dx ∈ sao cho

là một mệnh đề trên tập hợp D thì tập hợp các phần tử

)(xS

})(xSDx ∈

và được gọi là miền đúng của hàm mệnh đề . Nếu đúng được ký hiệu {

12 +x

xác định trên tập các số tự nhiên (cid:178): " là một số nguyên

),1(

)(xS S

),3(

)4(

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

đúng và sai ... tố" thì i) Xét hàm mệnh đề S )2(

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

ii) Mỗi một phương trình là một hàm mệnh đề

x (cid:28) ∈

012 =−

−=

}1,1

{

} {

Để có hình ảnh trực quan về tập hợp, người ta thường biểu diễn tập hợp như là miền phẳng

,2,1,0=

giới hạn bởi đường cong khép kín không tự cắt được gọi là giản đồ Ven.

}... .

c) Một số tập hợp số thường gặp - Tập các số tự nhiên (cid:178) {

,1,0

±±

}... .

- Tập các số nguyên

(cid:52)

qqp

, qp

≠

∈

{ =(cid:28) {

}(cid:28) .

- Tập các số hữu tỉ

- Tập các số thực (cid:22).

(cid:5)

(cid:22)

yx ,

;

x +=

∈

−=

{

. - Tập các số phức

1.2.3 Tập con

Định nghĩa 1.1: Tập A được gọi là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều là phần tử

BA ⊂ hay

B ⊃ . A

của B , khi đó ta ký hiệu

Khi A là tập con của B thì ta còn nói A bao hàm trong B hay B bao hàm A hay B

chứa A.

⊂⊂⊂⊂

Ta có: (cid:178) . (cid:5)(cid:22)(cid:52)(cid:28)

,BA =

BA ⊂ và

khi và chỉ khi

B ⊂ .

Định nghĩa 1.2: Hai tập A , B bằng nhau, ký hiệu A

∈⇒∈

Như vậy để chứng minh và vì vậy khi

BA ⊂ ta chỉ cần chứng minh .

∈⇔∈

BA = ta chỉ cần chứng minh

chứng minh

.φ

Định nghĩa 1.3: Tập rỗng là tập không chứa phần tử nào, ký hiệu

Một cách hình thức ta có thể xem tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.

( X

)

(XP

A P∈

. Vậy

)

. Tập hợp tất cả các tập con của X được ký hiệu khi và chỉ khi A ⊂ . Tập X là tập con của chính nó nên là phần tử lớn nhất còn φ là phần tử bé nhất trong X (XP

}cba { ,= ,

Ví dụ 1.3:

(

)

{ , φ=

{ } { } { } { , , cbbacba

} { ,

}Xac } , , .

X P

có

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

23 = phần tử. Ta có thể chứng minh tổng quát

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

(XP )

) có n2

có phần tử. rằng nếu X có n phần tử thì Ta thấy X có 3 phần tử thì (XP

1.2.4 Các phép toán trên các tập hợp

BA ∪ , là tập gồm các phần tử thuộc ít

1. Phép hợp: Hợp của hai tập A và B , ký hiệu

nhất một trong hai tập A , B .

BAx

( ( ∈∨∈⇔∪∈

)Bx )

)

(

)

. Vậy (

BA ∩ , là tập gồm các phần tử thuộc

2. Phép giao: Giao của hai tập A và B , ký hiệu

BAx

( ( ∈∧∈⇔∩∈

)Bx )

)

(

)

. đồng thời cả hai tập A , B . Vậy (

BA \

BA − , là tập gồm các

hay 3. Hiệu của hai tập: Hiệu của hai tập A và B , ký hiệu

∈ \ BAx

∉∧∈⇔

)

(

)Bx )

( (

)

. phần tử thuộc A nhưng không thuộc B . Vậy (

BX \

B ⊂ thì tập X

Đặc biệt nếu được gọi là phần bù của B trong X và

XC . Nếu tập X cố định và không sợ nhầm lẫn thì ta ký hiệu B thay cho

B XC .

được ký hiệu là

BA ∩

BA ∪

B XC

Ta có thể minh hoạ các phép toán trên bằng giản đồ Ven:

Áp dụng lôgích mệnh đề ta dễ dàng kiểm chứng lại các tính chất sau:

BBA

∪=∪

, 1.

BBA

∩=∩

tính giao hoán.

)

(

∪∪=∪∪

2. ,

)

(

∩∩=∩∩

tính kết hợp.

)

(

)

( ∪∩∪=∩∪

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

3. ,

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

)

(

)

( ∩∪∩=∪∩

tính phân bố.

Giả sử BA, là hai tập con của X thì:

AAA

;

XAA

;

φ =∪

=∩

AAXAA

;

=∪

φ=∩

BABA ∩=∪

BA ∩

6. ; luật De Morgan

ABABA

(

) ACBAA =∩

. 7.

BABA ∪=∩ ) =∩∩=∩= 1.2.5 Lượng từ phổ biến và lượng từ tồn tại

là một hàm mệnh đề xác định trên tập D có miền đúng

)(xS })(

D xS )(

. Khi đó: Giả sử { xSDx ∈=

xSDx ∈∀ )(

xSDx ∈ , )(

a) Mệnh đề (đọc là với mọi ) là một mệnh đề đúng nếu

D xS

=)(

và sai trong trường hợp ngược lại.

xSx∀ )( ,

) , )( xSx∀

. Khi D đã xác định thì ta thường viết tắt Ký hiệu ∀ (đọc là với mọi) được gọi là lượng từ phổ biến. hay (

xSDx ∈∃ )(

xSDx ∈ , )(

b) Mệnh đề (đọc là tồn tại ) là một mệnh đề đúng nếu

φ≠)(xSD

và sai trong trường hợp ngược lại.

∃

Ký hiệu (đọc là tồn tại) được gọi là lượng từ tồn tại.

Để chứng minh một mệnh đề với lượng từ phổ biến là đúng thì ta phải chứng minh đúng

trong mọi trường hợp, còn với mệnh đề tồn tại ta chỉ cần chỉ ra một trường hợp đúng.

xSDx ∈∃ ! )(

c) Người ta mở rộng khái niệm lượng tử tồn tại với ký hiệu (đọc là tồn tại

xSDx ∈ , )(

)(xSD

) nếu có đúng một phần tử. duy nhất

xSDx , )(

∈∀

d) Phép phủ định lượng từ

xSDx , )(

∈∃

( ∈∃⇔ ( ∈∀⇔

))( xSDx , ))( xSDx ,

(1.1)

)( xf

>∀⇔=

x ∀>∃ δ

⇒<−<

−

ε .

lim x a →

Ví dụ 1.4: Theo định nghĩa của giới hạn

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

(

)

) q ≡⇒

∨

Sử dụng tính chất hằng đúng (xem tính chất 1.3) ta có

⇒<−<

−

tương đương với

)( xf

≥−

) δ

∨

ax =

−

(

( (

xf )( ) ( ) ∨

)ε

)( xf

lim x a →

Vậy phủ định của là L

)( xf

,0 >∀>∃ ε

∃

ax <−<

∧

−

≥

(

)

(

)ε

U I i ∈

là một họ các tập hợp. Ta định nghĩa là tập gồm các phần tử thuộc Giả sử ( 1.2.6 Phép hợp và giao suy rộng ) iiA ∈

nào đó và là tập gồm các phần tử thuộc mọi tập . ít nhất một tập

∈

A i

( i ∈∃⇔ 0

AxI ; ∈ i

∈U i

Vậy

∈

( ∈∀⇔

) )

A i

)i ; AxI ∈

i ∈

. (1.2)

I (cid:22)

nnx

(

≤≤

I I i ∈ ( x ( x { x ∈=

})1

(cid:22)

(11

x +<≤+

{ x −∈=

})1

Ví dụ 1.5:

[ )1;0

]1;0 [

∞ =Un

∞ =In

, .

1.2.7 Quan hệ

1.2.7.1 Tích Đề các của các tập hợp

YX ,

YX × , gồm các phần tử có

là tập, ký hiệu

)

dạng trong đó Định nghĩa 1.4: Tích Đề các của hai tập Xx ∈ và yx ,(

)

∈

=×

vµ

Yy ∈ . { ,( Xxyx

}Yy ∈ .

(1.3) Vậy

}2,1=Y {

=×

}cba { ,= , })2,(),2,(),2,(),1,(),1,(),1,( { a a

Ví dụ 1.6: ,

YX × có

phần tử thì phần tử, Y có

mn ×

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ta dễ dàng chứng minh được rằng nếu X có phần tử.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

...,

XX , 1 hợp này như sau:

Cho là n tập hợp nào đó, ta định nghĩa và ký hiệu tích Đề các của n tập

(

,...,

)

,...,2,1

... ××

∈

{

xx , 1

x i

, iX i

. (1.4)

Chú ý 1.1:

== ...

n =

×× ... X X 43421 lÇn n

thì ta ký hiệu thay cho . 1. Khi

... ××

iX .

∏ ∈I i

2. Tích Đề các còn được ký hiệu

(

,...,

)

,...,

)

∈

... ××

∈

... ××

x 1

'( x 1

(

,...,

)

,...,

)

,...,1

i =∀

x =⇔ i

,' i

x 1

'( x 1

3. Giả sử ; thì

4. Tích Đề các của các tập hợp không có tính giao hoán.

1.2.7.2 Quan hệ hai ngôi

XX ×⊂R

Định nghĩa 1.5: Cho tập

φ≠X yx ,(

Xyx ∈,

mà theo quan hệ ta nói x có quan hệ với , mỗi tập con R∈) được gọi là một quan hệ hai R và ta

viết ngôi trên X . Với yxR .

Ví dụ 1.7: Ta xét các quan hệ sau trên tập các số:

∈∀ yx,

yx y M⇔1

chia hết cho (cid:178) , )y

,( ⇔ yx

1) =

∀ yx,

(cid:28)∈

và nguyên tố cùng nhau)

∀ yx,

(cid:22)∈

y ≤⇔3

nhỏ hơn hay bằng x( )y

(mod m

)

x ≡

∀ yx,

(cid:28)∈

1 : RR x xRR : 2 2 3 : RR x 4 : RR x x y M−⇔4 y môđulô m.

x đồng dư với

, . Ta ký hiệu và đọc là

∈∀,R xx

a) Phản xạ, nếu ; Định nghĩa 1.6: Quan hệ hai ngôi R trên X được gọi là có tính: Xx

∀ ,

Xyx ∈

xyR ;

mà b) Đối xứng, nếu

, Xzyx ∀ ,

∈

yxR thì cũng có yxR và

zxR ;

mà c) Bắc cầu, nếu

∀ ,

Xyx ∈

x = . y

zyR thì cũng có xyR thì

yxR và

mà d) Phản đối xứng, nếu

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

chia hết cho 0). Ví dụ 1.8: 1R phản đối xứng, bắc cầu nhưng không đối xứng, không phản xạ (vì 0 không 3R phản xạ, 2R đối xứng, không phản xạ, không phản xứng, không bắc cầu.

4R phản xạ, đối xứng, bắc cầu.

phản đối xứng, bắc cầu.

1.2.7.3 Quan hệ tương đương

φ≠X

được gọi là quan hệ tương đương nếu có Định nghĩa 1.8: Quan hệ hai ngôi R trên

ba tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu.

)

x ~ thay cho

(~ Ry

yxR .

hoặc Với quan hệ tương đương R ta thường viết

Ta định nghĩa và ký hiệu lớp tương đương của phần tử { yXy ∈=

Xx ∈ là tập hợp }. Mỗi phần tử bất kỳ của lớp tương đương x được gọi là phần tử đại diện x )(xcl

. của x . Người ta cũng ký hiệu lớp tương đương của x là

Hai lớp tương đương bất kỳ thì hoặc bằng nhau hoặc không giao nhau, nghĩa là

x ∩ 'x x = hoặc bằng φ, nói cách khác các lớp tương đương tạo thành một phân hoạch

hoặc bằng

'x .X

các tập con của

}Xxx { ∈ .

. Vậy Tập tất cả các lớp tương đương được gọi là tập hợp thương, ký hiệu

4R trong ví dụ 1.7 là một quan hệ tương đương gọi là quan hệ đồng

Ví dụ 1.9: Quan hệ

x ~ , ta viết

dư môđulô m trên tập các số nguyên (cid:28). Nếu

(mod m

)

x ≡

Ta ký hiệu tập thương gồm m số đồng dư môđulô m:

...,

−

{ ,1,0

m(cid:28) Ví dụ 1.10: Trong tập hợp các véc tơ tự do trong không gian thì quan hệ "véc tơ ur bằng véc tơ vr " là một quan hệ tương đương. Nếu ta chọn gốc O cố định thì mỗi lớp tương đương bất kỳ đều có thể chọn véc tơ đại diện dạng OA .

1.2.7.4 Quan hệ thứ tự

φ≠X

được gọi là quan hệ thứ tự nếu có ba Định nghĩa 1.8: Quan hệ hai ngôi R trên

tính chất phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu.

Ví dụ 1.11:

y "

x ≤

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

1) Trong (cid:178), (cid:28), (cid:52), (cid:22) quan hệ là một quan hệ thứ tự.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

yxM "

2) Trong (cid:178) quan hệ là một quan hệ thứ tự.

)

BA ⊂ ) là một

(XP

3) Trong , tập hợp tất cả các tập con của X , quan hệ "tập con" (

quan hệ thứ tự.

Khái niệm quan hệ thứ tự được khái quát hoá từ khái niệm lớn hơn (hay đứng sau) trong

""≤ cho quan hệ thứ tự bất kỳ.

các tập số, vì vậy theo thói quen người ta cũng dùng ký hiệu

""≤

Quan hệ thứ tự trên tập

X được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần nếu hai phần tử bất y ≤ . Quan

x ≤ hoặc y

Xyx ∈,

thì

kỳ của X đều so sánh được với nhau. Nghĩa là với mọi hệ thứ tự không toàn phần được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận.

""≤ được gọi là tập được sắp. Nếu

""≤

là quan hệ thứ tự Tập X với quan hệ thứ tự

X được gọi là tập được sắp toàn phần hay sắp tuyến tính.

toàn phần thì

(

)

),≤

≤(cid:28) ,

≤(cid:52) , (

( ≤(cid:22) được sắp toàn phần, còn (cid:178),

(

và

(

(XP

được sắp bộ phận (nếu X có nhiều hơn 1 phần tử). Ví dụ 1.12: Các tập (cid:178),( )⊂),

(

≤X ),

Định nghĩa 1.9: Cho tập được sắp

a ≤

XA ⊂ . Tập A được gọi là bị chặn A . q

Xq ∈

trên nếu tồn tại sao cho , với mọi được gọi là một chặn trên của và tập con Aa ∈ . Khi đó

q ≤ đều là chặn

A thì mọi

Xp ∈ mà

Hiển nhiên rằng nếu là một chặn trên của

trên của A .

A )

'qq ≤ , với mọi chặn trên

của Phần tử chặn trên nhỏ nhất của

A ( theo nghĩa sup

. Rõ ràng phần tử cận trên nếu tồn tại là

được gọi là cận trên của A và được ký hiệu duy nhất.

Xp ∈ sao cho

Tương tự tập A được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại

p ≤ , với mọi a Ainf

Aa ∈ . Phần tử chặn dưới lớn nhất được gọi là cận dưới của A và được ký hiệu dưới nếu tồn tại cũng duy nhất.

. Cận

sup ,

Ainf

= sup

AA ∈

Nói chung thì q chưa chắc là phần tử của A . Nếu

q max

. được gọi là phần tử lớn nhất của A ký hiệu

= inf

AA ∈

Tương tự nếu thì p được gọi là phần tử bé nhất của A ký hiệu

= p min

(cid:22)

)

x <≤

( ≤(cid:22) ,

[ 1;0

) { x ∈=

Ví dụ 1.13: Trong , tập có

inf

= sup

AA∉

∈= 0

Amax nhưng tồn tại

min

inf

do đó không tồn tại .

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1.3 ÁNH XẠ

1.3.1 Định nghĩa và ví dụ

Khái niệm ánh xạ được khái quát hoá từ khái niệm hàm số trong đó hàm số thường được số hàm

...

1,0 aa

3,4 aa

cho dưới dạng công thức tính giá trị của hàm số phụ thuộc vào biến số. Chẳng hạn, y với ∈x (cid:178) là quy luật cho ứng

Ta có thể định nghĩa ánh xạ một cách trực quan như sau:

Định nghĩa 1.10: Một ánh xạ từ tập X vào tập Y là một quy luật cho tương ứng mỗi một

)(xf

Xx ∈ với một phần tử duy nhất

y =

phần tử của Y .

⎯→⎯:

f ⎯→⎯

)(xf

y =a

y =a X được gọi là tập nguồn, Y được gọi là tập đích.

Ta ký hiệu hay

Ví dụ 1.14:

• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •

X Trong 3 tương ứng trên chỉ có tương ứng thứ 3 xác định một ánh xạ từ X vào Y .

Y Y Y

)(xf

y =

Ví dụ 1.15: Mỗi hàm số bất kỳ có thể được xem là ánh xạ từ tập D là miền

)(xf

y =

xác định của vào (cid:22). Chẳng hạn:

(cid:22)

ln=

*: (cid:22) →+

ln=a y

Hàm lôgarit là ánh xạ

(cid:22)

y =

(cid:22) →+:

là ánh xạ Hàm căn bậc hai

Xf →:

y =a XA ⊂ ,

YB ⊂ .

Định nghĩa 1.11: Cho ánh xạ và

( Af )

∈

{

}Axxf )(

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

(1.5)

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

được gọi là ảnh của A qua ánh xạ f .

( Xf

Im) =

Nói riêng được gọi là tập ảnh hay tập giá trị của f .

(1 −

)

∈

{ )( xfXx ∈=

} B

(1.6)

được gọi là nghịch ảnh của tập con B của Y .

f −

)(1 y

f 1−

) { }( y

thay cho . Vậy Khi B là tập hợp chỉ có một phần tử { }y thì ta viết

)(1 − y

xf )(

{ yXx ∈=

(1.7)

1.3.2 Phân loại các ánh xạ

Định nghĩa 1.12:

Xf →:

1) Ánh xạ được gọi là đơn ánh nếu ảnh của hai phần tử phân biệt là hai phần

tử phân biệt.

)

xf (

)

∈

≠

xx , 1

xX ; 1

x ⇒≠ 2

xf ( 1

Nghĩa là: Với mọi hay một cách tương đương,

;

∈

xx , 2 1

với mọi .

)

xf (

)

xf ( 1

x =⇒ 1

(1.8)

Xf →: ( Xf

Y =)

hay được gọi là toàn ánh nếu mọi phần tử của Y là ảnh của phần tử nào Y 2) Ánh xạ đó của X . Nghĩa là

)(xf

, ∈∃∈∀

y =

sao cho . (1.9)

Xf →:

vừa đơn ánh vừa toàn ánh được gọi là song ánh. 3) Ánh xạ

Xf →:

y =

)(xf thì ta có thể xác định tính chất đơn ánh, toàn ánh của ánh xạ f bằng cách giải phương trình:

Chú ý 1.2: Khi ánh xạ được cho dưới dạng công thức xác định ảnh

( xf

Yy ∈

(1.10)

là tham biến. trong đó ta xem x là ẩn và

Yy ∈ phương trình (1.10) luôn có nghiệm

Xx ∈ thì ánh xạ f là toàn

♦ Nếu với mọi

ánh.

Yy ∈ phương trình (1.10) có không quá 1 nghiệm

Xx ∈ thì ánh xạ f

♦ Nếu với mỗi

là đơn ánh.

Yy ∈ phương trình (1.10) luôn có duy nhất nghiệm

Xx ∈ thì ánh xạ

f là song ánh.

♦ Nếu với mọi

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

(cid:178) y

xf )(

(cid:178) )1

xx (

→ =

x a

Ví dụ 1.16: Cho ánh xạ

)( xf

( xx

)1 =+

=−+

Xét phương trình hay .

Biệt số trình luôn có 2 nghiệm thực (vì ∈y (cid:178)). Phương

41 +

( 1 +−=

41 +=Δ )

0 ( 1 −−=

) 2

x 1

. Vì nên phương trình có không

∉1x

(cid:178) (chẳng hạn

), nghĩa là phương trình trên vô nghiệm trong (cid:178). Vậy quá 1 nghiệm trong (cid:178). Vậy f là đơn ánh. Mặt khác tồn tại ∈y (cid:178) mà nghiệm f không toàn ánh. 1=y

Ví dụ 1.17: Các hàm số đơn điệu chặt:

)

xf (

x 1

x ⇒< 2

xf ( 1

• Đồng biến chặt:

)

xf (

x 1

x ⇒< 2

xf ( 1

• Nghịch biến chặt: )

là các song ánh từ tập xác định lên miền giá trị của nó.

Ai : x

X )( xi

→ a

Ví dụ 1.18: Giả sử A là tập con của X thì ánh xạ

là một đơn ánh gọi là nhúng chính tắc.

X .

XA =

XId

gọi là ánh xạ đồng nhất của Đặc biệt khi ánh xạ i được ký hiệu

~ X =)( xp

Xp →: x a

Ví dụ 1.19: Giả sử ~ là một quan hệ tương đương thì ánh xạ sau là một toàn ánh

1.3.3 Ánh xạ ngược của một song ánh

là một song ánh khi đó với mỗi

Yy ∈ tồn tại duy Xf →: . Như vậy ta có thể xác định một ánh xạ từ Y vào X bằng cách

nhất Định nghĩa 1.13: Giả sử )(xf Xx ∈ sao cho

)(xf

Xx ∈ sao cho

y =

cho ứng mỗi phần tử . Ánh xạ này được

y = Yy ∈ với phần tử duy nhất 1−f

. gọi là ánh xạ ngược của f và được ký hiệu

)(1 − y

xf )(

→− :1 Y

=⇔=

Vậy và .

(1.11)

1−f

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

cũng là một song ánh.

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

≠

Ví dụ 1.20: Hàm mũ 1

là một song ánh (vì hàm mũ đơn điệu chặt) có hàm ngược là hàm lôgarit

log=⇔=

. y

Ví dụ 1.21 Các hàm lượng giác ngược

sin

[ 2 −π π

; x

[ − sin

] 1;1 x

] → a

Xét hàm

arcsin

]

] 1;1 y

đơn điệu tăng chặt và toàn ánh nên nó là một song ánh. Hàm ngược được ký hiệu

arcsin

ππ−∈

;2 arcsin ] ,1;1

[

[ [ ππ−→− y a [ x −∈∀ ] 1;1

x , [ −→

đơn điệu giảm chặt có hàm ngược Tương tự hàm

arccos

;

cos

y sin =⇔ [ ] ;0: cos π [ ] ]π;0 [ 1;1 →− y arccos =⇔

arcotg

được xác định như sau Hàm ngược arctg

arctg

;

y =⇔

) y , ππ−∈∞∞−∈∀

(

;

arc

gcot

x ,gcot

∈∞∞−∈∀

y =⇔

( ) ,

)2 )π;0 (

(

1.3.4 Hợp (tích) của hai ánh xạ

xfg (

(

f g Y →→

x a

Định nghĩa 1.14: Với hai ánh xạ thì tương ứng

. Vậy xác định một g o f

)) ánh xạ từ X vào Z được gọi là hợp (hay tích) của hai ánh xạ f và g , ký hiệu g

→:

có công thức xác định ảnh

xf )(

xfg

(

))

. (1.12)

(cid:22)

xf )(

sin

(cid:22) ,

→

(cid:22)(cid:22) →

với công thức xác định ảnh

2)(

= x

fg o

f o

. Ta có thể thiết lập hai hàm hợp và từ (cid:22) vào (cid:22). Ví dụ 1.22: Cho 2 +

xg )(

sin(

,)4

xf )(

sin2

o Qua ví dụ trên ta thấy nói chung

g o ≠

, nghĩa là phép hợp ánh xạ không có tính

giao hoán.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

→− :1 Y

Xf →: 1 −

Nếu là một song ánh có ánh xạ ngược , khi đó ta dễ dàng

XId

YId

=−1 là một song ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ

và . Hơn nữa ta có thể chứng minh được kiểm chứng rằng

o Y

f Xf →:

Yg →:

sao cho rằng ánh xạ

1−= f

XId

YId

g =o

và , lúc đó .

1.3.5 Lực lượng của một tập hợp

Khái niệm lực lượng của tập hợp có thể xem như là sự mở rộng khái niệm số phần tử của tập hợp.

YX ,

Định nghĩa 1.15: Hai tập hợp được gọi là cùng lực lượng nếu tồn tại song ánh từ X

lên Y .

được gọi là có lực lượng . Vậy

,...,2,1 n

X có lực lượng hay X .

Card

n X , ký hiệu

n Quy ước lực lượng của φ là 0.

khi và chỉ khi còn được gọi là bản số của Tập cùng lực lượng với tập { X có phần tử.

Định nghĩa 1.16: Tập có lực lượng

hoặc 0 được gọi là các tập hữu hạn. Tập không hữu hạn được gọi là tập vô hạn. Tập có cùng lực lượng với tập các số tự nhiên (cid:178) hay hữu hạn được gọi là tập đếm được.

Chú ý 1.3:

1) Tập vô hạn đếm được là tập cùng lực lượng với (cid:178).

2) Bản thân tập (cid:178) là tập vô hạn đếm được.

3) Người ta chứng minh được (cid:28), (cid:52) là tập vô hạn đếm được, còn tập (cid:22) không đếm được.

YX ,

Xf →:

là hai tập hữu hạn cùng lực lượng. Khi đó ánh xạ là đơn ánh 4) Giả sử

khi và chỉ khi là toàn ánh, do đó là một song ánh.

1.4 GIẢI TÍCH TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON

1.4.1 Hoán vị, phép thế

E lên E được gọi là một phép

,...

}

{ xx , 2 1= thế, còn ảnh của song ánh này được gọi là một hoán vị n phần tử của E .

Cho tập hữu hạn . Mỗi song ánh từ

Nếu ta xếp các phần tử của E theo một thứ tự nào đó thì mỗi hoán vị là một sự đổi chỗ các phần tử này.

} { n ,...2,1

...

thì mỗi phép thế được ký hiệu bởi ma trận Đặc biệt nếu

)2(

...

)( n

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ )1( σσ ⎣

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

(1.13)

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

nσ

n sắp theo thứ tự tăng dần, hàng dưới là ảnh tương là hoán vị của phép thế σ. 2( ),...,

σ. Còn [

])(

4321

ứng của nó qua song ánh trong đó hàng trên là các số từ 1 đến ),1( σσ

)1( =σ

] [ 3124

3124

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

Ví dụ 1.23: là hoán vị từ phép thế có ,

3)4(

)2( =σ

1)3( =σ ,

=σ ,

có hai hoán vị là

123

]21 [ và [ ]321 [

]12 . , [

]312

]213

]231

]132 [

có sáu hoán vị là , Tập hợp { Tập hợp { , [ , [ và [

,...,

1−n

}

( 1xσ , )

)

}2,1 }3,2,1 { , 2 xx 1= ( 2xσ .... cho một phép thế σ bất kỳ.

cách chọn giá trị Với tập thì có n cách chọn giá trị

nn (

)(1

1)...2

n !

−

Vậy có hoán vị (phép thế) của tập phần tử.

1.4.2 Chỉnh hợp

,...,

}nx

{ , 2 xx 1=

và tập hợp hữu hạn phần tử

,...,2,1=

. Cho tập hợp hữu hạn có {

B đến E .

Định nghĩa 1.17: Một chỉnh hợp lặp chập p các phần tử của E là ảnh của một ánh xạ từ

Ta cũng có thể xem một chỉnh hợp lặp chập p như một bộ gồm p thành phần là các phần tử có thể trùng nhau của E . Nói cách khác, một chỉnh hợp lặp chập p là một phần tử của tích

pE . Vậy số các chỉnh hợp lặp chập p của

vật là . Descartes

,...,

vật Ví dụ 1.24: Cho và tiến hành bốc có hoàn lại

p lần theo cách E và bốc tiếp lần thứ hai ... Mỗi kết

lại cho

...

p .

x i

} { nx , 2 xx 1= sau: Bốc lần thứ nhất từ tập E được 1ix 1ix , ta trả )pi là một chỉnh hợp có lặp

x i 1

chập quả sau p lần bốc (

pE (

)

≤

phần tử của là Định nghĩa 1.18: Một chỉnh hợp (không lặp) chập p gồm

ảnh của một đơn ánh từ B vào E .

p là khác nhau nếu:

Hai chỉnh hợp chập

(cid:131) hoặc chúng có ít nhất một phần tử khác nhau,

(cid:131) hoặc gồm p phần tử như nhau nhưng có thứ tự khác nhau.

E vào p vị trí.

phần tử của Như vậy ta có thể xem mỗi chỉnh hợp là một bộ có p thành phần gồm các phần tử khác n nhau của E hay có thể xem như một cách sắp xếp

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1+− p

Có cách chọn vào vị trí thứ nhất,

1−n cách chọn vào vị trí thứ p . Vậy số các chỉnh hợp

p là

chập cách chọn vào vị trí thứ hai, ... và n

nn (

1 )...(

−

=+−

A p n

(

n ! p −

(1.14)

1.4.3 Tổ hợp

Định nghĩa 1.19: Một tổ hợp vật của

E chập p là một cách lấy ra đồng thời p vật từ p là một tập con p phần tử của tập có

chập

E có n vật. Như vậy ta có thể xem một tổ hợp n

E .

phần tử

Nếu ta hoán vị p vật của một tổ hợp thì ta có các chỉnh hợp khác nhau của cùng p vật này.

!p chỉnh hợp của p vật này. Ký hiệu

p nC

là số các tổ

p thì

Vậy ứng với một tổ hợp p vật có đúng hợp chập

p n

p A n ! p

! n np (! −

. (1.15)

Ví dụ 1.25: a) Có bao nhiêu cách bầu một lớp trưởng, một lớp phó và một bí thư chi đoàn

mà không kiêm nhiệm của một lớp có 50 học sinh.

b) Có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành gồm một lớp trưởng, một lớp phó và một bí

thư chi đoàn mà không kiêm nhiệm của một lớp có 50 học sinh.

Giải:

a) Mỗi kết quả bầu là một chỉnh hợp 50 chập 3.

600.117

3 =A 50

Vậy có cách bầu.

b) Mỗi kết quả bầu một ban chấp hành là một tổ hợp 50 chập 3.

.19

600

3 =C 50

!50 !47!3

49 6

Vậy có cách bầu.

1.4.4 Nhị thức Niu-tơn

(

)(1

( x 1

1 )...( )1 x x + 444 2 444 3 n thõa sè

Xét đa thức bậc :

1 −

−

(

... ++

1 −

−

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Khai triển đa thức này ta được:

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

px bằng số cách chọn p thừa số trong

thừa số trên. Mỗi cách chọn là một tổ Hệ số của

p , do đó

a =

p C

p n

1 −

. hợp chập

(

... ++

nn xC n

n n

pp xC n

0 n

Vậy

0≠b

x =

−

Thay (nếu ) ta có:

(

)

1 − a

1 − b

ba +

... ++

nn aC n

n n

0 bC n

pnpp n

n ∑ baC 0 p =

(1.16)

(cid:5)∈ba,

(kể cả trường hợp Công thức này được gọi là nhị thức Niu-tơn, đúng với mọi

). 0=b

1.4.5 Sơ lược về phép đếm

Khi muốn đếm số phần tử của các tập hữu hạn ta có thể áp dụng các cách đếm hoán vị,

chỉnh hợp, tổ hợp và các công thức sau:

=∩+∪

BA +

a) , (công thức cộng) (1.17)

BA ×

BA ⋅

b) , (công thức nhân) (1.18)

=→:

} B

, (chỉnh hợp có lặp) (1.19) c) {

(

) A

d) , (1.20)

Af →:

A =

e) Nếu song ánh thì . (1.21)

Công thức cộng a) thường được sử dụng trong trường hợp đặc biệt khi A, B rời nhau

=∪

φ=∩ BA

, lúc đó .

Công thức nhân b) có thể mở rộng cho k tập bất kỳ

...

... ××

⋅

A 1

A k

A 1

A k

(1.22)

A ,..., 1

. Mỗi giai đoạn có thể thực hiện

kA phương án thực hiện H.

×× ...

n 1

phương án thì cả thảy có theo Hoặc nếu một hành động H gồm k giai đoạn in

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ví dụ 1.26: Cho mạch điện

a) Có bao nhiêu trạng thái của mạch.

b) Có bao nhiêu trạng thái có thể của mạch để có dòng điện chạy từ A đến B

Giải:

Áp dụng công thức nhân ta có:

432 2.2.2

512

a) Số các trạng thái của mạch .

b) Ở có trạng thái nhưng có 1 trạng thái dòng điện không qua được, do đó ở

23 − và ở 1

24 −

có 3 trạng thái dòng điện qua được. Tương tự ở có có trạng thái

315

××

. dòng điện qua được. Vậy số các trạng thái của mạch có dòng điện chạy từ A đến B là 73

( ≥n

Ví dụ 1.27: Có bao nhiêu số tự nhiên viết dưới dạng thập phân có chữ số trong

đó có đúng hai chữ số 8.

chữ số mà chữ số thứ nhất bên trái khác chữ số 0 và có Giải: Giả sử N là số tự nhiên có đúng hai chữ số 8.

1−n

♦Trường hợp 1: Nếu chữ số thứ nhất bên trái là chữ số 8 thì có

(

9)1

2−n

−

vị trí để đặt chữ số 8 n − thứ hai, có 9 cách chọn cho mỗi chữ số ở vị trí còn lại. Vậy có đúng số

thuộc loại này.

2 1−nC

vị ♦Trường hợp 2: Nếu chữ số thứ nhất bên trái không phải là chữ số 8 thì có

3−n

(

−

trí để đặt 2 chữ số 8, có 8 cách chọn chữ số cho vị trí thứ nhất, có 9 cách chọn cho mỗi chữ vị trí khác vị trí thứ nhất và hai vị trí đã chọn cho chữ số 8. Vậy có đúng số ở

⋅

98 ⋅

⋅

98 ⋅

2 1 n −

n )(1 2

số N thuộc loại này.

−

(

9)1

)(1

9)2

)(1

9)1

−

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Sử dụng công thức cộng ta suy ra số các số tự nhiên cần tìm là:

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ví dụ 1.28: Trong mặt phẳng cho đường thẳng đôi một cắt nhau và các giao điểm này

( ≥n

khác nhau .

a) Tìm số các giao điểm của chúng.

b) Tìm số các đường thẳng mới được tạo bởi các giao điểm trên.

4=n

Giải:

a) Số các giao điểm của đường thẳng bằng số các cặp của đường thẳng này. Vậy có

2 nC

giao điểm.

giao điểm của câu a). Tồn tại đúng hai đường trong n b) Xét tại điểm A bất kỳ trong

A là

iDD

2 nC . j

đường trên đi qua

1−n

2 nC

Trên mỗi đường có đúng điểm trong số giao điểm của câu a).

1)1

−−n

i DD ,

(

−

(2(

điểm, do đó có Vậy trên có

−

)1)1 =−−

2 Cn

)(2 2

đường thẳng mới nối đến A . Vì mỗi đường

(

−

thẳng mới đều nối hai điểm ở câu a) nên số đường thẳng mới là:

nn (

)(1

)(2

−

1 2 Cn 2

)(2 2

1 8

phần tử. Hãy đếm số các cặp

YX ,

(

Ví dụ 1.29: Cho tập con A có p phần tử của tập E có ) các tập con của E sao cho:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

XEY

=∪

Y ⊃∩

(1.23)

Giải: Ký hiệu .

=∪

) XYX

, YB

⊂

AEB = A { ( { (

XEY Y ⊃∩ }BYXB ; ' ' =∪

Đặt

YXf

(

)

YB ,

)

∩

là một song ánh. Tương ứng

( X ∩a XB \

BYXB

) XYX ' ,' = ; BA →:f YB , ' ' , ⊂

⊂

' ⇔=∪

⊂

Mặt khác .

(

YX ,

)

XYX

YB ,

XB ,

⊂

thoả mãn điều kiện (1.23) cần tìm bằng bản số của tập

}' .

Vậy số các cặp { (

Y ⊂'

'2 y

{ XX "

}' Y ⊂ là

Với mỗi tập có bản số thì bản số của tập ; Số các tập

Y ⊂'

'y pnC −

pn −

có phần tử là . Áp dụng công thức cộng suy ra bản số cần tìm là con

' y C

' y − = pn

pn − ∑ 0' y =

1.5 CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

1.5.1 Luật hợp thành trong

φ≠X

XX ×

Định nghĩa 1.20: Một luật hợp thành trong trên tập là ánh xạ từ vào X .

→×

,( yx

)

Ta thường ký hiệu

yx,

x ∗ của X vì

Luật hợp thành trong kết hợp hai phần tử của X thành một phần tử

vậy luật hợp thành trong còn được gọi là phép toán hai ngôi.

Ví dụ 1.30: Phép cộng và phép nhân là các luật hợp thành trong của các tập số (cid:178), (cid:28), (cid:52), (cid:22),

(cid:5).

Ví dụ 1.31: Phép cộng véc tơ theo quy tắc hình bình hành là phép toán trong của tập

3R các véc tơ tự do trong không gian, nhưng tích vô hướng không phải là phép toán trong vì rr vu

rr ), vu

cos(

r r vu ⋅

=⋅

∉

R 3

Định nghĩa 1.21: Luật hợp thành trong * của tập X được gọi là:

(

)

(

)

∀

, xXzyx ∈

∗

zy ∗

∗

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

1) Có tính kết hợp nếu

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

∀

, xXyx ∈

∗=∗

2) Có tính giao hoán nếu

Xe ∈ nếu

: exXx

∈∀

=∗=∗

3) Có phần tử trung hoà (hay có phần tử đơn vị) là

Xe ∈ . Phần tử

Xx ∈'

được gọi là phần tử đối xứng

' xx

=∗=∗

. của 4) Giả sử * có phần tử trung hoà ' Xx ∈ nếu

Ta dễ dàng thấy rằng phần tử trung hoà có phần tử đối xứng là chính nó.

Các phép hợp thành trong hai ví dụ trên đều có tính kết hợp và giao hoán. Số 0 là phần tử

trung hoà đối với phép cộng và 1 là phần tử trung hoà đối với phép nhân trong. Véc tơ

r 0 là phần x trong (cid:28),

tử trung hoà của phép toán cộng véc tơ trong . Đối với phép cộng thì mọi phần tử

0≠x

x− . Phần tử đối của (cid:52), (cid:22), (cid:5) đều có phần tử đối là 0 x1 , nhưng mọi phần tử khác trong (cid:178) với phép + không có phần tử đối.

ứng với phép nhân trong (cid:52), (cid:22), (cid:5) là

Tính chất 1.4:

1) Phần tử trung hoà nếu tồn tại là duy nhất.

2) Nếu * có tính kết hợp, thì phần tử đối của mỗi phần tử là duy nhất.

a có phần tử đối thì có luật giản ước: 3) Nếu * có tính kết hợp và phần tử ' là xa b =∗ có duy nhất nghiệm

∗= ' ba

xa ya =⇒∗=∗ phần tử đối của

x .

và phương trình với

Chứng minh:

=∗= ' ee

1) Giả sử và là hai phần tử trung hoà thì (dấu "=" thứ nhất có được do

là phần tử trung hoà, còn dấu "=" thứ hai là do là phần tử trung hoà).

'a và

2) Giả sử có hai phần tử đối xứng là , khi đó:

)

ae =∗=

"( aa ∗

a (" ' ∗=∗

aa ∗

aea " " =∗=

Theo thói quen ta thường ký hiệu các luật hợp thành trong có tính giao hoán bởi dấu

""+ , khi đó phần tử trung hoà được ký hiệu là 0 và phần tử đối của x là x− . Nếu ký hiệu luật hợp thành bởi dấu nhân "." thì phần tử trung hoà được ký hiệu 1 và gọi là phần tử đơn vị, phần tử đối của x là

1−x

1.5.2 Nhóm

,*)

Định nghĩa 1.22: Giả sử là tập khác trống với luật hợp thành *, cặp được gọi là

một vị nhóm nếu thoả mãn hai điều kiện sau:

G1: * có tính kết hợp.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

G2: * có phần tử trung hoà . e

,*)

Vị nhóm là một nhóm nếu thoả mãn thêm điều kiện:

G3: Mọi phần tử của đều có phần tử đối.

,*)

Nhóm được gọi là nhóm giao hoán hay nhóm Abel nếu :

G4: * có tính giao hoán.

(

+(cid:28) ),

( +(cid:52) ),

( +(cid:22) , ),

( +(cid:5) , ),

⋅(cid:52) , )*,

⋅(cid:22) (

( 3 +R ),

( * ⋅+(cid:52) ),

Ví dụ 1.32: , , , , , )*,

(

⋅(cid:5) )*,

( * ⋅+(cid:22) ),

, là các nhóm Abel.

Chú ý 1.5: Một nhóm là tập khác rỗng với luật hợp thành * thoả mãn G1, G2, G3,

,*)

. nhưng nếu * đã xác định và không sợ nhầm lẫn thì ta nói tắt nhóm G thay cho nhóm

,*)

( (cid:0)G ,' )

GGf → '

Định nghĩa 1.23: Đồng cấu nhóm từ nhóm vào nhóm là ánh xạ

sao cho

(cid:0)

xfGyx ,

(

)

xf )(

yf )(

∀

∈

∗

. (1.24)

Nếu f đơn ánh (toàn ánh, song ánh) thì f được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu, một

cách tương ứng).

(cid:22)

log

a ≠<

( +(cid:22) . ),

* →+

( * ⋅+(cid:22) ),

lên nhóm là một đẳng cấu nhóm từ nhóm

1.5.3 Vành

có hai luật hợp thành trong ký hiệu bởi dấu cộng

(

được gọi là một vành nếu: và dấu nhân, khi đó Định nghĩa 1.24: Giả sử trên tập φ≠A ⋅+A ), ,

( +A ),

A1: là một nhóm Abel,

A2: Luật nhân có tính kết hợp,

A3: Luật nhân có tính phân phối hai phía đối với luật cộng, nghĩa là:

(

)

∀

, xAzyx ∈

⋅

⋅+⋅=

phân phối bên trái

, Azyx ,

)

∀

∈

z zx ⋅+⋅=⋅

phân phối bên phải

Nếu thoả mãn thêm điều kiện:

(

⋅+A ), ,

là vành giao hoán. A4: Luật nhân có tính giao hoán thì

(

⋅+A , ),

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

là vành có đơn vị. A5: Luật nhân có phần tử đơn vị là 1 thì

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Chú ý 1.6:

1) Tồn tại vành giao hoán nhưng không có đơn vị và ngược lại.

(

⋅+A ), ,

. 2) Ta nói tắt vành A thay cho vành

Định nghĩa 1.25:

0≠x

∈ yAy

, ≠

nếu tồn tại sao cho của A được gọi là ước của

0 (

0=⋅ yx

⋅+A ), ,

( là phần tử trung hoà của luật cộng của vành ). 1) Phần tử 0

2) Vành không có ước của được gọi là vành nguyên.

Ayx ∈,

0=⋅ yx

là vành nguyên khi và chỉ khi mọi sao cho thì Vậy vành

⋅+A ), ( , . 0=y

0=x

hoặc

Ví dụ 1.33:

(

⋅+(cid:28) ), ,

1) là một vành nguyên.

];[ ba

2) Ký hiệu là tập hợp các hàm liên tục trên đoạn . Ta định nghĩa phép cộng

];[ baC ];[ baC

xg )(

)

xf )(

xg (

);

x )(

xgxf )()(

∀

Cgf , ∈

ba ];[

và phép nhân trong xác định như sau:

];[ baC

Ta có thể kiểm chứng được rằng với hai phép toán này thì là một vành giao hoán có

đơn vị và có ước của 0.

][xK

[xK

⋅+,

( thuộc vào vành số

3) là một vành nguyên, trong đó là tập các đa thức của biến x có hệ số

) =K

. (cid:5)(cid:22)(cid:52)(cid:28) ,

mod(cid:28)(cid:28) =

4) Tập các số đồng dư môđulô n .

(mod

)

(mod

)

x ≡

y ≡

, thì

(mod

yx '

)

xy ≡

và . Vì vậy ta có thể định nghĩa phép cộng và phép

bởi: nhân trong Ta có thể chứng minh được rằng nếu ' y yx ' (mod +≡+ n(cid:28)

+=+

⋅=⋅

và (1.25)

5 (mod

(mod

4)7 +

Chẳng hạn

5 (mod

(mod

4)7 ⋅

1 (mod −=

(

⋅+n(cid:28) ), ,

là một vành giao hoán có đơn vị. Với hai phép toán này

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1.5.4 Trường

(

⋅+K ), ,

Định nghĩa 1.26: Vành giao hoán có đơn vị được gọi là một trường nếu mọi phần

0≠x

tử của K đều khả nghịch (có phần tử đối của luật nhân). Nghĩa là:

( +K ),

là nhóm Abel, K1:

(

* K

}0{\

⋅K )*,

K =

K2: là nhóm Abel, ,

K3: Luật nhân phân phối đối với luật cộng.

(

⋅+(cid:28) là ),

Rõ ràng rằng mọi trường là vành nguyên, nhưng điều ngược lại không đúng.

một ví dụ về vành giao hoán nguyên có đơn vị nhưng không phải là trường.

(

⋅+(cid:52) ), ,

⋅+(cid:22) , (

⋅+(cid:5) ), ,

Ví dụ 1.34: , là trường. , ),

(

⋅+n(cid:28) ), ,

Ví dụ 1.35: là trường khi và chỉ khi là số nguyên tố.

Giải:

(mod

)

(

1),

m ≠

=nm

m (cid:28)∈

Giả sử là số nguyên tố và , thì do đó tồn tại hai

n vu,

(mod

)

⋅⇒

+ vn

(Định lý Bezout) sao cho . Vậy u là phần

số nguyên tử nghịch đảo của m .

nm <

(cid:28)∈m

(cid:28)∈'m

n(cid:28)

(

mm ⋅

1' ⇒=

kn 1' ⇒+=

1), =

Ngược lại, nếu là trường thì với mọi ( ) tồn tại sao cho:

Vậy là số nguyên tố.

1.6 ĐẠI SỐ BOOLE

Lý thuyết đại số Boole được George Boole (1815 - 1864) giới thiệu vào năm 1854 trong bài báo "Các quy luật của tư duy", trong đó kỹ thuật đại số được dùng để phân tích các quy luật của lôgích và các phương pháp suy diễn. Sau đó đại số Boole được áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học như đại số, giải tích, xác suất... Vào khoảng năm 1938, Claude Shannon (Clau Sê-nôn) ( một kỹ sư viễn thông người Mỹ) là người đầu tiên đã áp dụng đại số Boole vào lĩnh vực máy tính điện tử và lý thuyết mạng.

(

)',

1.6.1 Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đại số Boole

∧∨B , ,

là một tập khác trống B với hai phép toán

, ∧∨ :

hai ngôi Định nghĩa 1.27: Một đại số Boole BB →×

B →:'

thoả mãn các tiên đề sau: và phép toán một ngôi

∈, Bcba

∧∨,

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

• B1: có tính kết hợp, nghĩa là với mọi

)

(

)

, ac

)

(

)

∨

( cb ∨

ba ∨

∨

∧

( cb ∧

ba ∧

∧

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Bba ∈,

∧∨,

baa

• B2: có tính giao hoán, nghĩa là với mọi

∨=∨

∧=∧

B∈1,0

10 ≠

, aa

a Ba ∈

0 =∨

1 =∧

• B3: Tồn tại các phần tử không và phần tử đơn vị sao cho và với mọi

là phần tử đối theo nghĩa là:

Ba ∈ thì ,1'

Ba ∈' 0'

=∨

=∧

• B4: Với mọi aa

∨

∧ và luật ∧ phân phối đối với luật

∨

phân phối đối với luật , nghĩa là với

mọi • B5: Luật , ∈, Bcba

(

)

(

)

b (

)

(

)

(

)

∨

∧

∨

∧

∨

∧

∨

∧

φ≠X

(

X . Các luật hợp thành ) X và phép toán một ngôi ' là phép lấy phần bù của là đại số Boole với phần tử không là φ và phần tử

), a c ( XP là phép hợp, phép giao các tập con của )',

∩∪XP , ),

∧∨, tập con trong X . Khi đó ( đơn vị là chính tập X .

Ví dụ 1.36: Giả sử , xét là tập các tập con của

{ }1;0

2 =B

Ví dụ 1.37: Xét tập gồm hai số 0 và 1. Ta định nghĩa:

max( ba ),

min( ba

=∨

=∧

−= 1'

, , ),

)',

∧∨B , ( 2

thì là một đại số Boole.

;1;0

; ba

{

}

B 4 =

10∧ ba 00000 1

10∨ ba 10 0 ba 1 1111

' 10 01

ba 0

aa 0

a 11

Ví dụ 1.38: Xét , ta định nghĩa các phép toán

)',

∧∨B , ( 4

thì là đại số Boole.

(

)',

∧∨B , ,

được gọi là đối ngẫu

,1,0,

0,1,

,∨∧

nếu trong một công thức ta thay bằng thì ta được công thức hai. Định nghĩa 1.28: Hai công thức Boole trong đại số Boole ,∧∨

∧ y

( ∨

∨ y

( ∧

và là đối ngẫu. Ví dụ 1.39: Hai công thức

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Trong mỗi tiên đề của hệ tiên đề B1-B5 của đại số Boole đều chứa từng cặp công thức đối

ngẫu nhau, vì vậy ta có nguyên lý đối ngẫu sau:

Nguyên lý đối ngẫu: Nếu một công thức của đại số Boole được chứng minh là đúng dựa

trên cơ sở hệ tiên đề B1-B5 thì công thức đối ngẫu của chúng cũng đúng.

11 =∨a

Chẳng hạn, ta sẽ chứng minh , do đó theo nguyên lý đối ngẫu ta cũng có

0 =∧a

. 0

(

)',

1,0

∧∨B , ,

là đại số Boole với phần tử không và đơn vị là thì Tính chất 1.7: Giả sử

Bba ∈,

với mọi ta có:

a =∨

a =∧

1) , ;

1'0 =

0'1 =

2) , ;

11 =∨a

0 =∧a

3) , ;

(

)

(

)

∨

ba ∧

∧

ba ∨

; (tính hấp thu) 4) , a

Bc ∈ sao cho

∨=∨

∧=∧

a =

5) Nếu tồn tại và thì ; b

1=∨ ba

0=∧ ba

b = ; (tính duy nhất của phần bù)

6) Nếu và thì

(

ba ∨

' ba ∧=

ba ∧

' ba ∨=

và . (công thức De Morgan) 7)

Chứng minh:

Theo nguyên lý đối ngẫu ta chỉ cần chứng minh các đẳng thức thứ nhất từ 1)-7).

0∨= a

1) theo B3

(

a ∨=

∧

theo B4

(

)

(

∨

∧

∨

theo B5

(

∨

1) ∧

theo B4

a ∨=

theo B3

0'0'0 ∨=

2) theo B3

theo B2,B4

(

∨=∨

∨

3) theo B4

(

)

∨

theo B1

a ∨=

theo 1)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

theo B4

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

(

)

(

)

∨

ba ∧

)1 ∨∧

ba ∧

theo B3 4)

)

∨∧=

theo B5

1∧= a

theo 1)

theo B3

(

)

a ∨=

∧

5) theo 4)

)

a ∨=

cb ( ∧

∧=∧

vì

(

)

(

)

ba ∨

∧

∨

theo B5

(

)

ba ∨

( cb ∨∧

∨=∨

vì

(

)

b ∨=

∧

theo B5

)

b ∨=

cb ( ∧

∧=∧

vì

theo 4)

' . a

1 ∨==∨

0 ∧==∧

b =

và , theo 5) suy ra 6) Vì

(

)

(

)

ba ∨

∨

ba '( ∧

1)' =

ba ∨

∧

ba '( ∧

và , áp dụng 6) 7) Ta dễ dàng kiểm chứng

suy ra điều phải chứng minh.

Áp dụng các tính chất này cùng với hệ tiên đề B1-B5 ta có thể đơn giản hoá các công thức

Boole bất kỳ.

(

)

(

x '(

)

∧

∨

∧

∨

Ví dụ 1.40: Đơn giản hoá công thức Boole .

Giải:

(

)

(

∧

∨

∧

x ∧=

∨

=∧=

(

)

(

x '(

)

⇒

∧

∨

∧

∨

x '(

)

(

x ∨=

∨

1 =∨=∨

Ta có .

(

∧

∨

[ x ∧∨

] )'

Ví dụ 1.41: Đơn giản hoá công thức Boole .

Giải:

(

∧

∨

] )'

(

∧

∨

∧

∨

∧

∨

[ x ∧∨ [ (

]

(

)

z '(

∧

∨

∧

z =∨

∧

∨

∧

∨

[ (

])

Ta có

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

(

∧

∨

[ (

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

(

)

∧

∨

∧

z ∨=∨∨

]1) ∧ [ (

]

(

)

(

x '(

)

∨∧∧

y ∧∧

∨

y ∧∧

Ví dụ 1.42: Đơn giản công thức

)

(

)

y ∧∧

∨

y ∧∧

∨

)

(

x '(

∨

y ∧∧

∨

y ∧∧

∨

y ∧∧

)' ]

'( x [ (

])

)

(

)

(

∧

∨

∧

∨

( [ ( [ (

y ∧∧ [ ] (

) z ])'

Giải: Ta có

(

)

(

)

(

)

∧

∨

∧

y ∧=

∨

1.6.2 Ứng dụng đại số Boole vào mạng chuyển mạch (switching networks)

Ta chỉ xét các mạng gồm các chuyển mạch có hai trạng thái đóng (dòng điện đi qua được) và mở (dòng điện không qua được). Hai mạng đơn giản nhất là mạng song song cơ bản (basic parallel network) và mạng nối tiếp cơ bản (basic series network) được mô tả trong hình vẽ sau:

• • • •

mạng song song cơ bản (hình 1) mạng nối tiếp cơ bản (hình 2)

Một mạng bất kỳ có thể nhận được bằng cách ghép nối tiếp hay song song các mạng cơ bản

này.

,...

'x .

Ta ký hiệu các chuyển mạch bởi các chữ

. Nếu x ở trạng thái mở ta x cho nhận zyx , , giá trị 0 và ở trạng thái đóng ta cho x nhận giá trị 1. Trong một mạng nếu hai chuyển mạch luôn cùng trạng thái thì ta ký hiệu cùng một chữ. Hai chuyển mạch có trạng thái luôn ngược nhau, nếu một chuyển mạch được ký hiệu là x thì chuyển mạch kia được ký hiệu là

yx,

Mạng song song (hình 1) nhận giá trị 1 khi có ít nhất một trong hai chuyển mạch

,' xx

x ∧ . Như vậy

∨ ,

∧

có thể được xem như các biến nhận giá trị 1, ta ký hiệu nhận x ∨ . Còn mạng nối tiếp (hình 2) nhận giá trị 1 khi cả hai chuyển mạch xy

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

giá trị 1, ta ký hiệu yx, nhận giá trị trong đại số Boole B2 (ví dụ 1.37). Bằng phương pháp này ta có thể mô tả một mạng bất kỳ bởi một công thức Boole và ngược lại. Chẳng hạn mạng sau đây:

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

• •

(

)

(

∨

∧

. tương ứng với công thức

(

)

(

)

y '(

)

∧

∨

∧

∨

∧

Còn công thức Boole mô tả mạng:

(

x ∨

x ∧ và ' ' y

x ∧

bởi bởi

Chú ý rằng trong các công thức cần xét ta thay x ∨ . ' ' y

Hai mạng N1 và N2 được gọi là tương đương nếu nó thực hiện cùng một chức năng, nghĩa là với bất kỳ cách chọn các trạng thái đóng mở ở mọi vị trí chuyển mạch trong mạng thì trạng thái đầu vào và đầu ra của N1 và N2 đều như nhau.

Ta có thể áp dụng đại số Boole để giải quyết hai vấn đề sau:

1.6.3 Với một mạng cho trước tìm mạng tương đương đơn giản hơn

z • •

x w

Ví dụ 1.43: Tìm mạng tương đương đơn giản hơn của mạng sau

)

∨

∧

∨

wx ) ∧

∨

∧

)

]

[ ( (

. Công thức Boole tương ứng: [ (

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

Ta có (luật hấp thu), do đó công thức trên có thể biến đổi thành

)

) wz

∨

∧

∨∨

∧

[ (

( ]

wwwx =∨ ] ( x ∨ =

∧ ) [ yw ∧

Vậy ta có mạng tương đương đơn giản hơn

• •

Ví dụ 1.43: Tìm mạng tương đương đơn giản hơn của mạng sau:

• •

)

(

)

(

)

∨

∧

∨

∧

∨

∧

∨

(

[ (

] )

Công thức Boole tương ứng: .

)

(

)

(

∧

∨

∧

∨

∧

∨

(

∧ ] )

[ (

)

(

∧

∨

∧

∨

∧

( (

( ] )

∨ [ z ∨∧

) y ])

(

)

(

∧

)

[ ( [ (

∧ ]

x ( ])

(

)

(

∧

∧ [ ∨∧=

( ∨ ]

z )' [ z ∨∧ [ x ∧∨

])

(

)

(

)

z ) ∨∧

∧

∨∧=

Ta có

Vậy ta có mạng tương đương đơn giản hơn

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

• •

Chương 1: Mở đầu về lôgíc mệnh đề, tập hợp ánh xạ và các cấu trúc đại số

1.6.4 Thiết kế một mạng thoả mãn các điều kiện cho trước

Ví dụ 1.45: Thiết kế một mạng điện cho một bóng đèn ở cầu thang mà có thể bật tắt ở cả hai

đầu cầu thang.

Giải:

là hai công tắc ở hai đầu cầu thang. Theo yêu cầu đặt ra ta cần thiết kế một Gọi x và

yx,

mạng điện sao cho khi thay đổi trạng thái của một trong hai vị trí thì trạng thái của đầu ra

(bóng đèn) phải thay đổi.

(ví dụ 1.37). Ta biết rằng mệnh đề

Ta biết rằng, mỗi mệnh đề logic cũng nhận hai giá trị, vì vậy ta có thể xem mệnh đề như x ⇔ chứa hai mệnh đề y thay đổi giá trị. Mặc dù một biến nhận giá trị trong yx,

)

(

⇒∧⇒

x ⇔ hay y

mệnh đề và mệnh đề này thay đổi giá trị khi một trong hai mệnh đề x hay y (

) không phải là công thức Boole nhưng nó có công x '(

)

) y ∧∨

∨

thức tương đương dưới dạng công thức Boole . Ta có:

)

x '(

(

)

x '(

y '(

y '('

)

y '(

∧

∨

∧

) y ∧∨

∨

∧

'( y ]

[ x ∨∧=∨

]

[

Vậy mạng cần tìm là

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 2: Không gian Véc tơ

2. CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.1 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ

2.1.1 Định nghĩa và các ví dụ

Định nghĩa 2.1: Giả sử V là tập khác φ, K là một trường. V được gọi là không gian véc

tơ trên trường K nếu có hai phép toán:

V vu +

VV →× a),( vu

⋅

- Phép toán trong

V u α

VK →× u ( α a) ,

- Phép toán ngoài

∈, Vwvu

K∈βα,

và thoả mãn các tiên đề sau với mọi

)

(

uwvu ( +

wv ) +

V1)

V2) Có sao cho

0

V∈0

0 =+=+

)

(

Vu ∈ có

Vu ∈−

( u −+

V3) Với mỗi sao cho

) 0=+−=

+=+

V4)

( u βαβα =

+ ) u

V5)

( vu + ) α

v + αα

V6)

)

) u ( αβ =

( u βα

V7)

K .

u =1

V8) , trong đó 1 là phần tử đơn vị của

(cid:22)=K

Khi thì V được gọi là không gian véc tơ thực.

(cid:5)=K

Khi thì V thì được gọi là không gian véc tơ phức.

Các phần tử của V được gọi là các véc tơ, các phần tử của K được gọi là các phần tử

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

vô hướng.

Chương 2: Không gian Véc tơ

( +V ),

là nhóm Abel. Tiên đề V5),V6) nói rằng phép nhân số vô Bốn tiên đề đầu chứng tỏ

hướng với véc tơ phân phối đối với phép cộng của số vô hướng và phép cộng véc tơ. Tiên đề V7) là tính kết hợp của tích các số vô hướng với phép nhân với véc tơ.

Ví dụ 2.1: Tập các véc tơ tự do trong không gian (trong đó ta đồng nhất các véc tơ

tương đẳng: các véc tơ cùng phương, cùng hướng, cùng độ dài). Xét phép cộng hai véc tơ theo

quy tắc hình bình hành và tích một số thực với một véc tơ theo nghĩa thông thường thì là

không gian véc tơ thực.

,...,

)

{

( 1 x

iKx , ∈ i

Ví dụ 2.2: Giả sử K là một trường, xét

(

,...,

)

(

,...,

}n y )

(

,...,

)

x 1

y 1

x 1

y 1

Ta định nghĩa:

,...,

)

K∈∀α

( α

,..., x ( αα

x 1

Dễ dàng kiểm chứng lại hai phép toán này thoả mãn 8 tiên đề của không gian véc tơ có véc

)0,...,0(=0 321 n phÇn tö

tơ không là .

(cid:22)=K

Khi ta có không gian véc tơ thực .

n(cid:22) n(cid:5)

(cid:5)=K

ta có không gian véc tơ phức .

] (cid:22)⊂ba,

[ ba ]C ,

Ví dụ 2.3: Gọi . Ta định nghĩa phép là tập các hàm liên tục trên đoạn [

(

tg )(

)

]ba [ ,∈∀

toán cộng và nhân với số thực như sau:

f +

(cid:22)∈∀α .

)( t ( )( t f α = α , ]baCgf , ∈ ∀ ,

[

Rõ ràng , ,

)( t )( tg + , ]baCf ∈α [ , [ ba ]C ,

có cấu trúc không gian véc tơ thực với véc tơ không là

0

)( t

∈∀=

Với hai phép toán này ]ba [ ,

Ví dụ 2.4: Gọi là tập các đa thức bậc là số nguyên dương cho trước:

;

,...,

... ++

P n

ta 1

ta n

aa , 0 1

{

n≤ , }(cid:22)∈

Ta định nghĩa phép cộng hai đa thức và phép nhân một số với một đa thức như phép cộng

hàm số và phép nhân một số với hàm số trong Ví dụ 2.3 thì là không gian véc tơ với véc tơ

không là đa thức .

0

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 2: Không gian Véc tơ

(cid:28)

;

,...,

(cid:22) ,

... ++

∈

P n

ta 1

ta n

aa , 0 1

Ví dụ 2.5: Gọi P là tập các đa thức

{

}+

U (cid:28) n ∈

Ta định nghĩa phép cộng là phép cộng hai đa thức và phép nhân với một số với đa thức theo

Pn ⊂

+∈ (cid:28)n

với mọi . nghĩa thông thường ở Ví dụ 2.4 thì P là không gian véc tơ và

2.1.2 Tính chất

( +V ),

Vu ∈ .

1) Vì là duy nhất với mọi là một nhóm Abel nên véc tơ 0 và véc tơ đối u− của

wu =⇒+=+

2) Có luật giản ước: .

Vu ∈ ,

− )1(

u −= u

3) Với mọi . , 0=u0

4) Với mọi .

0

K∈α ,

0 =α

. 5) Nếu

0=uα thì

0=α hoặc

0=u

Chứng minh:

1) 2) Xem Tính chất 1.4.

0 u

Vu ∈ ,

)00( u +

)00( +

. Mặt khác . 3) Với mọi

0+

Theo luật giản ước ta có . 0=u0

)

0 u

)11( u

1 u

)1( u

Vu ∈ ,

( −+

. Tương tự với mọi

0 ==

−=

−+

− )1(

u −= u

Suy ra .

0 0 α ,

K∈∀= α

ααα

)00( +

0 0 + αα

4) . ⇒

5) Nếu

0=uα và giả sử

0≠α ⇒

∃ −1α

K∈

1 −

(

1 u

1 − α0 =

) ) u αααα =

Từ định nghĩa của không gian véc tơ ta có thể mở rộng các khái niệm sau:

(

)

u −+=−

1) Ta định nghĩa , khi đó

vwu

=⇔=+

−

2) Do tính kết hợp của phép cộng nên ta có thể định nghĩa theo qui nạp:

)

... ++

u 1

u ( 1

1 −

n ∑ u k 1 =

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 2: Không gian Véc tơ

)

... ++

( α

... ++

u kk

u 11

u nn

u 11

α n

u nn

u 1 −

1 −

n ∑ α k 1 =

Tương tự

u ,..., 1

biểu thức này được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ . nu

Từ đây trở đi ta chỉ hạn chế xét các không gian véc tơ thực.

2.2 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON

2.2.1 Định nghĩa và ví dụ

,.)

,( +V

φ≠W

Định nghĩa 2.2: Giả sử là không gian véc tơ. Tập con

của V sao cho hai phép toán từ V thu hẹp vào W trở thành không gian véc tơ (thoả mãn các tiên đề V1-V8) thì W được gọi là không gian véc tơ con của V (hay nói tắt: không gian con của V ).

Định lý sau đây chỉ ra rằng nếu 2 phép toán trong V có thể thu hẹp được vào W thì các

tiên đề V1-V8 luôn thoả mãn, do đó W là không gian véc tơ con của V .

Định lý 2.2: Giả sử W là tập con khác rỗng của V . Ba mệnh đề sau đây tương đương:

(i) W không gian véc tơ con của V .

Wvu ∈,

Wvu ∈+

(cid:22)∈α thì

Wu ∈α ,

(ii) Với mọi , với mọi

Wvu ∈,

∈+ βα

(cid:22)∈βα,

(iii) Với mọi , với mọi thì .

Chứng minh: (i) ⇒ (ii): Hiển nhiên theo định nghĩa.

Wvu ∈,

Wu ∈α

Wv ∈β

(cid:22)∈βα,

thì , , với mọi ⇒ (ii) ⇒ (iii): Với mọi

∈+ βα

Wvu ∈∀ ,

1 u

1 Wv ∈+

0αα ,

∈+

(cid:22)∈∀α :

, . (iii) ⇒ (i):

φ≠W

⇒ Vậy phép cộng và phép nhân với số thực thu hẹp được từ V vào W . Hơn nữa

0 u

0 Wu ∈+

Wu ∈ ,

u =−

Wu ∈∃ )1( ∈−+ đề V3), các tiên đề còn lại hiển nhiên đúng. Vậy W là không gian véc tơ con của V .

( tiên đề V2), với mọi (tiên ⇒

{ }0

chỉ gồm véc tơ không và chính Ví dụ 2.6: Từ định lý trên ta thấy rằng mọi không gian véc tơ con của V đều phải chứa véc V cũng là các không gian véc tơ

tơ 0 của V . Hơn nữa tập con của V .

(

)0,

3(cid:22)

} (cid:22)(cid:22) ⊂∈

xx , 1

là không gian con của . Ví dụ 2.7: Tập { x

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 2: Không gian Véc tơ

}0)( af =

]baC , [

]

Ví dụ 2.8: Tập ,

{ f ∈=

{ C f ∈= [ ba , }1)( af =

C ] [ , ba 0 C [ ba ,

]

C [ ] ba , 1

. không là không gian con của nhưng tập là không gian con của ]baC , [

mn ≤ , trong đó

là không gian con của nếu là không gian các đa

. thức bậc Ví dụ 2.9: n≤

2.2.2 Không gian con sinh bởi một họ véc tơ

)

iiW ∈ là họ các không gian con của V thì

I i I ∈

cũng là không gian Định lý 2.3: Nếu (

V .

con của

Chứng minh: Áp dụng Định lý 2.2. ta dễ dàng suy ra điều cần chứng minh.

Từ Định lý 2.3 suy ra rằng với mọi tập con S bất kỳ của V luôn tồn tại không gian con

V chứa S . W chính là giao của tất cả các không gian con của V chứa S .

bé nhất của

hiệu , và S được gọi là hệ sinh của W . Định nghĩa 2.4: Không gian W bé nhất chứa S được gọi là không gian sinh bởi hệ S , ký W span S =

W span S =

Định lý 2.4: bằng tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của S .

S . Ta chứng minh

'W là

là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của

Chứng minh: Gọi không gian con bé nhất chứa S .

1 Wu

u ∈ thì S

∈=

'WS ⊂ .

vậy (i) Với mọi

uWvWu

∈

... ++

Wv ∈

u 11

vu , nn

v 11

(ii)

,...,

∈

u 1

vu , 1 n

với . S

u v γαδγ

... ++

γα

δβ

... ++

δβ

∈

u 11

u nn

v 11

v mm

Do đó

Vậy

V chứa S . S nên

u 11

. Vì chứa Với mọi là không gian con của u , 'Wu ∈

,...,

' WW ⊂

... ++

u 1

Wu n ∈

. Do đó . Nói cách khác là ⇒

span

u 11 V chứa S . Vậy

"W V chứa S . Giả sử là không gian con của u ... α ,..., u , 1 u ∈ nn " Wu nn ∈ ' WW =

không gian con nhỏ nhất của .

2.2.3 Tổng của một họ không gian véc tơ con

V . Sử dụng định lý 2.2 ta chứng minh được tập

...

,...,1

là n không gian con của Giả sử

nWW ,..., 1 iWuV , u ∈++ ∈

u 1

{ không gian véc tơ con này là tổng của các không gian con

cũng là một không gian véc tơ con của V . Ta gọi

++ ...

nWW ,...,

W 1

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

và ký hiệu .

Chương 2: Không gian Véc tơ

...

,...,1

=⇔+

iWu ; ∈

Wu ∈ 1

W n

u 1

. (2.1) Vậy

Tuy nhiên, nói chung cách viết trên không duy nhất .

span

... ++

... ∪∪

W 1

( W 1

Ta có thể chứng minh được (2.2)

Một cách tổng quát ta định nghĩa tổng của một họ các không gian véc tơ con như sau.

V . Không gian con sinh bởi

( ) iiW ∈ I

Định nghĩa 2.5: Nếu là họ các không gian con của

iW .

∑ i ∈I

U i I ∈

được gọi là tổng của các không gian , ký hiệu

(

)

W i

∑ = W i

∈

span UI

∈

Vậy . Theo định lý 2.4 ta có

jI ,

,...,1

kk ;

,2,1

... ++

∈

. (2.3)

{

}...

iW , i j

i 1

=∑ i i I ∈

... ++

Wu ∈ 1

Định nghĩa 2.6: Nếu mọi được viết một cách duy nhất dưới dạng

,...,1

... ++

u 1

iWuu , ∈ i

thì tổng các không gian con này được gọi là tổng trực

i ⊕⊕ ...

W 1

n . nW

tiếp. Lúc đó ta ký hiệu

1,WW 2

Định lý 2.5: Giả sử là hai không gian con của

V , khi đó tổng hai không gian con { }0

1 WW ⊕

1 WW ∩

này là tổng trực tiếp khi và chỉ khi .

Chứng minh:

thì Do cách viết (⇒): Giả sử

0

v ⊕∈+=+=

1 WW

duy nhất suy ra .

0=v

1 WWv 1 WW ⊕ , ∩∈ 2 2 { }0= 1 WW ∩ 2 . Vậy

u 1

v 1

WWv ∈+ 2 1 2

thì (⇐): Giả sử

−

{ }0=

u 1

v 1

WWu ∩∈ 1

u 1

uv , 1

. ⇒

1 WW ⊕ 2

. Vậy tổng của hai không gian con là tổng trực tiếp

2.3 ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH

Ta xét các hệ véc tơ có tính chất là nếu một véc tơ bất kỳ biểu diễn được thành tổ hợp tuyến

tính của hệ này thì cách viết đó là duy nhất.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 2: Không gian Véc tơ

,...,

}nu

{ u 1= Hệ S được gọi là độc lập tuyến tính nếu từ:

Định nghĩa 2.7: Cho hệ n véc tơ của V (các véc tơ này có thể trùng nhau).

thì .

0

...

... ++

(cid:22)∈

u 11

nnu

, ,..., αα n

α 1

nα

,...,

{ u 1=

} không đồng thời bằng 0 sao cho

Hệ không độc lập tuyến tính được gọi là phụ thuộc tuyến tính.

... ++

0=

u 11

Vậy hệ (cid:22)∈nαα ,..., phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ta có thể tìm được nnu

)1,0(

(cid:22)∈

Ví dụ 2.10: Hệ trong đó là độc lập, vì nếu

} 2 )0,0(

),0,1( 0 =

αα

{ 1, ee ( , ) αα = 1 2

e = 1 =αα 2

e 11

e 22

thì .

là hệ phụ thuộc tuyến tính.

0

là hệ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi chúng tỷ lệ, nghĩa là

hay Ví dụ 2.11: • Hệ chứa véc tơ • Hệ hai véc tơ { 1,uu u α= u u α= u . 1 1

hai véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi cùng phương. • Trong

ba véc tơ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi đồng phẳng. • Trong

Tính chất 2.6:

1) Hệ véc tơ chứa hệ con phụ thuộc tuyến tính là hệ phụ thuộc tuyến tính. Vì vậy, mọi hệ

con của hệ độc lập tuyến tính là hệ độc lập tuyến tính.

2) Một hệ véc tơ là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có một véc tơ là tổ hợp tuyến tính

,...,

}

}uv n ,

phụ thuộc tuyến 3) Giả sử hệ độc lập tuyến tính. Khi đó hệ của các véc tơ còn lại. { v ,..., 1

{ v 1 }nv v ,..., 1

, khi đó ta có thể biểu diễn

...

nv tính khi và chỉ khi u là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ { nnv β duy nhất

v +1 β 1

Chứng minh: Ta chứng minh 3).

,...,

không phụ thuộc khi đó tồn tại các số (⇒): Giả sử (⇐): suy từ 2). { v 1

n , uv β

... ++

u α

β n

'1 β , vì hệ { v ,..., 1

(cid:22)∈αβ ,' n }nv

đồng thời bằng 0 sao cho độc lập nên

0≠α , ⇒

−=

... −−

v 1

β 1 α

} ' 11 v β n v α

... ++

v 11

nnv

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Hơn nữa giả sử thì

Chương 2: Không gian Véc tơ

0

)

...

uu =−=

... ++

( β 1

v 1

β +⇒ 1

( β n

β n

' β 1 α

β n α

' β 1 α

β n α

,...,

−=

β 1

n −=

β n α

'1 β α

Do đó . Vậy cách viết trên là duy nhất.

2.4 HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ

2.4.1 Hệ con độc lập tuyến tính tối đại

v ,..., 1

} của hệ S được gọi là độc lập tuyến tính tối đại của S nếu nó là hệ độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ véc tơ nào của S thì ta có hệ phụ thuộc tuyến tính.

Định nghĩa 2.8: Cho hệ S các véc tơ của không gian véc tơ V . Hệ con {

V nếu hệ {

v ,..., 1

}nv

v ,..., 1

}nv

độc lập Nói riêng hệ {

và nếu thêm bất kỳ véc tơ khác của là hệ độc lập tuyến tính tối đại của V ta có hệ mới là phụ thuộc.

Tính chất 2.7:

'S là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S thì mọi véc tơ của S là tổ hợp 'S và cách biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính là duy nhất (điều này suy

1) Nếu

v ,..., 1

}nv

là hệ con độc lập tuyến tính của một hệ hữu hạn tuyến tính các véc tơ của từ tính chất 2.6 - 3)). 2) Giả sử {

v ,..., 1

. bổ sung thêm để được một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của S chứa {

}nv

1+nv

không tối đại thì tồn tại một véc tơ của

S . Khi đó ta có thể }nv S , ta ký hiệu , sao S hữu hạn nên quá trình

v ,..., 1 }1

độc lập tuyến tính. Lập luận tương tự và vì hệ Thật vậy, nếu { v n v ,..., ,

,...,

+ ,..., 1

}kn +

độc lập tuyến

cho hệ { v 1 bổ sung thêm này sẽ dừng lại, cuối cùng ta được hệ { v 1 tính tối đại của S .

2.4.2 Hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ

n ≤ . k

Bổ đề 2.8 (Định lý thế Steinitz (Xtêi-nít)): Nếu hệ S độc lập tuyến tính có n véc tơ và mỗi

,...,

{ u 1=

}nv ,

}ku

Chứng minh: Giả sử . Ta sẽ chứng minh rằng có thể

, ,... mà mỗi véc tơ véc tơ của S là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của hệ R có k véc tơ thì { v 1= thay dần các véc tơ của hệ R bằng các véc tơ của hệ S để có các hệ

S vẫn còn là tổ hợp tuyến tính của

, ,.... của hệ

... ++

v 1

u 11

1 ≠v

Thật vậy, ta có ,

kku 0

−

... −−

u 1

v 1

1 α 1

α 2 α 1

α k u α 1

không đồng thời bằng 0, ta giả sử (vì S độc lập) nên (cid:22)∈kαα ,..., α 1 ≠α (có thể đánh lại số thứ tự của R ), suy ra

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 2: Không gian Véc tơ

Xét hệ

. Rõ ràng mọi véc tơ của S vẫn còn là tổ hợp tuyến tính các

,...,

{ uv , 2 1

}ku

véc tơ của

R 1 = . 1R

Tương tự ta có

độc lập nên

...

, vì {

v 11

kk u

1, vv

(cid:22)∈kββ ,...,

không đồng thời bằng 0, ta giả sử

u β + 22 0 2 ≠β

Khi đó

−

... −−

v 1

β 1 β 2

β 3 β 2

β k u β 2

1 β 2

Xét hệ

, mọi véc tơ của

S cũng là tổ hợp tuyến tính các véc tơ

,...,

}

R 2 =

{ uvv 1 2

của

. 2R

Nếu

k các véc tơ của hệ

n > , tiếp tục quá trình này cuối cùng ta được mọi véc tơ của S là tổ hợp tuyến tính , là hệ con của S . Điều này mâu thuẫn với giả thiết hệ

,...,

}

R k

{ , 2 vv 1 n ≤ . k S độc lập tuyến tính. Vậy

Định lý 2.9: Mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ hữu hạn S các véc tơ của V đều

có số phần tử bằng nhau.

là hai hệ con độc lập tuyến tính tối

,...,

Chứng minh: Giả sử {

và { v

v ,..., i 1

}ki

}nj

j 1 đại của hệ S . Từ tính tối đại của mỗi hệ, suy ra rằng mọi véc tơ của hệ này là tổ hợp tuyến tính các véc tơ của hệ kia. Do đó

k ≤ , vậy n

n ≤ và k

n = . k

Định nghĩa 2.9: Số các véc tơ của một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ S được gọi

là hạng (rank) của S , ký hiệu

)(Sr

Qui ước hệ chỉ có véc tơ 0 có hạng là

. 0

Định nghĩa 2.10:

1) Nếu không gian véc tơ V có một hệ sinh hữu hạn thì V được gọi là không gian hữu hạn sinh.

2) Mỗi hệ sinh độc lập tuyến tính của V được gọi là một cơ sở của V .

Giáo trình này chỉ hạn chế xét các không gian hữu hạn sinh.

Giả sử

là hệ sinh của

V thì với mọi

,...,

Vu ∈

}

{ v 1=

... ++

vx 11

nnvx

x ,..., 1

(cid:22)∈nx

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

2.5 CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ

Chương 2: Không gian Véc tơ

Định lý 2.10: Giả sử

V . Các mệnh đề sau là

{

} là một hệ các véc tơ của

e ,..., 1

là một cơ sở của

V .

tương đương: (i) Hệ {

e ,..., 1

là hệ độc lập tuyến tính tối đại của

V .

(ii) Hệ {

e ,..., 1

}ne }ne

(iii) Mọi véc tơ

Vu ∈ tồn tại một cách viết duy nhất:

(2.4)

...

ex 11

nnex

x ,..., 1

(cid:22)∈nx

Chứng minh: (i)⇒(ii): Hiển nhiên từ định nghĩa của cơ sở.

là hệ sinh. Ngoài ra nếu

, mặt khác

... ++

0=

e ,..., 1

nnex

}ne . Do cách viết duy nhất suy ra

...

... ++

(ii)⇒(iii): Suy từ tính chất 3.2 - 3). (iii)⇒(i): Rõ ràng { 0 1 0 e

ex 11 nx =

x 1

trong (2.4) được gọi là toạ độ của véc tơ u trong cơ sở

,...,

)

x ( 1

{

Định nghĩa 2.11: }ne .

e ,..., 1

e ,...,

Ta ký hiệu toạ độ của véc tơ u trong cơ sở

}ne

1=B {

là [ ] Bu

Vậy nếu

thỏa mãn (2.4) thì

(2.5)

,...,

)

[ ] u

x ( 1

là hệ độc lập tuyến tính

là

}kv ,..., v

+ ,..., 1

}mk +

Định lý 2.11: Giả sử V là không gian hữu hạn sinh và { v ,..., 1 các véc tơ của V . Khi đó có thể bổ sung thêm để có được hệ { v 1 một cơ sở của V .

Chứng minh: Giả sử V có một hệ sinh có n véc tơ. Nếu

,...,

{ v 1=

, sao cho hệ

không phải là cơ 1+kv

độc lập tuyến tính. Tiếp tục quá trình này cuối cùng ta có hệ

,...,

độc lập tuyến tính và là hệ sinh,

(theo Bổ đề 2.8). Vậy

nmk

k v , , v

,...,

≤

là một cơ sở cần tìm.

,...,

}kv sở thì S không phải là hệ sinh, theo tính chất 2.6-3) tồn tại véc tơ, ta ký hiệu { v 1 { v 1 { v 1

+ } 1 + ,..., 1 + ,..., 1

} k m + }mk +

Hệ quả 2.12: Mọi không gian hữu hạn sinh đều tồn tại cơ sở.

Định lý 2.13: Số phần tử của mọi cơ sở của đều bằng nhau.

Chứng minh: Áp dụng Bổ đề 2.8 ta có hai cơ sở bất kỳ của V đều có số phần tử bằng nhau.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 2: Không gian Véc tơ

Định nghĩa 2.12: Số véc tơ của một cơ sở của V được gọi là số chiều của V , ký hiệu

Vdim . Quy ước

dim =0

{ } 0

Ví dụ 2.12: Trong không gian

ta xét hệ

trong đó:

n(cid:22)

e ,...,

}ne

,...,

(2.6)

,...,0,1(

,...,1,0(

1 =e

2 =e

1=B { )1,...,0,0(=ne

là một cơ sở của

gọi là cơ sở chính tắc. Vậy

n =(cid:22)dim

là một cơ sở của

, gọi là cơ sở chính tắc. Vậy

t,...,

n(cid:22) { ,1=B

}nt

dim

+= n

Ví dụ 2.13: Hệ Pn

Chú ý 2.14: Không gian

là một ví dụ về không gian véc tơ không hữu hạn

∞ U 1n =

có vô hạn véc tơ và độc lập tuyến tính nên không thể là hữu hạn

sinh. Thật vậy, hệ

2tt

,,1

{

},....

sinh.

và

là hệ m véc tơ của V . Khi đó: (i)

,...,

{ v 1=

}mv

dim Định lý 2.15: Giả sử Nếu hệ S độc lập tuyến tính thì

nV = . nm ≤

(ii) Nếu hệ S là hệ sinh của thì

. nm ≥

(iii) Nếu

thì hệ

S độc lập tuyến tính khi và chỉ khi S là hệ sinh.

nm =

Chứng minh: Gọi B là một cơ sở của V . Áp dụng bổ đề 2.8 cho hai hệ B và S suy ra

các điều cần chứng minh.

Định lý 2.16: Giả sử

là hai không gian con của

V thì

1,WW 2

(2.7)

dim

dim(

)

dim(

)

WW +

W 1

WW I 2

Đặc biệt:

dim(

)

dim

WW ⊕ 2

W 1

W 2

(2.8)

là một cơ sở của

}

1 WW I

φ=2 là một cơ sở của

thì 1W

e 1 . Với mọi

(nếu }m thì:

{ e ,..., Chứng minh: Giả sử 1 ). Theo định lý 2.11 ta có thể bổ sung thêm để { ,...,

,...,

} là một cơ sở của

1 WW I 2 ,..., , ,..., ue 1 l 1 WWv ∈ + 2

ve , 1 l

0=l và { e 1

(

... ++

)' 1

e 1

x l

uy 11

uy mm

vz 11

vz kk

là hệ sinh của

. Mặt khác, giả sử

,...,

...

x 1 Vậy { ... + +

m +

1 WW + 2 0 =

ex 11

e 1 ex l l

ue , l 1 uy 11

v 1 uy mm

vz kk

e )' l l }k vz + 11

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 2: Không gian Véc tơ

thì

...

−=

... −−

∈

ex 11

ex l l

uy 11

uy mm

vz 11

WWvz kk

−

... −−

... ++

∈

vz 11

vz kk

et 11

WWet l 2

⇒

... ++

vz 11

vz kk

et 11

et l l

⇒

...

t 1

x 1

y 1

,...,

x l } là một cơ sở của

z 1 Vậy { e 1

ue , 1 l

v 1

1 WW + 2

dim

kml 2

dim(

)

dim(

)

W 1

W 2

WW + 2

WW I 2

Định lý 2.17: Giả sử S là hệ hữu hạn các véc tơ của V . Khi đó

(i)

, với

)( Sr

dim

W span S =

(ii) Khi thực hiện một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp sau lên hệ S :

⇒

• Nhân một số khác 0 với một véc tơ của hệ S ;

biến thành hệ

'S có

Sr )(

Sr )'(

Chứng minh: (i) Giả sử

là hệ con độc lập tuyến tính tối đại của

cũng sinh ra

S thì

số véc tơ của

, do đó

là một cơ sở của W ⇒

dim

=)(Sr

0 =

(ii) Nếu

thì

⇒

spanS

Sr )'(

'WW =

ta có thể sử dụng 2 cách sau:

...

Nhận xét 2.18: Để tìm hạng của hệ véc tơ {

vv , 2 1

Sr )( }nv

1) Áp dụng định lý 2.17 bằng cách thực hiện các phép biến đổi sơ cấp lên hệ véc tơ đã cho

để đưa về hệ véc tơ mà ta dễ dàng nhận được hạng của nó.

Khi thực hành ta có thể viết tọa độ các véc tơ thành một bảng, mỗi véc tơ nằm trên một

hàng, sau đó biến đổi để bảng số này có dạng tam giác.

2) Áp dụng tính chất 2.6 theo từng bước như sau:

1. Loại các véc tơ

, 0=iv

2. Giả sử

, loại các véc tơ

tỉ lệ với

• Cộng vào một véc tơ của hệ S một tổ hợp tuyến tính các véc tơ khác của S ; thì hệ S

0≠1v

độc lập khi và chỉ khi

...

3. Giả sử { v

iv độc lập, khi đó { v

i 1

}ki

không biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của

...

... { v

i 1

}j }ki

Ví dụ 2.14: Tìm hạng của hệ véc tơ sau:

,)1,1,1,1(

,)3,1,3,1(

−

v 1

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 2: Không gian Véc tơ

,)2,0,2,1(

.)2,1,2,1(

Giải:

→

− 3

− 2

− 1

1 ⎧ ⎪ 0 ⎪⎪ 0 ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎩

1 ⎧ ⎪ 1 ⎪⎪ 1 ⎨ ⎪ 1 ⎪ ⎪ 1 ⎩

(Hàng1 → hàng 1, hàng 2 - hàng1 → hàng 2, hàng 3 - hàng1 → hàng 3, hàng 4 - hàng1

• Cách1:

→

− 0

1 ⎧ ⎪ 0 ⎪⎪ 0 ⎨ ⎪ 0 ⎪ ⎪ 0 ⎩

1111 ⎧ ⎪ 1010 ⎪⎪ 0100 ⎨ ⎪ 0000 ⎪ ⎪ 0000 ⎩

(Hàng 3 + hàng 2 → hàng 3, hàng 4 +(1/2) hàng 2 - hàng 5 → hàng 4).

(-1/2hàng 2 → hàng 2, hàng 5 → hàng 3).

Vậy hệ véc tơ có hạng là 3.

không tỉ lệ nên độc lập. Nếu

thì

→ hàng 4, hàng 5 - hàng4 → hàng 5)

v 1 , v

xv 1

y =+

x =⇒

1 −=

x x x

3 1 3

y =− y =+ y =−

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

phụ thuộc.

Vậy

−

. Nghĩa là {

vv , 1

v 1

thì

độc lập.

Nếu

, hệ vô nghiệm. Vậy {

xv 1

vv , 1

y =+ y =− y =+ y =−

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

• Cách 2:

Chương 2: Không gian Véc tơ

Nếu

thì

xv 1

z 2

=++ z

,2/3

,2/1

x =⇒

−=

y +− y =+ y +−

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

phụ thuộc.

Vậy

. Nghĩa là

2/3

2/1

{ vv , 1

là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của

Vậy {

vv , 1

v − 1 }4

{ vv , 1

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 3: Ma trận

3. CHƯƠNG 3: MA TRẬN

3.1 KHÁI NIỆM MA TRẬN

...

a 1 n

a 11 a

a 12 a

...

cột Định nghĩa 3.1: Một bảng số có m hàng

OM ...

1 m

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(3.1)

nm ×

ija

được gọi là một ma trận cỡ . là phần tử ở hàng thứ và cột .

A được gọi là ma trận nguyên,

∈ (cid:28)

, ∀

, ∀∈(cid:5)

aij

Khi thì thì A được gọi

A là ma trận thực.

ija

là ma trận phức. Nếu không chỉ rõ thì ta quy ước

nm × có thể được viết tắt dạng

Ma trận A cỡ

]

[ ija

,1 mi = ,1 n j =

[ ] nmijaA ×

hay (3.2)

A là ma trận vuông cấp

nm =

Khi ta nói . n

nm × được ký hiệu

Tập hợp tất cả các ma trận cỡ

Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp được ký hiệu . nm×M nM .

32 × .

− 2

π 5

−

⎡ ⎢ ⎣

là ma trận cỡ Ví dụ 3.1:

BA = , khi và

Hai ma trận cùng cỡ , bằng nhau, ký hiệu

] [ nmijbB × .

⎤ ⎥ ⎦ ] [ nmijaA × ,1 ; jm ,1 i = =

a = ij b ij

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

chỉ khi với mọi

Chương 3: Ma trận

3.2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN

3.2.1 Phép cộng

[ ] nmijaA ×

[ ] nmijbB ×

, Cho hai ma trận cùng cỡ

là ma trận cùng cỡ được ký hiệu và định nghĩa bởi

,1 m ;

i =

= j

c ij

b ij

] nmij ×

với mọi . Tổng của hai ma trận BA, [ cBA

552

(3.3)

− 4

713

656

−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ =⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ +⎥ 1 ⎦

Ví dụ 3.2: .

3.2.2 Phép nhân ma trận với một số

nm × , và số thực k . Ta định nghĩa và ký hiệu

cỡ Cho ma trận

[ ] nmijaA × kA

[ ] nmijka ×

021

−

. (3.4)

−

1 2

⎤ ⎥ ⎦

⎤ =⎥ ⎦

41 ⎡ ⎢ 23 ⎣

21 ⎡ ⎢ ⎣

Ví dụ 3.3: .

Tính chất 3.1: Các tính chất sau đây đúng đối với các ma trận cùng cỡ:

(

)

(

)

CB +

BA +

; 1)

2) Ma trận có các phần tử đều bằng 0 gọi là ma trận không và ký hiệu 0 .

00 +=+

AA =

Khi đó: ;

( −+

0) =

−

[ −=

] nmija ×

3) , trong đó ;

. 4)

(

ABBA +=+ +×nmM ),

là một nhóm Abel. Vậy

hk,

với mọi ma trận Ta cũng kiểm chứng được các tính chất sau đúng với mọi số thực

nm × :

[ ] nmijaA ×

cỡ ,

(

+ ) BAk

[ ] nmijbB × kA kB = +

5) ;

(

+ )

; 6)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 3: Ma trận

( hAk )

(

) Akh

7) ;

AA =1

8) .

nm×M là không gian véc tơ.

Với 8 tính chất này tập

nm ×

ijE

Ký hiệu là ma trận cỡ có các phần tử đều bằng 0 ngoại trừ phần tử ở hàng i cột

; jm

{ iEij

là một cơ sở của . nm×M

nmnm

Vậy .

j bằng 1 thì hệ các ma trận =×Mdim 3.2.3 Phép nhân ma trận

[ ] npijbB ×

Định nghĩa 3.2: Tích hai ma trận và là ma trận cỡ

[ ] pmijaA × [ ] nmijc ×

, trong đó m×n được ký hiệu và định nghĩa bởi

; jm

c ij

p ∑ ba ik 1 k =

với mọi . (3.5)

Vậy phần tử ở hàng thứ i cột thứ j của AB bằng tổng của tích các phần tử của hàng thứ i

của A với các phần tử tương ứng của cột thứ j của B .

b 1 b 2

c ij

a i

a ip

a i 1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

− 2

−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ . ⎥ ⎦

1 ⎡ 32 ⎤ ⎢ −⎥ ⎢ ⎦ ⎢ 2 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

−

Ví dụ 3.4:

−

[ 41

]

−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 3: Ma trận

Ta thấy rằng tích của hai ma trận A và B định nghĩa được khi số cột của A bằng số hàng của B . Vì vậy có thể định nghĩa AB nhưng không định nghĩa được BA nếu số cột của B không bằng số hàng của A .

BA,

Khi là hai ma trận vuông cùng cấp thì ta có đồng thời AB và BA . Mặc dầu vậy

AB =

, nói cách khác tích ma trận không có tính giao hoán. Chẳng

001

003

000

M 0

M 00

MOM 0 0

M M 000

MOM 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

021 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡− ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

− 11

− 4

003

≠

− 0

M 0

K MOM 0 0 0

M 0

M 00

K MOM 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

chưa chắc có đẳng thức hạn, xét

CBA ,

Tính chất 3.2: Giả sử là các ma trận với số cột số hàng thích hợp để các phép toán

sau xác định được thì ta có các đẳng thức:

( BCA

)

(

) CAB

1) tính kết hợp.

(

+ ) CBA

tính phân phối bên trái phép nhân ma trận với phép cộng. 2)

(

+ ) ACB

tính phân phối bên phải phép nhân ma trận với phép cộng. 3)

ABk (

)

(

)

∈(cid:22) ,

kBABkA =

. 4) Với mọi

5) Với mọi số tự nhiên dương n ta xét ma trận vuông cấp n có các phần tử trên đường

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

chéo bằng 1 và các phần tử ở vị trí khác đều bằng 0.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 3: Ma trận

nm × ta có

AAI m

. Khi đó với mọi ma trận A cỡ

Ma trận được gọi là ma trận đơn vị cấp n.

2≥n

Từ các tính chất trên ta thấy tập hợp các ma trận vuông cấp cùng với phép cộng và

,.)

(

+nM ,

là một vành không giao hoán, có đơn vị và không nguyên vì có ước của nhân ma trận

021 042 000

0 0 0

2 1 − 0

06 − 0 3 0 0

0 0 0

M M 000

K K K MOM 0 0

M 0

K K K MOM 0 0 0

M 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0. Chẳng hạn

, ≠BA

0=AB

nhưng .

3.2.4 Ma trận chuyển vị

nm × , nếu ta đổi các hàng của ma trận A thành các mn × , gọi là ma trận chuyển vị

Định nghĩa 3.3: Cho ma trận A cỡ

t A

c ; ij

. (3.6) cột (và do đó các cột thành các hàng) thì ta được ma trận mới cỡ tA của ma trận trên A , ký hiệu ] [ c mnij ×

⎤ . ⎥ ⎦

524 ⎡− ⎢ 90 1 ⎣

14 ⎡− ⎢ 0 2 ⎢ ⎢ 5 9 ⎣

⎤ ⎥ ; ⎥ ⎥ ⎦

Ví dụ 3.5:

Tính chất 3.3:

(

t A

+ ) BA

1) .

(

t kA

t kA =)

2) .

(

t t AB

t AB =)

3) .

Định nghĩa 3.4:

tAA = đối xứng nhau qua đường chéo thứ nhất).

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

1) Nếu thì A được gọi là ma trận đối xứng ( A là ma trận vuông có các phần tử

Chương 3: Ma trận

A −=

thì A được gọi là phản đối xứng (hay đối xứng lệch) ( A là ma trận vuông có các phần tử đối xứng và trái dấu qua đường chéo thứ nhất, các phần tử trên đường chéo thứ nhất bằng 0).

3.3 MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ TRONG MỘT CƠ SỞ NÀO ĐÓ

}ne .

1=B { } là một hệ véc tơ của V có toạ độ trong cơ sở

{

e ,..... : B

v ,..., 1

ea ij i

n ∑ i 1 =

Giả sử V là không gian n chiều với một cơ sở

{

}mv

v ,..., 1

] mnijaA [

có các cột là các toạ độ của các véc tơ trong

{

}mv

v ,..., 1

mn × cho trước thì ta có hệ m véc tơ mà toạ độ của nó

cơ sở được gọi là ma trận của hệ véc tơ trong cơ sở . B

A .

Khi đó ma trận B Ngược lại, với ma trận A cỡ là các cột của trong cơ sở

e ,.....

}ne

1=B {

thì có tương ứng 1 - 1

mn ×

,.....

với các hệ véc tơ của giữa các ma trận cỡ Vậy khi không gian véc tơ V với cơ sở cố định V .

e ,.....

{

}ne '

}ne ,

'=B được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở

là hai cơ sở của V . Ma trận của hệ véc tơ

'B . Nghĩa là nếu

sang cơ sở Ma trận chuyển cơ sở 1=B { B

et ij i

]ijtP = [

... thì (3.7)

Giả sử 'B trong cơ sở n ∑ i 1 =

là ma trận chuyển từ cơ sở sang

Vu ∈ ;

ex ii

' ex i

' i

n ∑ i 1 =

. Khi đó với véc tơ bất kỳ

[

[ t

[ x

] x ni

× = 1

] 1 nj

'B . n ∑ i 1 = ] nnij ×

Ta có: (3.8)

, AA '

'B thì

}mv

v ,..., 1

Nếu trong cơ sở (3.8) được gọi là công thức đổi tọa độ lần lượt là ma trận của { , B

'PA

A =

(3.9)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 3: Ma trận

3.4 HẠNG CỦA MA TRẬN

( Ar )

Định nghĩa 3.5: Ta gọi hạng của ma trận A , ký hiệu , là hạng của các véc tơ cột của A .

Phương pháp tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi sơ cấp

)(Sr

Hạng

tuyến tính tối đại của S hay là chiều của

tiếp các phép biến đổi sau, gọi là các phép biến đổi sơ cấp, thì của một hệ véc tơ S của không gian V là số véc tơ của một hệ con độc lập span (xem Định lý 2.17). Vì vậy khi ta thực hiện liên span không đổi do đó hạng của S

hệ không thay đổi:

1) Đổi chỗ cho nhau hai véc tơ của hệ.

2) Nhân vào một véc tơ của hệ một số khác 0 .

3) Cộng vào một véc tơ của hệ một tổ hợp tuyến tính các véc tơ khác của hệ.

Vì vậy để tìm hạng của một ma trận ta thực hiện các biến đổi sơ cấp lên các cột (sau này ta sẽ chứng minh được rằng ta cũng có thể biến đổi theo các hàng) để đưa ma trận về dạng tam giác, từ đó suy ra hạng của ma trận.

2 c 3 c

13 c 14 c 12 c −

→+ 2 c →+ 3 c →+ 4

1 2 1

43 − 1 1 12

2 4 2

1 2 1

0 7 5

0 0 07 − 5 0

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

→

1c c

→

2 2 c →+ 3

c 3

1 2 1

0 00 7 00 005

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ví dụ 3.6:

=Ar (

→

c 1

→

c 1

−

→

2 c

−

2 c

→

5 c 1

→

1 0

1 − 1

1 − a 1

4 c

→

−

1 − a 1 1

11 − a 0 2

1 − 1 1

−

c 1 c c →+ 2 1 c →+ 3 1 c c →+ 4 1 c c 2 →+ 5 1

⎤ ⎥ 1 − ⎥ a ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 1 − ⎥ 1 ⎥ ⎥ 1 ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Vậy .

→

c 1

0 0

c 1 c

→

0 −+

0 2

−

→

(

2 a (

−

3 )3 +

3 1 a

1 1 0

-(3

+ 2 2a)c

4 c

−

1 1 2

22 22 1 1 2 −

−

c →+ 3 2c →+ 3 5

3c- 2

0 0 1 ⎡ ⎢ − a 2 0 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

nÕu

Chương 3: Ma trận

Br (

)

nÕu

≠ =

⎧ ⎨ 3 ⎩

Vậy .

≠

hµng

Xét các ma trận vuông cấp n sau:

j ≠=

kR ,(

) λ

]

ija

[ a ij

j ==

0 ⎧ i ⎪ 1 i ⎨ ⎪ λ ⎩

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

(3.10)

i hµng

j ),(

]

[ kla

hµng

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

cột k

;

l ≠=

vµ

b»ng

i hay

cột i cột j

li ,

kla

lj ,

trong

c¸c

tr−êng

hîp

kh¸c

1 k ⎧ ⎪ 0 k ⎪⎪ 1 k ⎨ ⎪ 1 k ⎪ ⎪ 0 ⎩

(3.11)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

j ,( λ ,

]

[ kla

i hµng

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Chương 3: Ma trận

cột j

l li ,

= =

trong

c¸c

tr−êng

hîp

kh¸c

k 1 ⎧ ⎪ akl λ k = ⎨ ⎪ 0 ⎩

(3.12)

Tính chất 3.5: Ta dễ dàng kiểm tra được:

,( λkR )

,( λkAR )

có được a) Nếu nhân vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích

a a ' a "

b b ' b "

a a ' a "

b λ b ' λ b " λ

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

c ⎤ ⎥ c ' ⎥ ⎥ c " ⎦

001 ⎡ ⎢ 0 0 λ ⎢ ⎢ 100 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

c ⎤ ⎥ c ' ⎥ ⎥ c " ⎦

bằng cách nhân thêm λ vào cột k của ma trận A .

iAP

j ),(

có được bằng vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích

A cho nhau.

),( j b) Nếu nhân j cách đổi chỗ hai cột i và

a a ' a "

b b ' b "

a a ' a "

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

c ⎤ ⎥ c ' ⎥ ⎥ c " ⎦

010 ⎡ ⎢ 001 ⎢ ⎢ 100 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

b ⎡ ⎢ b ' ⎢ ⎢ b " ⎣

c ⎤ ⎥ c ' ⎥ ⎥ c " ⎦

của

iAQ

,( λj , )

có được c) Nếu nhân vào bên phải của ma trận A thì ma trận tích

A .

a a ' a "

b b ' b "

001 010 10

b b ' b "

c λ c ' λ c " λ

a + a ' + a " +

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ λ ⎣

c ⎤ ⎥ c ' ⎥ ⎥ c " ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

c ⎤ ⎥ c ' ⎥ ⎥ c " ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

của ma trận bằng cách nhân λ vào cột i và cộng vào cột

Chương 3: Ma trận

RQP ,

d) Nếu nhân vào bên trái của ma trận A thì ta có các kết quả tương tự như trên,

a a ' a "

b b ' b "

001 ⎡ ⎢ 0 0 λ ⎢ ⎢ 100 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

c ⎤ ⎥ c ' ⎥ ⎥ c " ⎦

a b c ⎤ ⎡ ⎥ ⎢ a b c ' ' ' λλλ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ a b c " " " ⎦ ⎣

trong đó các tác động lên hàng đổi thành tác động lên cột và ngược lại. Chẳng hạn

a a ' a "

b b ' b "

a a ' aa ' " +

b b ' bb ' " +

001 ⎡ ⎢ 010 ⎢ ⎢ 1 0 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

c ⎤ ⎥ c ' ⎥ ⎥ c " ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ λ ⎣

c ⎤ ⎥ c ' ⎥ ⎥ cc ' " + ⎦

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 4: Định thức

4. CHƯƠNG 4: ĐỊNH THỨC

4.1 HOÁN VỊ VÀ PHÉP THẾ

Định nghĩa 4.1:

→

{ ,...,2,1:

} n

{ ,...,2,1

được gọi là một phép thế bậc n. 1) Mỗi song ánh

Ta thường ký hiệu một phép thế bằng một ma trận có hàng thứ nhất là các số 1,2,...,n sắp

2 )2(

... ...

n n )(

1 ⎡ ⎢ )1( σσ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

theo thứ tự tăng dần còn hàng thứ hai là ảnh của nó:

2) Ảnh của một phép thế được gọi là hoán vị. Với phép thế σ ta có hoán vị tương ứng

)2(

...

nσ

[ )1( σσ

])(

i < mà j

j )(

)2(

...

i σσ > )(

nσ

])(

, nếu có cặp thì ta nói

3) Dấu của phép thế: Cho hoán vị [ )1( σσ có một nghịch thế của σ.

Giả sử k là số các nghịch thế của σ, ta định nghĩa và ký hiệu dấu của phép thế σ là

sgn

k)1(

−=σ

(4.1)

Ta dễ dàng kiểm chứng được rằng tập các phép thế bậc n với luật hợp thành là phép hợp của

hai ánh xạ tạo thành một nhóm không giao hoán, gọi là nhóm đối xứng bậc n, ký hiệu . nS

Trong chương 1 ta đã biết tập có đúng n! phần tử. Chẳng hạn có 2 phần tử, có

6 phần tử ...

]231

321 ⎡ ⎢ 231 ⎣

⎤ ⎥ ⎦

ứng với phép thế có một nghịch thế. Vậy Ví dụ 4.1: Hoán vị [

sgn

)1(

−=σ

1 −= 1

)2(

...

)1( σσ

nσ

])(

1)( 1 =iσ

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

là giá trị sao cho có . Để tìm số các nghịch thế k của phép thế σ ta thực hiện các bước sau: Trong hoán vị [

Chương 4: Định thức

)2(

...

)1( σσ

nσ )(

]

1)( 1 =iσ

đứng trước ; ♦ Gọi là số các số trong [

iσ

, tồn tại , gọi là số các số còn lại trong ♦ Xoá số

)2(

( 2 = ) 2 ;

iσ

[ )1( σσ

1)( 1 =iσ ])( nσ ...

đứng trước sao cho ( 2 = )

iσ

( 2 = )

và tiếp tục đếm như thế ... ♦ Xoá số

... ++

k 1

1 −

Cuối cùng số các nghịch thế của σ là:

]1243 [

1 =k

2 =k

3 =k

Ví dụ 4.2: Hoán vị có , , .

sgn

)1(

5=k

−=σ

−=

Vậy và . 1

Tính chất 4.1:

i < và j

,( ji

j )(

≠), i

i σσ > )(

)( j

1) Cặp )

− −

)( j

khi và chỉ khi dấu của bằng 1− . Vậy là một nghịch thế của phép thế σ ( nghĩa là )( σσ i i j

sgn

)( i σσ i j

− −

⎛ ⎜⎜ dÊu ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

∏ 1 i ≤≠≤

. (4.2)

]

i 0 , j

[ i= 0 nguyên các phần tử còn lại:

là phép thế chỉ biến đổi hai phần tử cho nhau và giữ 2) Chuyển vị

... ...

i 0 j

... ...

n n

j i 0

21 ⎡ ⎢ 21 ⎣

⎤ ⎥ ⎦

(4.3)

...

−

k 1

i 0

−ik 1 0

, , Dễ dàng tính được:

...

k =⇒

−

1) −

i 0

1 +

1 −

sgn

)1(

−=

Vậy . 1

sgn(

sgn

sgn μσ .

nS∈μσ

3) Với mọi (4.4)

i ),( j

,...,2,1

),...,

) μσ o chạy khắp tập {

} { n ×

} { n 1,1(\

}),( nn

Thật vậy, khi thì

))

i μμ ),( ( (

cũng chạy khắp tập này. Do đó:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

)( j

))

( μσ

sgn

dÊu

)( i σσ i j

))( i ( ( μσ − j i )( )( μμ −

− −

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ dÊu ⎝

⎞ =⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

)( j

∏ 1 i ≤≠≤

∏ )( i μμ ≠

1 ≤

≤

))

( μσ

Chương 4: Định thức

dÊu

))( i ( ( μσ − i )( )( j μμ −

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

))

j )(

( μσ

sgn

sgn μσ

dÊu

i )( − μμ i j −

i ))( ( ( − μσ j i )( )( − μμ

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ ⋅⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ dÊu ⎝

⎞ ⎟⎟ ⎠

∏ 1 i ≤≠≤

))

( μσ

∏ = 1 i ≤≠≤

sgn

dÊu

)μσ ( o

i ))( i

( ( μσ j

− −

⎛ ⎜⎜ ⎝

⎞ =⎟⎟ ⎠

= ∏ i 1 ≤≠≤

σ:

(xem 4.3) và phép thế

sgn

[ io 0

. 4) Với mọi chuyển vị [ i 0 j ] −=j 0

4.2 ĐỊNH THỨC

+ ybxa +

⎧ ⎨ ⎩

ta tính các định thức Khi giải hệ phương trình tuyến tính

' −

a a '

b b '

c c '

b b '

a a '

c c '

, , .

a 11 a

a 12 a

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

Như vậy định thức của ma trận vuông cấp 2 là

−

aa 11

aa 12

a 11 a

a 12 a

1σ

2σ

21 ⎡ ⎢ 21 ⎣

⎤ ⎥ ⎦

21 ⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

Mặt khác nhóm đối xứng có 2 phần tử là và có dấu

−=σ

sgn 1 =σ

sgn 2

−

aa 11

aa 12

a 11 a

a 12 a

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

, . Vậy

Chương 4: Định thức

sgn

a 11

a 2)1(

)2(

a 12

a 2)1(

)2(

a a )2(2)1(1 σ

σ 1

σ 2

∑ S σ ∈

Ta mở rộng định nghĩa này cho ma trận vuông cấp bất kỳ như sau.

n ] [ nnijaA ×

Adet

Định nghĩa 4.2: Định thức của ma trận vuông được ký hiệu là

hay A và định nghĩa bởi biểu thức:

det

...

n )(

a σσ ⋅ )1(1

∑ sgn nS σ ∈

(4.5)

] [ nnijaA ×

là tổng tất cả các tích gồm n phần tử Như vậy định thức của ma trận vuông

trên n hàng mà ở trên n cột khác nhau của ma trận A và nhân với +1 hoặc -1.

Ví dụ 4.3: a) Nhóm đối xứng có 6 phần tử là (xem ví dụ 1.23 chương 1)

1σ

2σ ,

3σ ,

321 ⎡ ⎢ 231 ⎣

⎡ ⎢ ⎣

321 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 321 ⎣ ⎦

⎤ ⎥ ⎦

321 ⎤ ⎥ 312 ⎦

4σ

5σ ,

6σ ,

⎡ ⎢ ⎣

321 ⎤ ⎥ 132 ⎦

321 ⎡ ⎢ 213 ⎣

⎤ ⎥ ⎦

321 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 123 ⎣ ⎦

sgn

−=

σ 1

σ 4

σ 5

σ 2

σ 3

σ 6

a 11 a

a 12 a

a 13 a

sgn

a σσ )3(3)2(2)1(1 σ

= ∑ S ∈σ

a 31

a 32

a 33

, . Vậy có dấu

−

aaa 11 22 33 aaa 12

aaa 11 23 32 aaa 13 21

aaa 12 21 33 aaa 13

a 11

a 12 a

(4.6)

... ... ...

a 13 a a 33

a n 1 a 2 a n 3

D n

MO a

b) Tính định thức

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

...

Chương 4: Định thức

sgn

( −=σ

0 ) 1

0σ

...

n n

21 ⎡ ⎢ 21 ⎣

⎤ ⎥ ⎦

Xét phép thế có .

'k sao cho

k ≠)(σ

⇒

Với mọi , nếu tồn tại thì tồn tại k sao cho

k <σ )'(

...

⇒

k )'(

n )(

nS∈σ ka σ '

0σσ ≠ a 0 ⇒ )1(1 σ

. Vậy

sgn

... a

sgn

... a

⋅

D n

)( n

σ 0

a 11

a )1(1 σ

n σ

= ∑ S σ ∈

. (4.7)

...

a 33

a 11

a 11 a a 31

a a 32

OM ...

1 n

a 1 n a

1 −

. (4.8) Tương tự

" D n

2,1

1 n −

n − a

a n a

N ... ...

M ... ...

1 n

c) Tính định thức

...,

,1=∀ k

+=+

σ 1

kσ )(1

... ...

n 1

1 nn

−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

. Xét phép thế thoả mãn

,...,2

...

(

nn (

2)1

n −=

k +=⇒

−

k 1

−nk 1

nn (

2)1

−

Ta dễ dàng tính được

sgn

)1(

⇒

−=

1σσ ≠

. Mặt khác với mọi , nếu thì tồn tại k sao

σ 1 n

kσ )(

+<+

...

⇒

k )(

nS∈σ na

n )(

ka σ

a )1(1 σ

cho .

sgn

... a

sgn

⋅

" D n

)( n

σ 1

... a 1 n

... a n 1

knk −

a )1(1 σ

n σ

= ∑ S ∈ σ

( nn

2)1

−

Vậy

)1(

−=

... a 1 n

knk −

(4.9)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Tương tự

a 1 n

1 −

a 11 a

a 12 a

... ...

a 1 n a

1 −

( nn

2)1

−

Chương 4: Định thức

)1(

−=

... a 1 n

knk −

1 n

. (4.10)

{

}

của hệ véc tơ

] [ v ,..., nnijaA 1 × V cũng được gọi là định thức của hệ véc tơ {

nv v ,..., 1

cơ sở ứng với } và ký

,...,

. Vậy hiệu Định nghĩa 4.3: Định thức của ma trận B trong không gian véc tơ { vD 1B

det

}

}nv { vD ,..., B 1

. (4.11)

4.3 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐỊNH THỨC

Tính chất 4.2:

mk ,

≠

nÕu

1) Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận thì định thức đổi dấu:

det

' A

det

−=

a ij a

' A

mi =

nÕu

' ij

[ ] nnijaA ×

[ ] = ' nnija ×

nÕu

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

, , thì .

det

' A

sgn

... a

)

)( k

)( n

' a ⋅ σσ )1(1

k σ

( mm σ

n σ

∑ nS σ ∈

... a

sgn

)

)( n

a ⋅ σσ )1(1

)( km σ

( mk σ

n σ

... a

sgn

)

)(' k

)(' n

a ⋅ σσ )1('1

k σ

(' mm σ

n σ

... a

det

−=

)

)(' n

a ' ⋅ σσ )1('1

km )(' σ

mk (' σ

n σ

Thật vậy:

. trong đó ∑ = nS σ ∈ ∑ nS ∈ −= ∑ sgn ' nS ∈σ ]mkoσσ =' [

2) Định thức có tính chất tuyến tính đối với mỗi hàng:

] [ nnijaA ×

[ ] nnijbB ×

] [ nnijcC ×

Cho hai ma trận , và ma trận có hàng thứ k

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

là tổ hợp tuyến tính của hàng thứ k của A và B . 66

≠

nÕu

Chương 4: Định thức

,...,1

n .

a ij a α

b ij +

;

víi

mäi

b β kj

c ⎧ ⎪ ij ⎨ c ⎪⎩

Nghĩa là

det

. thì

det

sgn

... c

)( k

)( n

c ⋅ σσ )1(1

k σ

n σ

∑ nS σ ∈

sgn

...(

)... a

⋅

a α

k )(

n )(

a )1(1 σ

k σ

b β k σ

n σ

∑ nS σ ∈

sgn

... a

sgn

⋅

)( k

)( n

)( k

)( n

a )1(1 σ

k σ

n σ

b )1(1 σ

... b k σ

... b n σ

∑ S σ ∈

Thật vậy:

∑ S ∈ σ n det β det A +

3) Từ 1) và 2) suy ra rằng trong một ma trận có hai hàng tỷ lệ thì định thức bằng 0.

4) Nếu ta cộng vào một hàng một tổ hợp tuyến tính các hàng khác thì định thức không

thay đổi.

5) Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận đó:

,...,1

, = j

[ = ' a

a =' ij

] [ nnijaA ×

] nnij ×

, , Giả sử ,

det

sgn

... a

)( k

)( n

' a σσ ⋅ )1(1

k σ

n σ

sgn

1)1(

kk )(

nn )(

a σσ ⋅

... a σ

∑ nS σ ∈ ∑ nS σ ∈

sgn

... a

⋅

)1(

k )(

n )(

a 1 − 1 σ

1 − k σ

1 − n σ

∑ nS σ ∈

sgn

det

a ...

1 − σ

⋅

)1(

k )(

n )(

a 1 − 1 σ

1 − k σ

1 − n σ

= ∑ nS σ ∈

thì .

sgn

1 − sgn = σ

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

vì .

Chương 4: Định thức

6) Từ 5) suy ra rằng các tính chất của định thức đúng với hàng thì cũng đúng với cột và ngược lại. Vì vậy ta chỉ cần chứng minh các định lý về định thức đúng với hàng. Chẳng hạn, từ 4) suy ra nếu ta cộng vào một cột một tổ hợp tuyến tính các cột khác thì định thức không thay đổi.

...

a 11

Định thức của mọi hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính đều bằng 0.

det(

) A

(mod

)

sgn

... a

)( n

a σσ )1(1

n σ

= ∑ S ∈σ

...

a 1 n MOM= a nn

1 n

7) (4.12)

Ví dụ 4.4:

11 a a 1 1 a 11

... ... ...

1 1 1

na na na

111 a 1 1 11 a

... ... ...

1 1 1

−+ −+ −+

M M 111

MOM a ...

M 111

MOM a ...

M na −+

...

(

n −+

111 a 1 1 11 a

... ... ...

1 1 1

− 0

...

−

M M 111

MOM ... a

M 1

M 0

MOM ... 0 −

1 −

a) (cộng các cột vào cột 1)

(

)(1

−+

−

1±=ija

D na =⇒ n [ ] nnijaA ×

...

b) với

det(

A )

(mod

⇒

Adet

MOM 1 ... 1

chẵn.

4.4 CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC

4.4.1 Khai triển theo hàng, theo cột

Nếu ta nhóm theo cột thứ j công thức (4.5) thì ta được:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

det

... a

Chương 4: Định thức

aA = 1

a )3(3)2(2

)( n

n σ

a σσ ⋅ j

sgn )1( =

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜ ∑ ⎜⎜ , S σσ ∈ ⎝ n

a ...

... ++

n )(

n σ

a a sgn σσ ⋅ )3(3)1(1 j )2( =

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜ ∑ ⎜⎜ S , σσ ∈ ⎝ n

... a

−

(1 σ

−

sgn a a ⋅ σσ )2(2)1(1 n )( j =

⎛ ⎜ ∑ ⎜ , S σσ ∈ ⎝ n

⎞ ⎟ . ⎟ ⎠

Vì vậy định thức của ma trận A được viết lại dưới dạng

det

...

AaA 1 1

Aa nj

(4.13)

gọi là công thức khai triển của A theo cột thứ j.

ijA

ija

được gọi là phần bù đại số của .

)1(

−=

A ij

Định lý 4.3: (4.14)

ijM

Trong đó là định thức của ma trận cấp n-1 có được bằng cách xoá hàng i cột j của ma

A .

trận

A = 11 M

a ...

sgn

a ...

' σ

A 11

n )(

n )('

n σ

)2(2 σ

n σ

)2('2 σ

∑

sgn 1)1( =

S σσ ∈ n

S ' σ −∈ 1 n

Chứng minh: Trước hết ta chứng minh . Ta có:

,...,2

' σσ =

{ ,...,2

với . là phép thế trong tập hợp {

ijA đưa về hàng 1 cột 1.

)1( i

( −+−

Trường hợp bất kỳ, ta thực hiện i-1 lần đổi chỗ các hàng và j-1 lần đổi chỗ các cột để

)1(

−=

A ij

. Do đó

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Công thức khai triển theo hàng i được suy từ tính chất 3.7: 6)

Chương 4: Định thức

det

... ++

Aa in

AaA 11 i i

−

c 1

→+ 3

−

12 c

(4.15)

→+ 4 =

−

1 1 3 1

2 0 1 − 2

3 1 1 − 0

4 2 0 5

1 1 3 1

2 0 1 − 2

2 0 4 1

2 0 6 7

−

12 +

)1(

−=

⋅

2 1 −⋅ 2

2 4 1

2 6 7

2 1 −−= 2

0 3 3

0 5 9

− −

Ví dụ 4.5:

−=

)1)(3)(2( −

−

−=

)59(6 −

−=

4.4.2 Định lý khai triển Laplace (theo k hàng k cột)

i ,..., 1

j ,..., 1

[ ] nnijaA ×

Từ ma trận ta để ý k hàng: và k cột: .

Giao của k hàng k cột này là một ma trận cấp k. Định thức của ma trận này được ký hiệu là

A ta xoá đi k hàng

i ,..., 1

j ,..., 1

j M ,..., 1 i ,..., i 1

và k cột thì ta có ma trận con . Nếu từ ma trận

j ,..., 1 i ,..., i 1

...

+++++

i 1

j 1

cấp n-k. Định thức của ma trận này được ký hiệu là và

)1(

−=

j ,..., 1 A i ,..., i 1

j ,..., 1 i ,..., i 1

(4.16)

j M ,..., 1 i ,..., i 1

a 11 a

a 12 a

a 13 a

a 14 a

được gọi là phần bù đại số của . k

21 a 31 a

22 a 32 a

23 a 33 a

24 a 34 a

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

3231 +++

Ví dụ 4.6:

)1(

−=

23 M = 13

23 A 13

a 13 a

a 12 a 32

Có , .

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 4: Định thức

Định lý 4.4 (Laplace):

i ,..., 1

1) Khai triển k hàng : ki

det

j ,..., 1 i ,..., i 1

j ,..., 1 A i ,..., i 1

≤

∑ 1 ... j <<≤ 1

(4.17)

i ,..., 1

nhân Định thức của A bằng tổng tất cả các định thức con cấp k nằm trên k hàng

với phần bù đại số tương ứng của nó.

j ,..., 1

2) Khai triển k cột : kj

det

,..., j 1 i ,..., i 1

,..., j 1 A i ,..., i 1

∑ 1 ... ≤<<≤

i 1

(4.18)

j ,..., 1

nhân Định thức của A bằng tổng tất cả các định thức con cấp k nằm trên k cột

với phần bù đại số tương ứng của nó.

Đặc biệt khi k =1 ta có công thức khai triển theo hàng và theo cột (3.4).

k =

= ,...,11 i

sgn

... a

k )(

a ⋅ σσ )1(1

k σ

k ,...,1 k ,...,1

∑ kS ∈ σ

sgn

a ...

a ' σ ⋅

)(' n

('1 σ

n σ

,...,1 ,...,1

k k

k ,...,1 A ,...,1 k

,...,1

: Chứng minh: Trường hợp

,...,1+

'σ của { }n k có số các nghịch thế bằng số các nghịch

(

( k ), σσ

thì phép thế μ có

sgn

= ∑ ' S σ −∈ kn Ứng với mỗi phép thế σ của tập { }k và hoán vị tương ứng [ ]σ n ),..., )( 1( ),..., 1 k + σ sgn 'σ . Do đó thế của σ cộng với số các nghịch thế của

sgn ' σσ

⋅

sgn

a ...

⋅

a ' ⋅ σ

k )(

n )('

a )1(1 σ

k σ

('1 σ

n σ

. Vì vậy mỗi tích

Adet

,...,1 ,...,1

k k

,...,1 ,...,1

. Nói cách khác chỉ bao gồm các là một hạng tử trong tổng của

Adet

k k M Adet j

. Trường hợp tổng quát

Adet

để đưa về định thức con bậc k góc , ta biến đổi hàng và cột của hạng tử của M ,..., j 1 i ,..., i 1 ; nó là một bộ phận trong biểu thức tổng của M ,..., j 1 i ,..., i 1

1−ki

11 −i

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

trên bên trái. Ta thực hiện lần đổi chỗ hàng thứ để đưa về hàng thứ 1, ..., lần đổi

Chương 4: Định thức

−

j ,...,11 −

lần để đưa các cột

...

(

...

(

++−

)1 +−

++−

−

... ++

i )11(

j )11(

i 1

j 1

về các cột 1,..., k. Vì vậy định thức đổi dấu chỗ hàng thứ ki để đưa về hàng thứ k. Tương tự đổi chỗ j ,..., 1

)1(

)1( −

−=

. kj

,..., j kj 1 iM ,..., ki 1

j M ,..., 1 i ,..., i 1

...

+++++

i 1

j 1

Khi đổi vị trí như vậy định thức bù của vẫn là .

)1(

−=

,..., j 1 i ,..., i 1

, như vậy các hạng tử của Do đó

Adet

⋅

j ,..., 1 i ,..., i 1

,..., j 1 A i ,..., i 1 j ,..., 1 A i ,..., i 1

. cũng chỉ là các hạng tử của

knk (!

−

⋅

j ,..., 1 i ,..., i 1

j ,..., 1 A i ,..., i 1

hạng tử. Số các định thức con Mặt khác mỗi có

k nC

i ,..., 1

k j

trên k hàng bằng số các tổ hợp n chập k và bằng . Các hạng tử của

⋅

' 1 ,...,

,..., i

' 1 ,...,

,..., i

A i 1

i 1

khác nhau từng đôi một nếu và

M ,..., j 1 i ,..., i 1 j ,..., 1 i i ,..., k 1 ,..., j

{

}

j 1

j ,..., 1 A ,..., i i k 1 } { ' ,..., j ≠ 1

n !

knkC k (! −

j ,..., 1 i ,..., i 1

j ,..., 1 A i ,..., i 1

≤

Do đó tổng có hạng tử phân

∑ j 1 ... j <<≤ 1 Adet nhưng

Adet

biệt của hạng tử. Vậy mỗi hạng tử của đều là hạng tử

⋅

≤

... <<

j 1

Adet j k ≤

k cũng chỉ có j ,..., 1 i ,..., i 1

j ,..., 1 A i ,..., i 1

nào đó của một trong những với . Vậy ta có

đẳng thức (3.6).

Công thức khai triển theo cột (3.7) được chứng minh trực tiếp hoàn toàn tương tự cách trên

A det

det =

...

a 11

a 1 k

M 0

hoặc có thể suy ra từ kết quả trên và áp dụng tính chất .

D n

MOM ... a ... a

MO ... 0 ...

1 k +

k 1 1 ++

1 n +

MOM ... a

MO a ...

1 n

1 +

Ví dụ 4.7:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

...

a 11

a 1 k

k 1 1 ++

1 n +

MOM a ...

MO ... a

1 +

Chương 4: Định thức

=kj

,...,

≠

}

{ ,...,1

j 1

,..., j 1 kM ,...,1

Vì . nếu {

det

luôn có .

, Thật vậy, giả sử , Ví dụ 4.8: Với mọi ma trận cùng cấp BA, [ ] ] [ nnijbB nnijaA × ×

c ij

] nnijc [

n ∑ ba ik 1 k =

a ij

D 2

−

b ij

−

Xét định thức cấp 2n:

det

D n

2 =

11b

Khai triển Laplace theo n hàng đầu ta có . Mặt khác, nhân với cột

1nb

nD2

21b thành:

...

a 11

a 1 n

c 11

MOM ... a

D 2

c n 1 0

n 1 1 −

MOM 0 0 b b 12 1 n

−

MOM 0 b nn

b n

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

với cột 2,..., với cột n của xong cộng tất cả vào cột n+1 thì định thức trở 1,

Chương 4: Định thức

...

a 11

a 1 n

c 11

c 1 n

MOM ... a

MOM ... c

D 2

n 1 0

nn 0

n 1 1 −

−

Tiếp tục biến đổi tương tự như trên cuối cùng được:

...

−

c 11

c 1 n

...

21 nn +++++++

)1(

−=

−

D 2

MOM c ...

−

1 n

nn 2(2 2

Khai triển Laplace theo n hàng cuối ta được:

)1(

det

−=

⋅

4.5 ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐỂ TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

4.5.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo

(

,.)

+nM ,

Ta đã biết vành các ma trận vuông cấp n là không nguyên, vì vậy với ma trận

vuông cho trước chưa chắc đã có ma trận nghịch đảo đối với phép nhân ma trận.

Định nghĩa 4.4: Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch nếu tồn tại ma trận vuông cùng

. cấp B sao cho

1−A .

Phép nhân ma trận có tính kết hợp nên ma trận B ở định nghĩa trên nếu tồn tại thì duy

nhất, ta gọi ma trận này là ma trận nghịch đảo của A , ký hiệu

4.5.2 Điều kiện cần và đủ để tồn tại ma trận nghịch đảo

det ≠A

Định lý 4.5: (điều kiện cần) Nếu A khả nghịch thì (lúc đó ta nói ma trận A

1 −

không suy biến).

det

AA =−1

. Chứng minh: ⇒

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 4: Định thức

det

≠

1 1 −A

det

Do đó .

ijA

ija

[ ] nnijA ×

Định nghĩa 4.5: Ma trận , trong đó là phần bù đại số của phần tử

] [ nnijaA ×

của ma trận , được gọi là ma trận phụ hợp của A .

det ≠A

Định lý 4.6: (điều kiện đủ) Nếu thì A khả nghịch và

1 =−

1 det

, (4.19)

với B là ma trận phụ hợp của A .

det

... ++

Aa kn

Aa 1 k k

Chứng minh: Khai triển định thức của ma trận A theo hàng thứ k ta được:

+ ...

Aa in

Aa 1 i k

Vậy là khai triển theo hàng thứ k của định thức của ma trận có

nÕu

được bằng cách thay hàng thứ k của A bởi hàng thứ i của A , do đó bằng 0.

... ++

ABt

(det

) . IA

Aa in

Aa 1 i k

≠

i Õu

det ⎧ ⎨ 0 n ⎩

Tóm lại ⇒

nÕu

Tương tự, khai triển theo cột ta có:

... ++

ABt

(det

) IA

Aa ni

Aa 11 k i

k k

= ≠

i i Õu

det ⎧ ⎨ 0 n ⎩

. (4.20) ⇒

1−A và

A =−1

BA = hoặc I

AB = thì tồn tại

Hệ quả 4.7: Nếu .

1−∃A và

BA = ⇒ I

det ≠A

1 −

Chứng minh: ⇒

AABB

(

)

(

ABA )

det

−=A 1

321 ⎤ ⎥ 352 ⎥ ⎥ 801 ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

11 +

21 +

Ví dụ 4.9: Ma trận có .

)1(

−=

A 11

A 12

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

, ,

31 +

12 +

Chương 4: Định thức

)1(

−=

5 −=

−=

A 13

52 01

32 80

22 +

32 +

, ,

)1(

−=

31 81

21 01

13 +

23 +

, ,

)1(

−=

9 −=

−=

33 +

, ,

)1(

−=

−

Vậy

1 =−

−=

1 − 1

40 − 13 5

40 − 13 − 5

16 5 2

9 3 1

40 − 16 − 9

13 5 3

5 2 1

16 5 − 2 −

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

9 ⎤ ⎥ 3 − ⎥ ⎥ 1 − ⎦

4.5.3 Tìm ma trận nghịch đảo theo phương pháp Gauss-Jordan

,( λkR )

k =

...1 IAEE

E ,..., 1

là các ma trận dạng , trong đó , Khi ta thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sơ cấp lên các hàng của ma trận A để đưa A về ma trận đơn vị, theo tính chất 3.5 chương 3 thì điều này cũng có nghĩa là ta nhân bên trái của A các ma trận sao cho

j ),(

,( λj , )

1 =−

...1 kEE

, (xem 3.10, 3.11, 3.12). Mặt khác theo Hệ quả 4.7 thì .

... IEE k

EE ... là ma trận có được bằng cách 1 thực hiện bởi cùng các phép biến đổi sơ cấp tương ứng như đã thực hiện đối với ma trận A lên

1−A ta thực hiện các bước sau:

Cũng với lập luận như trên ta có:

các hàng của ma trận đơn vị I . Vì vậy để tìm ma trận

1) Viết ma trận đơn vị I bên phải ma trận A :

IA để đưa ma trận A

2) Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp đồng thời lên các hàng của

ở vế trái về ma trận đơn vị.

1−A .

3) Khi vế trái trở thành ma trận đơn vị thì vế phải là ma trận

..........

→

−→ AI

. (4.21)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 4: Định thức

1−A với

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

321 ⎤ ⎥ 352 ⎥ ⎥ 801 ⎦

h 2 h 3

h h → 1 1 12 h h − →+ 2 h h − →+ 3 1 →

321 352 801

001 010 100

1 0 0

2 1 2

3 3 − 5

−

1 00 012 − 101 −

h 3

h h → 1 1 h h →− 2 2 h h →− 3 3 →

21 10 00

3 3 1

1 00 012 125

21 10 00

3 1 3 2 −− 1 5

− −

0 1 2 −

0 0 1 −

h h → 1 1 h h → 2 2 h →+ 3 →

−

h 1

− 3

− 13

h →+ 1 h → 2 h → 3

h 2 h 2 h 3 →

h h h 3 →+ 1 3 1 h h h →+ 3 2 2 h h → 3 3 →

− −

021 010 100

001 010 100

Ví dụ 4.10: Tìm

1A =−

40 − 13 5

16 5 2

− −

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

9 ⎤ ⎥ 3 ⎥ ⎥ 1 ⎦

Vậy .

1−A theo phương pháp Gauss-Jordan sẽ dễ dàng khi các phần tử của

1−A

Chú ý 4.8: Tìm

det

±=A 1

). là các số nguyên ( thường gặp khi

4.6 TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN BẰNG ĐỊNH THỨC

Từ tính chất 4.2 ta biết rằng định thức của một hệ phụ thuộc tuyến tính bằng 0. Do đó nếu

,...,

} 0

≠nv

{ v ,..., 1

{ vDB 1

định thức thì hệ độc lập tuyến tính.

}nv } nv

{ v ,..., 1

Ngược lại, giả sử hệ độc lập tuyến tính, ta sẽ chứng minh

,...,

} 0

ea i ij

]ijaA = [

≠nv

{ vDB 1

n . Thật vậy, giả sử ∑ 1 =

, ,

det

,...,

}nv

v ,..., 1

{ vDA 1B=

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

độc lập tuyến tính nên nó là một cơ sở của V . , vì hệ {

Chương 4: Định thức

AB = ⇒ I

det ≠A

vb ij i

]ijbB = [

n Vậy ta có ∑ e 1 =

, . (4.22) ⇒

,...,

} 0

≠nv

v ,..., 1

{ vDB 1

độc lập khi và chỉ khi . Định lý 4.9: Hệ {

nm × . Nếu có định thức con cấp p

Định lý 4.10: Giả sử là một ma trận cỡ

( Ar

}nv ]ijaA = [ 1+p

bao quanh nó đều bằng 0 thì . khác 0 và mọi định thức con cấp

p véc tơ cột đầu độc lập tuyến tính, vì nếu có một véc tơ là tổ hợp tuyến

,...,1 pM ,...,1

. Khi đó Chứng minh: Không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết định thức con cấp p góc trái ≠p

( Ar

1−p

≠p

≥)

,...,1 pM ,...,1

tính của véc tơ còn lại thì mâu thuẫn với giả thiết , do đó . Ta cần

chứng minh bất đẳng thức ngược lại.

,...,1 m ;

k =

,...,1+=

1+p

...

a 1

a 1 s

a 11 a

...

M ...

1 p

...

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

; Xét ma trận cấp : Với mọi

k ≤ : Ma trận B có hai hàng bằng nhau, do đó

det =B

Khi .

Bdet

k > : p

det =B

1+p

pM ,...,1

,...,1

, vì là định thức cấp bao . Khi

Mặt khác khai triển theo hàng cuối ta được dạng sau:

... ++

μ 11

μ p

Ma ks

,...,1 ,...,1

p p

...

a λ 1

λ p

, với mọi k = 1, 2, ..., m ⇒

( Ar

≤)

Vì vậy véc tơ cột là tổ hợp tuyến tính của véc tơ cột đầu. Vậy .

Ar ) (

Ar (

min

nm × thì

t ≤ )

( , nm

Hệ quả 4.11: A là một ma trận cỡ . )

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 4: Định thức

1−A là ma trận chuyển từ từ cơ sở

'B sang cơ sở

'B thì

cơ sở sang cơ sở . B

=Ar ( )

Chú ý 4.12: 1) Từ công thức (4.20) ta đã chứng minh được nếu A là ma trận chuyển từ từ B 2) Để tìm hạng ma trận A ta tìm định thức con cấp 2 khác 0. Bao định thức này bởi các . Nếu có định thức con cấp 3. Nếu tất cả các định thức cấp 3 bao quanh đều bằng 0 thì

định thức con cấp 3 khác 0 thì ta tiếp tục bao định thức cấp 3 này bởi các định thức cấp 4...

2 − 4 − 1

2 1 92 − 34 −

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

3 ⎤ ⎥ 7 ⎥ ⎥ 1 − ⎦

Ví dụ 4.11: a) Ma trận

−

2 − 4 − 1

2 1 92 − 34 −

2 1 92 −= 34 −

3 7 1 −

có , .

=Ar (

Vậy

−

2 4 − 3 1

1 2 − 1 4

0 1 1 − 3

4 7 − 4 4

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

nhưng . b) Ma trận có

2 4 − 3

1 2 − 1

0 1 1 −

. Bao định thức này bởi định thức cấp 3

0=B

=Br (

111 a

Định thức cấp 4 duy nhất . Vậy .

11 a

1 a

111

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ví dụ 4.12: Tìm hạng của ma trận

(

)(3

3)1

−

Ta có .

−≠

a ,3 ≠

=Ar ) (

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

; thì Vậy: • Khi

Chương 4: Định thức

1=a

=Ar (

; thì • Khi

=Ar (

1 1 1

3 − 1 1

1 3 0 ⇒≠− 1

. • Khi , 3−=a

Trong thực hành ta có thể kết hợp phương pháp này với phương pháp biến đổi sơ cấp lên

các hàng các cột ma trận thì quá trình tìm hạng ma trận sẽ nhanh hơn.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

5. CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.1 KHÁI NIỆM VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

5.1.1 Dạng tổng quát của hệ phương trình tuyến tính

... ++

xa 1 nn a x nn

b 1 b 2

Hệ m phương trình tuyến tính n ẩn có dạng tổng quát:

xa 12 2 xa 22 ..........

2 ..........

......

... ++

x 11

x 22

x nmn

b m

xa ⎧ 111 ⎪ xa ⎪ 121 ⎨ .......... ⎪ ⎪ ⎩

(5.1)

xa ij

b i

n ∑ j =1

Hay , i = 1, ..., m

,...,

, 2 xx 1

Trong đó là n ẩn,

ija

là hệ số của ẩn thứ j trong phương trình i,

là vế phải của phương trình thứ i; i = 1,..., n; j = 1,..., m.

0=ib

Khi các vế phải thì hệ phương trình được gọi là thuần nhất.

,...,

(

xx , 2 1

)nx

n ta có các đẳng thức đúng. Giải một hệ phương trình là đi tìm tập hợp nghiệm của hệ. Hai hệ phương trình cùng ẩn là tương đương nếu tập hợp nghiệm của chúng bằng nhau. Vì vậy để giải một hệ phương trình ta có thể giải hệ phương trình tương đương của nó.

Nghiệm của hệ phương trình là bộ gồm sao cho khi thay vào (5.1) số

5.1.2 Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

...

a 1 n

x 1

a 11 a

a 12 a

...

b 1 b 2

Với hệ (5.1) ta xét các ma trận:

MOM a ...

1 m

M nx

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ M ⎢ mb ⎣

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

, , (5.2)

A , B , X lần lượt được gọi là ma trận hệ số, ma trận vế sau và ma trận ẩn. Khi đó hệ

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

phương trình (5.1) được viết lại dưới dạng ma trận:

AX = B

(5.3)

5.1.3 Dạng véc tơ của hệ phương trình tuyến tính

,...,

)

(cid:22)∈

v i

( 1 a i

và véc tơ vế Nếu ta ký hiệu véc tơ cột thứ i của ma trận A là

,...,

)

(cid:22)∈

( 1 b

sau , thì hệ (5.1) được viết dưới dạng véc tơ:

... ++

vx 11

vx 22

vx nn

(5.4)

...,

∈

{

,1 v

}nv

. Với cách viết này ta thấy rằng hệ phương trình (5.1) có nghiệm khi và chỉ khi Span

~ Ar (

)

5.2 ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM

~ trong đó A Ar ) ( cột cuối là vế phải của hệ phương trình.

...

a 11

a 1 n

b 1

Định lý 3.18: (Kronecker-Kapelli) Hệ phương trình (5.1) có nghiệm khi và chỉ khi là ma trận có được bằng cách bổ sung thêm vào ma trận hệ số A một

~ A

MOM ...

1 m

M b m

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(5.5)

,...,

xx , 2 1

Chứng minh: Hệ (5.1) có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại

...

vx 11

vx nn

v ,..., 1

. Nghĩa là sao cho }. nv

,...,

vx 22 ,...,

(cid:22)∈ được biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính của { Ar ( )

~ Ar (

)

vr ( 1

) n =

vr ( 1

bv ), n

Vậy . Do đó .

5.3 PHƯƠNG PHÁP CRAMER

Định nghĩa 5.1: Hệ n phương trình tuyến tính n ẩn có ma trận hệ số A không suy biến được gọi là hệ Cramer.

Định lý 5.2: Mọi hệ Cramer đều tồn tại duy nhất nghiệm. Cụ thể

xa ij

b i

DDx i =

n ∑ j =1

, i = 1,..., n; hệ , i = 1, ..., n có nghiệm

det

,...,

{ vDA 1

v i

1 −

Trong đó

,...,

D i

{ vD 1

v i

, vb i

, vv i i 1 + }n

1 −

1 +

= B

(5.6)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

iD là định thức của hệ các véc tơ cột là các hệ số của hệ phương trình nhưng véc tơ cột thứ

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

i được thay bởi véc tơ cột vế sau.

n(cid:22)

det ≠A

. Do đó Chứng minh:

,...,

}nv v ,..., 1

b được biểu xx , 2 nx 1

. Nghĩa là tồn tại duy nhất ⇒ hệ { v ,..., 1 { diễn duy nhất thành tổ hợp tuyến tính của là một cơ sở của }nv

...

vx nn

. sao cho

n(cid:22)

e ,...,

}

vx vx 11 22 1=B {

,...,

}

v i

, vb i

v i

vx kk

{ vDD 1

v i

1 −

1 +

1 −

1 +

n ∑ k 1 =

⎧ ⎪ vD B ⎨ 1 ⎪⎩

⎫ ⎪ ⎬ ⎪⎭

Gọi là cơ sở chính tắc của . Khi đó:

,...,

} =

v i

, vv i i

Dx i

x i =

DD i

1 −

1 +

{ vDx 1B i

, i = 1,..., n; ⇒

Giải hệ phương trình tuyến tính trường hợp tổng quát

,...,

bv ), n

) n =

vr ( 1

v . Giả sử np ≤ (trong trường hợp khác cách giải hoàn toàn tương tự). Với

,...,

)

,...,

Giả sử hệ phương trình có nghiệm, do đó

vr ( 1

; )

... ++

xa 1 nn a x nn

b 1 b 2

xa 12 2 xa 22 ..........

2 ..........

......

... ++

xa 11 p

x 22

xa ⎧ 111 ⎪ xa ⎪ 121 ⎨ .......... ⎪ ⎪ ⎩

...

a 11

a 1

phương trình đầu giả thiết này p véc tơ hàng phía trên của A tạo thành hệ độc lập tuyến tính tối đại của hệ các véc p tơ hàng của A . Vì vậy hệ (5.1) tương đương với

≠

MOM ... a

p 1

Giả sử (trường hợp khác cách giải hoàn toàn tương tự)

... ++

−

... −−

1 +

xa 1 a

a 1 p a

1 p + x

... ++

−

pp x pp

xa 1 nn ... a x −− nn

xa 12 2 xa 22 ..........

2 ..........

..........

b 1 b 2 2 1 1 p p + + .......... .......... ......

... ++

−

... −−

xa 11 p

x 22

1 +

xa ⎧ 111 ⎪ xa ⎪ 121 ⎨ .......... ⎪ ⎪ ⎩

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Hệ phương trình trên được viết lại:

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

,...,

đây là hệ Cramer có vế sau phụ thuộc vào các ẩn . Vậy hệ có vô số nghiệm

,...,

x λ

phụ thuộc .

2 +

x 3 x 3 x λ 3 +

x λ

x 1 x 1 x 1

x 3

x λ ⎧ 1 ⎪ + ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

Ví dụ 5.1: Giải và biện luận theo tham số λ hệ

det

)(3

(

3)1

λλA +

−

Từ ví dụ 4.12 chương 4 ta có .

,3 −≠ λ

≠

1 của các ẩn trong hệ đều như nhau, do đó nghiệm của hệ:

: Hệ đã cho là hệ Cramer nên có nghiệm duy nhất. Ngoài ra vai trò ♦ Khi

x 1

x 3

x 1

x 3

1 λ +

⇒

Ar ) (

1=λ :

~ = Ar (

1) =

x 1

x 3

, hệ phương trình đã cho tương đương với phương trình ♦ Khi

−=

−

x 1 1

x 3

Hệ phương trình có vô số nghiệm với tuỳ ý.

3−=λ

det =A

=Ar (

: (theo Ví dụ 3.18 ) nhưng ma trận bổ ⇒

có định thức con cấp 4 ♦ Khi ~ sung A

≠

~ =Ar ) (

1 3 − 1 1

1 1 3 − 1

1 1 1 1 1 1 13

−

⇒ ⇒ hệ vô nghiệm.

5.4 PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

xa ij

b i

n ∑ j =1

Định lý 5.3: Hệ Cramer , i = 1, ..., n, với các ma trận tương ứng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

...

a 1 n

x 1

a 11 a

a 12 a

...

b 1 b 2

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

MOM a ...

1 n

M nx

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ M ⎢ nb ⎣

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

, ,

1−= BAX

. có nghiệm

5.5 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS

Ta có thể kiểm tra được rằng: khi thực hiện các biến đổi sơ cấp sau lên các phương trình

của hệ thì sẽ được hệ mới tương đương:

• Đổi chỗ hai phương trình;

• Nhân, chia một số khác 0 vào cả 2 vế của một phương trình;

• Cộng vào một phương trình một tổ hợp tuyến tính các phương trình khác.

Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp khử Gauss là thực hiện các phép biến đổi

xa ij

b i

n ∑ =1 j

sơ cấp (có thể đổi chỉ số các ẩn nếu cần) để đưa hệ phương trình (5.1) ; i = 1,..., m

' i

n ∑ xa ' ij 1 j =

về hệ tương đương ;

,...,

x ,..., 1

' nx ma trận bổ sung của hệ mới có dạng

' 11

' b 1 ' b

i = 1,..., m. Các ẩn là các ẩn nhưng có thể thay đổi thứ tự chỉ số và

' p b '

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(5.7)

...

'11

≠ppa '

trong đó . 0

,...,

khác 0 thì có phương trình mà vế trái bằng 0, vế phải ♦Nếu một trong các

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

khác 0 nên hệ vô nghiệm.

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

...

=+ 1

...

' 11

' 1

' 12

' 1 n

' 1

...

2 +

thì hệ đã cho tương đương với hệ phương trình ♦Nếu

2 .......... ' a

2 n n .......... .......... . ' ' a x b =

.......... ' ... x ++ 11 p

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

(5.8)

,...,

' px

Ta được các nghiệm phụ thuộc .

−

x 3 x 3

Chú ý rằng khi ta biến đổi tương đương lên các phương trình thì thực chất là biến đổi các hệ số trong các phương trình. Vì vậy khi thực hành ta chỉ cần biến đổi ma trận bổ sung (5.5) của hệ để đưa về ma trận có dạng (5.7), từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình.

−

x 1 x 1 x 1 x 1

x 3 x 3

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

−

~ A

↔

2 0 0

5 7 2

8 − 7 3

8 7 1

52 34 32

8 9 5

8 9 7

34 32 81

9 5 7

9 7 12

− − −

− −

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

−

↔

10 00 00

1 − 1 0

1 1 0

1 5 1

10 00 00

1 − 5 − 1

16 1 1

0 0 0

11 − 1 2

6 1 − 3

−

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

81 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

81 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

2010

Ví dụ 5.2: Giải hệ phương trình

↔

1100

0000

3001 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

x 1 x

x 3

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất .

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

4 x

x 1 x 1 −

x 3 x 3 −

−=

2 −

2 x

x 1 4 x 1

x 3 x 3

3 ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

−

~ A

↔

−

3 6 − 1

2 1 4

6 9 − 4

8 20 m

4 8 m

3 2 4

2 3 1

5 6 4

− 3 5 2

⎤ ⎥ 5 ⎥ ⎥ 11 − ⎥ 2 ⎦

11 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

↔

− 16 0

− 64 48

0 0 0

− 5 0 0

− 8 0 0

− 9 0 1

− 20 15 5

0 0 0

− 32 24 8

− 36 27 8

−

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

11 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

11 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ví dụ 5.3: Giải và biện luận theo tham số hệ phương trình

↔

4 − 16 0

1 − 5 0 0

1 − 8 0 0

2 − 9 0 1

1 ⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

−

2 −=

x 1 5

x 3 x 3

mx 4

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Hệ đã cho tương đương với hệ:

♦ m = 0: hệ vô nghiệm;

♦ m ≠ 0: hệ có vô số nghiệm

−

x 4 =

x 3

x 1

x 3

1 m

m − m 5

8 5

m 4 − 5 m

3 5

, , .

;

−

x 3

m 4 − 5 m

3 5

m − m 5

8 5

1 m

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

tùy ý. hay

−

3 −=

x 5

4 x

−

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

−

2 +

x 3 x 3 −

−

−=

x 5

2 x

4 x

−

3 −=

x 3 x 3

4 x

−=

x 1 x 2 1 x 1 x 1 x 1

x 5 x 5

⎧ ⎪ ⎪⎪ 3 ⎨ ⎪ 6 ⎪ ⎪ ⎩

↔

~ A

1 2 3 0 1

0 2 1 − 1 1

1 − 1 1 1 0

1 9 − 8 − 16 − 1

1 − 0 4 − 5 − 2

3 − 2 2 3 2

0 2 − 1 1 1

− 1 3 4 7 1

1 − 11 − 11 − 22 0

− 1 2 − 1 1 3

− − −

− 3 ⎤ ⎥ 8 ⎥ ⎥ 7 ⎥ 15 ⎥ ⎥ 1 ⎦

1 ⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

↔

− −

1 − 1 1 5 6

− 1 1 1 0 0

1 0 − 11 44 44

− 1 3 − 4 22 22

− 3 1 6 22 22

1 0 11 − 11 − 22 −

1 − 3 4 − 2 2 −

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

01 ⎡ ⎢ 10 ⎢ ⎢ 00 ⎢ 00 ⎢ ⎢ 00 ⎣

3 − ⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎥ 6 ⎥ 8 ⎥ ⎥ 14 ⎦

01 ⎡ ⎢ 10 ⎢ ⎢ 00 ⎢ 00 ⎢ ⎢ 00 ⎣

↔

0 0 0 3 03 − 2 1 0 0

2 − 1 2 1 − 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

001 ⎡ ⎢ 110 ⎢ ⎢ 100 ⎢ 000 ⎢ ⎢ 000 ⎣

Ví dụ 5.4: Giải hệ phương trình

2 −=

x 1

x 1 x

x 3

x 5

Hệ đã cho tương đương với hệ:

−

x 3

4 x 21

;

−−=

−=

x 3 x 5

tuú 4

x 5

⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

có nghiệm

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

... ++

xa 12 a

2 x

... ++

xa 1 nn a x nn

5.6 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

22 ..........

2 ..........

......

... ++

x 11

x 22

x nmn

xa ⎧ 111 ⎪ xa ⎪ 121 ⎨ .......... ⎪ ⎪ ⎩

(5.9)

~ ( Ar

)

( Ar )

≤

và

...

x 1

luôn có nghiệm tầm thường . Rõ ràng rằng với hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (5.9) thì nx

Định lý 5.4:

( Ar

a) Hệ (3.14) chỉ có nghiệm tầm thường khi và chỉ khi .

n(cid:22)

( Ar

n − chiều của

thì nghiệm của hệ (5.9) là không gian con . b) Nếu

Chứng minh: Ta chứng minh b). Thực hiện các biến đổi tương đương lên ma trận bổ sung

(5.8) của hệ để đưa về hệ tương đương với ma trận bổ sung có dạng

0 0

0 0 0 0 0

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

... ++

(5.10)

' c npn 1 − .......... . c

p 1

' x np

1 +

−

' xc ⎧ 1 11 1 + ⎪ .......... .......... .......... ⎨ ⎪ ... x x c = ++ ⎩

Suy ra nghiệm có dạng

,...,

)

,...,

)

x '( 1

nx '

x ( 1

' 1

x 1

Trong đó là một hoán vị của . Để đơn giản ta giả sử

,...,

)

,...,

... ++

{ (

}(cid:22)∈

xc 11

c x 1 npn

xc 1 p

xx , np

−

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

(trường hợp khác được chứng minh tương tự), khi đó tập hợp nghiệm:

,...,

,...,0,1,

...

,...,

)

(

) 1,...,0,0,

{ (

}(cid:22)∈

c 11

1 p

c 1 pn −

−

xx n

Chương 5: Hệ phương trình tuyến tính

n − chiều của

n(cid:22)

. là không gian con

,...,

)

x ( 1

Định lý 5.5: Giả sử là một nghiệm của phương trình không thuần nhất (5.1) thì

(

,...,

)

,...,

x 1

( 1 x là nghiệm của phương trình (5.1).

là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng (5.9) khi và chỉ khi

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

6. CHƯƠNG 6: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

6.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

6.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 6.1: Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian W thoả mãn:

Vvu ∈,

(

)

uf )(

vf )(

vuf +

; (i) với mọi

Vvu ∈,

uf )(

) ( αα =

(cid:22)∈α ; ,

(ii) với mọi (6.1)

được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt là đồng cấu) từ V vào W .

WV =

Khi thì f được gọi là tự đồng cấu.

Ví dụ 6.1: Xét các ánh xạ sau:

V →:0

1) Ánh xạ không W

0)(0 =u

u a →: V IdV

=)( u

2) Ánh xạ đồng nhất

→:

(cid:22)∈k

=)(a uf

3) Phép vị tự tỷ số

⊂

VWW ⊕ 2

→

1 :Pr

WW ⊕ 2

v 1

a+ 2

4) Giả sử , xét phép chiếu lên thành phần thứ nhất :

→:

v ∈0

u +a

5) Phép tịnh tiến theo véc tơ ,

Ánh xạ 1), 2), 3), 4) là ánh xạ tuyến tính; 2), 3) là tự đồng cấu; 5) không phải là ánh xạ

0 ≠v

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

tuyến tính nếu . 0

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

6) Cho ma trận ,

(cid:22)

[ ] nmijaA × n m (cid:22) →

(

,...,

)

,...,

)

(

,...,

)

x 1

( xT 1

y 1

ánh xạ

y 1

x 1

xác định bởi

]

[ a ij

M x

M y

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.2)

là một ánh xạ tuyến tính.

n(cid:22)

m(cid:22)

Ngược lại ta có thể chứng minh được (xem mục 4) mọi ánh xạ tuyến tính từ vào đều có dạng như trên.

6.1.2 Các tính chất

WVf →:

Định lý 6.1: Nếu là ánh xạ tuyến tính thì

(i)

0 0 =)(f

(

vf )(

Vv ∈ :

) −=−

(ii) với mọi

(cid:22)

,...,

∈

)

x ∀ 1

v ∀ 1

vx i i

( vfx i i

n ∑ i 1 =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

. (iii) ,

Chứng minh: (i)

)( 0

0 f )(0) 0

0

⋅

vf )(

(

vf (

))

(ii)

0

v ) =−

( −+

)( 0 =

(iii) Dễ dàng chứng minh bằng cách quy nạp theo . n

Vvu ∈

βα,

(cid:22)∈

là ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi với mọi :

)

( v αβα

WVf →: vf )( + β

. Định lý 6.2: ánh xạ u uf )( + =

Vvu ∈

βα,

(cid:22)∈

)

uf )(

vf )(

( ⇒

( v + βα

( u α

) ( = αβ

uf (

)

uf )1(

uf )(1)(1)1( vf

uf )(

vf )(

(

⇐

= f

+ v )0

= + uf vf )(0)(

= uf .)(

+ ( u ) α

( u α

⎧ ⎨ ⎩

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

: Chứng minh: Với mọi

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

,...,

e1=B { thì tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính

Định lý 6.3: Mỗi ánh xạ tuyến tính từ V vào W hoàn toàn được xác định bởi ảnh của một cho trước của V và hệ véc tơ cơ sở của V , nghĩa là với cơ sở

)

}ne WVf →:

Wu n ∈ ,...,1 =

u 1 , iu i

( ef i

. sao cho

Chứng minh:

,Vv ∈ giả sử

,...,

là toạ độ của trong cơ sở , nghĩa là *) Tồn tại: Với mọi

)( vf

... ++

( 1 x ... ++

ex 11

ux 11

nnex

) nx Wux nn ∈

. Đặt .

)

ef ( i

với mọi Ta có thể kiểm chứng được rằng f là ánh xạ tuyến tính và

,...,1=

WVg →:

)

( eg i

*) Duy nhất: Giả sử với mọi

vVv

,...,1=

∈

... ++

ex 11

vg )(

)

... ++

exg ( 11

egx ( 1 1

ex nn

egx ( n n

)( vf

... ++

ux 11

ux nn

khi đó với bất kỳ , là ánh xạ tuyến tính sao cho nnex

g = . f

Vậy

6.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính

6.1.3.1 Hom(V,W)

. Tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là

)

(Hom WV

hay . Cho hai không gian véc tơ WV , ( WVL ,

(Hom

WV ,

)

gf ∈ ,

V → W

, tương ứng Với

vf )(

vg )(

(6.3)

f + và gọi là tổng của f và g .

là một ánh xạ tuyến tính, được ký hiệu

V → W

(cid:22)∈k

Tương tự, với , tương ứng

)(vkf

v a

(6.4)

là ánh xạ tuyến tính được ký hiệu là kf .

Vậy ta đã xác định hai phép toán

"," ⋅+ trên tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W . Với hai phép .

,(Hom

dim

)

dim ⋅ V

(Hom(

⋅+WV ), ),

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

toán này thì có cấu trúc không gian véc tơ và

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

6.1.3.2 EndV

Vf → và

Vf :

Vg → là hai ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ hợp

→

" o VEnd , với hai phép toán là một vành không giao hoán, có đơn vị , không nguyên. Ngoài

(End

Giả sử

EndV

' cũng là một ánh xạ tuyến tính. Vì vậy tập các tự đồng cấu của V , ký hiệu o+V ), , cộng và hợp ánh xạ thì ra với hai phép toán định nghiã ở (1.3.1) (

)⋅+,

còn là một không gian véc tơ.

6.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

WVf →:

Định lý 6.4: Giả sử là ánh xạ tuyến tính, khi đó:

V thì

)

( 1Vf

là không gian con của (i) Nếu là không gian con của và

1V dim

dim

)

≤

V 1

Vf ( 1

)

1 Wf − ( 1

dim

là không gian con của thì (ii) Nếu là không gian con của V và

≤

W 1

1W 1 − Wf ( 1

. )

);

∈

βα,

(cid:22)∈

∈

, uu 1

( Vf 1

21, vv

V 1

tồn tại sao cho Chứng minh: (i) • Với mọi

vf (

)

u 1

vf ( 1

. Do đó

)

vf (

)

u αβα

( v β

∈

u 1

( v α 1

Vf ( 1

)

u ∈

1Vv ∈ :

ne và

( 1Vf )

vf ( 1 } là một cơ sở của =)( vf

u =⇒

... ++

1V ( 1 ) efx 1

vx 11

2 { e ,..., 1 nnvx

( efx n n

với mọi , tồn tại • Giả sử

),...,

)

} )

{ ef⇒ ( 1

( 1Vf

nef (

là một hệ sinh của .

dim

)

dim

≤

Vf ( 1

V . 1

Điều này suy ra

(ii) được chứng minh tương tự.

WVf →:

Định nghĩa 6.2: Với ánh xạ tuyến tính ta ký hiệu và định nghĩa

f Ker

Vf (

)

1−= f

f =

{ }0 ,

(6.5)

là hạt nhân và là ảnh của f , ký hiệu

( fr

)

Imdim

(6.6)

là hạng của ánh xạ f .

WVf →:

Định lý 6.5: Với mọi ánh xạ tuyến tính

dim

)

dim

Ker f

frV ( =

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

(6.7)

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

fKer

{ }0

Ker =f ef (

),...,

ef (

,...,

}me là một cơ sở của V . Ta chứng minh {

là một cơ sở của (khi

1 +

km +

thì m = 0). Ta bổ })

Im (do đó là một cơ sở).

Chứng minh: Giả sử { e ,..., 1 sung để { }km e + ,..., , e e e 1 1 mm + là một hệ sinh, độc lập tuyến tính của

Im)( ∈

...

∈

ex 11

ex mm

e kmkm

e 1 +

1 +

)

ef (

)

...

ef (

)

1 +

km +

efx ( 1 1 ef (

+ )

+ ...

m x

) + ef (

1 + ) .

vf )( x =

... +

x +

1 +

km +

; • Với mọi

)

...

0) =

efy ( 1

efy ( k

1 +

km +

...

Ker

∈

ey 1

ey kmk

1 +

...

⇒

... ++

ey 1

ez 11

ey kmk

ez mm

1 +

...

⇒

−

... −−

ey 1

ez 11

ey kmk

ez mm

1 +

thì • Giả sử

...

−=

y =⇒ 1

z 1

6.3 TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU

6.3.1 Toàn cấu

Định nghĩa 6.3: Ánh xạ tuyến tính mà toàn ánh được gọi là toàn cấu.

WVf →:

Định lý 6.6: Với ánh xạ tuyến tính , các mệnh đề sau tương đương:

(i) f toàn cấu.

(ii) Ảnh của hệ sinh của V là hệ sinh của W .

( fr

)

dim

(iii) .

là hệ sinh của V . Khi đó với mọi Wu ∈ ,

}nv ).

i ⇒ )( Chứng minh: vf Vv ∈ sao cho

ii :)( =)( u

{ v ,..., 1 =) WVf

tồn tại (vì Giả sử (

)

... ++

u =⇒

... ++

vx 11

vx nn

( vfx n

),...,

( vfx 1 1 } là hệ sinh của W . )

),...,

V thì {

})

ef ( 1

nef (

là hệ sinh của

Vf (

)

{

ef ( 1

}ne e ,..., là một cơ sở của 1 } ) ef ( ),..., n =

. W Vậy { ( 1 ( vf nvf ii ⇒ : Giả sử { i )( )( W span =⇒

)( i

) WVf

(

dim

( Vf

)

dim

( fr

)

dim

⇔

⇔=

⇔

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

6.3.2 Đơn cấu

Định nghĩa 6.4: Ánh xạ tuyến tính mà đơn ánh được gọi là đơn cấu.

WVf →:

Định lý 6.7: Với ánh xạ tuyến tính , các mệnh đề sau tương đương:

(i) f đơn cấu.

Ker =f

{ }0

. (ii)

(iii) Ảnh của hệ độc lập tuyến tính của V là hệ độc lập tuyến tính của W .

( fr

)

dim

(iv) .

ii )(

i ⇒ )(

ii ⇒ : Giả sử )( i )(

)

( vf

Chứng minh: : Hiển nhiên.

)

( vf

)

0 =⇒

−

( vf 1

)

=⇒=

v −⇒ 1

v 1

iii (

2 ii ⇒ : Giả sử { )( )

} độc lập:

v ,..., 1

)

...

( vf

...

Ker

⇒=

∈

vfx ( 1 1

vx 11

vx mm

...

⇒

... ++

=⇒=

vx 11

x 1

)

),...,

V thì {

})

vx mm iii ⇒ : Giả sử { ( ) iv (

( 1 ef

( nef

e ,..., 1 . Do đó

là hệ sinh

}ne ( fr

dim

(Vf

)

dim

f Ker

dim

f Ker

⇒

0 ⇒=

(

)

iv ⇒ : )( ii

{ }0 .

dim dim

) )

frV ( = frV ( =

⎫ ⎬ ⎭

. độc lập tuyến tính của là một cơ sở của ) V

6.3.3 Đẳng cấu

Định nghĩa 6.5: Ánh xạ tuyến tính vừa đơn cấu vừa toàn cấu được gọi là đẳng cấu.

Vậy đẳng cấu là một ánh xạ tuyến tính và song ánh.

được gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến tính đẳng cấu Hai không gian WV ,

WVf →:

Vf →: đẳng cấu của V được ký hiệu là

V (Gl V .

)

Phép đẳng cấu được gọi là tự đẳng cấu của không gian V . Tập hợp các tự

V dim

dim =

. Định lý 6.8: V và W đẳng cấu khi và chỉ khi

WVf →:

(⇒ )

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

đẳng cấu thì Chứng minh: : Nếu

dim

)

(don

cÊu)

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

dim

⇒

dim

)

( frV = frW ( =

(toµn

⎫ ⎬ cÊu) ⎭

dim

)

WVf →:

Giả sử ,

= dim nW = }nωω ,..., { 1 ) ; i = ω = i

dim

( fr

)

V =B ' ef ( i f đẳng cấu.

(xem chứng minh định lý 4.3). Khi đó là cơ sở lần lượt của V và W . Gọi ,...,1

(Gl V

(⇐ : Ngược lại nếu 1=B }ne { e ,..., là ánh xạ tuyến tính thoả mãn V Định lý 6.9: (

W ⇒ )o),

là một nhóm (không giao hoán).

Chứng minh: Ta dễ dàng chứng minh nếu f là tự đẳng cấu của V thì ánh xạ ngược

1−f

V . Nếu

gf ,

fg o

cũng là tự đẳng cấu của tự đẳng cấu thì cũng tự đẳng cấu.

Ta đã biết rằng ánh xạ từ một tập hữu hạn vào một tập hữu hạn có cùng số phần tử là đơn ánh khi và chỉ khi là toàn ánh ( Chú ý 1.3-4, chương 1 trang 20). Điều này cũng còn đúng đối với ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véc tơ có cùng số chiều.

WVf →:

dim =

V dim

Định lý 6.10: Giả sử và là ánh xạ tuyến tính từ V vào

thì:W f đơn cấu khi và chỉ khi f toàn cấu, do đó đẳng cấu.

Chứng minh:

f toàn cấu

( fr

)

dim

( fr

)

dim

⇔

đơn cấu.

6.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN

WVf →:

6.4.1 Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính

1=B {

hoàn toàn được xác định bởi ảnh của V thì ánh xạ tuyến tính f hoàn

}) ),...,

),..., là một cơ sở của W thì hệ {

. Mặt khác theo chương 3-(1.3), nếu Theo định lý 6.3, mọi ánh xạ tuyến tính } ne ef ( 1

là một cơ sở của ( nef ef ( 1

}) ),...,

)

trong cơ sở hoàn toàn được xác định bởi nef (

nef ( ef ( 1 . Vì f hoàn toàn được xác định bởi ma

n cột là các toạ độ của các véc tơ 'B

vậy với hai cơ sở , cho trước thì ánh xạ tuyến tính

, trong đó trận một cơ sở của V . Giả sử e ,..., toàn được xác định bởi hệ véc tơ { =B }mωω ,..., { ' 1 nm × có ma trận cỡ B ] [ nmijaA ×

( ef

)

;

,...,1

a ω i ij

m = ∑ i 1 =

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

(6.8)

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

xác định bởi (6.8) được gọi là ma trận của ánh

f trong cơ sở

V và

ija của W .

V và

xạ tuyến tính Định nghĩa 6.6: Ma trận A có các phần tử 'B của B

),...,

của W là ma trận có

( 1 ef

( nef

các cột là toạ độ của { của B Như vậy ma trận của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B } viết trong cơ sở '. )

(cid:22)

3 (cid:22) →

zyx ), ,(

xz 3,4

z )5

x −+a

Ví dụ 6.2: Xét ánh xạ

)0,0,1(

)3,2(

)1,0(3)0,1(2 +

)0,1,0(

)1,0(0)0,1(1)0,1(

)1,0,0(

)5,4(

−=

)1,0(5)0,1(4 +

3(cid:22)

2(cid:22)

− 5

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

và là Vậy ma trận của f trong cơ sở chính tắc của

,...,

)

Vv ∈ trong cơ sở

( 1 x

Nếu là toạ độ của . B

,...,

)

∈)( Wvf

y ( 1

y 1

x 1

trong cơ sở thì là toạ độ của

] [ a nmij ×

M y

M x

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

... ++

y 1

(6.9)

xa 1 nn .......... ...... a ... ++

x nmn

xa ⎧ 111 ⎪ .......... .......... ⎨ ⎪ x y a ⎩ 11

hay (6.10)

(6.10) được gọi là biểu thức toạ độ của ánh xạ tuyến tính f .

là hai không gian véc tơ với hai cơ sở lần lượt và

WVf →:

1=B { =

}ne e ,..., [ ] nmijaA ×

. Với ánh xạ tuyến tính thì có ma trận tương ứng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Giả sử WV , =B m}ωω ,..., { ' xác định bởi ( 6.8).

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

Ngược lại, cho ma trận , biểu thức toạ độ (6.9) xác định ánh xạ

(Hom WV

)

nm ×

có ma trận là và

[ ] nmijaA × ∈ M . Vậy có tương ứng 1 - 1 giữa BA, là ma trận của

gf ,

WVf →: nm×M . Hơn nữa, ta dễ f + và g

BA + là ma trận của

dàng chứng minh được rằng nếu thì

(cid:22)∈k

là ma trận của , với mọi .

(Hom

, WV

→ M)

nm ×

f a A

Định lý 6.11: Tương ứng

fr (

)

Ar ) (

xác định bởi (6.8) là một đẳng cấu tuyến tính và .

),...,

} )

ef ( 1

nef (

Chứng minh: Hạng

Ar ) (

dim

Vf (

)

. do đó của ma trận A là hạng của hệ các véc tơ cột { ( Ar ) fr ) ( =

",'

VVV

, gf

. có cơ sở lần lượt

" . Giả sử A là ma trận của f

,...,

{ e

' 1

f V ⎯→⎯ e=B { " 1

: V }me '

là ,

BA là ma trận của

g V ⎯→⎯ }" le 'B B là ma trận của g trong cơ sở

, thì

1=B { e ,..., trong cơ sở B , fg o

trong cơ sở (xem thêm (3.1)). Thật vậy: Cho hai ánh xạ tuyến tính =B }ne ' , 'B và B "B ,

( ef

)

,...,1=

ea ij

' i

] [ nmijaA ×

m ∑ i 1 =

; , trong đó

,...,1=

)'( i

] mlkibB [ ×

l ∑ " eb k ki 1 k =

, trong đó ;

( ef

)

ea ij

' i

ega ij

)'( i

m ∑ i 1 =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

Ta có

" e

ab ki

l m ⎛ ⎜ ∑ ∑ " eb a ij ki ⎜ ⎝ 1 1 i = =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

m l ⎛ ⎜ ∑ ∑ ⎜ ⎝ 1 1 i k = =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

fg o

. Điều này chứng tỏ BA là ma trận của

' VVV

= đồng cấu của V và các ma trận vuông cấp n.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Khi và ta chọn cố định một cơ sở của V thì có tương ứng 1-1 giữa các tự

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

(End

V M→) n

f a A

Định lý 6.12: Tương ứng

là một đẳng cấu vành, trong đó A là ma trận của f trong một cơ sở cố định của V xác

định bởi (6.8).

Chú ý: Nếu ta ký hiệu ma trận A , B tương ứng với ánh xạ tuyến tính f , g trong một cơ

f ↔ , A

g ↔ thì: B

+↔+

kf ↔ kA

f ↔o g

fr (

)

Ar ( )

sở cố định của V xác định bởi (6.8) là

6.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

WVf →:

Giả sử là ánh xạ tuyến tính.

,...,

{ e

1 =B

{ e ,..., 1

1 =B '

' 1

}ne

}ne '

sang cơ sở của Gọi là ma trận chuyển cơ sở

T V .

không gian

,...,

2 =B

ωω=B { ' 1

}mωω ,..., {

}m'

sang cơ sở Gọi P là ma trận chuyển cơ sở

A là ma trận của f trong cơ sở

'A là ma trận của f trong cơ sở

1, BB , 2 ,' BB

của W .

1 −= PA '

(6.11) Thì

' A

]

[

nmkiaA ×

[ ] = ' nmkia ×

] mmkip ×

[ ] nmijt ×

)

'( ef

)

( ef i

ω ; k

' ij

' ω i

m ∑ i 1 =

, , . Thật vậy: Giả sử ,

' ω i

ω k

et i ij

m ∑ i 1 =

n ∑ i 1 =

100

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

;

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

'( ef

)

' ij

' ω i

' ij

ω k

ap ki

' ij

m ∑ 1 i =

m ∑ 1 k =

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

m m ⎛ ⎜ ∑ ∑ ⎜ ⎝ 1 1 i k = =

⎞ ⎟ ω k ⎟ ⎠

Ta có

'( ef

)

et ij i

( ef i

ω k

ta ki

n ∑ 1 i =

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

m n ⎛ ⎜ ∑ ∑ t a ij ⎜ ⎝ 1 1 i = =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

n m ⎛ ⎜ ∑ ∑ ⎜ ⎝ 1 1 i k = =

⎞ ⎟ ω k ⎟ ⎠

Mặt khác:

,...,1=

kita

kiap

m Do đó ∑ 1 =

n ' ∑ = ij i 1 =

với mọi ; .

1 −= PA '

PA ='

, AA '

. Vậy . Suy ra

là ma trận của f

, BB

trong hai cơ sở sang thì: và T là ma trận chuyển từ cơ sở Đặc biệt nếu f là tự đồng cấu của không gian véc tơ V . Gọi 'B

(6.12)

1−T là ma trận chuyển cơ

1 −= TA ' B

sang cơ sở thì

sở Chú ý: Nếu T là ma trận chuyển cơ sở sang cơ sở (xem chú ý 4.12 chương 4 trang 114).

BA,

được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận không suy

B Định nghĩa 6.7: Hai ma trận 1−=

. biến T sao cho

A det

det =

. Vì vậy ta có thể định nghĩa định thức của đồng dạng thì Từ (6.12) cho thấy hai ma trận của một tự đồng cấu bất kỳ trong hai cơ sở khác nhau là B

đồng dạng. Nếu BA, một tự đồng cấu f là

det

det = f

(6.13)

trong đó A là ma trận của f trong một cơ sở nào đó.

6.4.3 Ánh xạ tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính

Cho ánh xạ tuyến tính f có biểu thức toạ độ xác định bởi (6.7), (6.8). Khi đó hệ phương

trình tuyến tính (5.1-5.4) tương ứng (trang 130-131) có nghiệm khi và chỉ khi

b Im∈

(6.14)

...

( xf

,1 x

)nx

) b n =

101

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

là nghiêm khi và chỉ khi . và (

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

...

,1 x

)nx

( chỉ khi

là nghiêm của phương trình tuyến tính thuần nhất (5.9) (trang 137) khi và

...

(

,1 x

) n Ker ∈

(6.15)

Nhận xét: Từ hai định lý 6.11 và 6.12 ta thấy rằng một bài toán về ánh xạ tuyến tính có thể chuyển sang bài toán ma trận, hệ phương trình tuyến tính và ngược lại. Chẳng hạn để chứng minh định thức của ma trận A khác 0 ta chỉ cần chứng minh tự đồng cấu tuyến tính có ma trận là A là đơn cấu hoặc toàn cấu, hoặc hệ phương trình tuyến tính tương ứng có duy nhất nghiệm.

6.5 CHÉO HOÁ MA TRẬN

Trong phần này ta giải quyết bài toán: Với tự đồng cấu tuyến tính f của không gian V ,

hãy tìm một cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo:

nλ

λ ⎡ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.16)

Bài toán trên cũng tương đương với bài toán: Cho ma trận A tìm ma trận không suy biến

T 1−

sao cho có dạng chéo.

và tìm cơ sở để ma trận

của Ta sẽ chỉ ra khi nào bài toán này có lời giải, cách tìm ma trận f trong cơ sở này có dạng chéo.

6.5.1 Không gian con bất biến

Định nghĩa 6.8: Không gian con W của không gian V được gọi là bất biến đối với tự đồng

(

⊂) WWf

. cấu f trên V nếu

,...,

e ,..., 1

, ee k k

}n e

}ke của V . Với cơ sở này ma trận của f có dạng

kn −

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

là cơ sở Giả sử { là một cơ sở của W , ta bổ sung để { e 1

kn −

102

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

f thì có thể chọn cơ sở để ma trận của f

⊕

1 WWV

1,WW 2

Nếu , bất biến đối với

kn −

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

có dạng

kn −

6.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêng

Vv ∈ ,

Định nghĩa 6.9: Nếu tồn tại véc tơ sao cho

0≠v

λ=)( v

thì λ được gọi là

một giá trị riêng và v là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của tự đồng cấu f .

Ker

−

(

(cid:22)∈λ , ký hiệu } v λ

)Vid λ

(6.17) Với mỗi { )( vfVv ∈=

V .

λV

Rõ ràng rằng là không gian con của

λV được gọi là không gian riêng ứng với giá trị

Định nghĩa 6.10: Nếu là giá trị riêng thì

riêng λ .

{ }0≠λV .

Định lý 6.13: 1) λ là giá trị riêng của f khi và chỉ khi

f thì mọi véc tơ

2) Nếu là giá trị riêng của

0≠v

λ giá trị riêng λ .

của λV đều là véc tơ riêng ứng với

3) Vơi mọi λ, không gian con λV bất biến đối với f .

Chứng minh: Ta chứng minh 3)

{ }0=λV

a) Trường hợp là hiển nhiên.

b) Trường hợp λV là không gian riêng:

)( vf

v λ

⇒∈ λ

103

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Với mọi

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

(

( vf

))

)( vf

⇒

( ) λλ =

⇒

∈

(6.18)

] [ nnijaA ×

nếu tồn tại Định nghĩa 6.11: λ được gọi là giá trị riêng của ma trận

x ,..., 1

x 1

không đồng thời bằng 0 sao cho

A λ I −

)

M 0

M x

M nx

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ λ ⎢ ⎢ ⎣

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.19) hay (

,...,

)

(cid:22)∈

λ.

( 1 x

Khi đó được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng

6.5.3 Đa thức đặc trưng

V có ma

chiều Định nghĩa 6.12: Giả sử f là một tự đồng cấu trong không gian véc tơ

trận A trong một cơ sở nào đó của V . Khi đó:

det

det(

)

:)( λ

−

I λ

(

)

(6.20)

λ không phụ thuộc vào cơ sở của V được gọi là đa thức đặc

là một đa thức bậc của

trưng của f và của A .

0λ

f khi và chỉ khi 0λ là nghiệm của đa thức đặc trưng.

Định lý 6.14: là giá trị riêng của

{ }0

≠λV 0

. Điều này tương đương với các điều Chứng minh: là giá trị riêng khi và chỉ khi

Vid

không đơn cấu, hệ phương trình tuyến tính thuần nhất (5.9) có

det

A λ −

det

(

) 0

0λ 0λ− tương đương sau: ánh xạ nghiệm không tầm thường. Vậy ( fr

) n

(

) 0 =

I 0 =

− 0λ

V <

f λ − 0

Vid

; , .

2(cid:22)

Ví dụ 6.3: Tìm véc tơ riêng và giá trị riêng của tự đồng cấu trong có ma trận chính tắc

−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

là .

2)(

λP )(

1( −=

−

0) =

− λ 1

− 0

− λ

−

λ 1 −

−

Phương trình đặc trưng

λ 1

,1 = λ 2

104

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

. có các nghiệm

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

yx ,(

)

v =

11 =λ là nghiệm của hệ

* Véc tơ riêng ứng với giá trị riêng

(

A λ − 1

−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ) ⎢ ⎣

⎤ =⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 1 ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ =⎥ ⎦

hay .

0=+ y

Hệ phương trình tương đương với phương trình .

x ,(

)

−

),1,1( −

≠

Vậy .

yx ,(

)

v =

2 =λ

* Véc tơ riêng ứng với giá trị riêng là nghiệm của hệ

(

− A λ 2

−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ) ⎢ ⎣

⎡ ⎢ ⎣

⎤ =⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

hay .

+ y

2 =

Hệ phương trình tương đương với phương trình .

,2(

)

−=

);1,2( −

≠

Vậy .

( ≥n

chiều đều có ít nhất Định lý 6.15: Mọi tự đồng cấu f trong không gian thực

một không gian con bất biến một chiều hoặc hai chiều.

. Đa thức đặc

}ne 0 có nghiệm thực

e ,..., 1 =λP )(

=)( λ

I λ

−

là đa thức bậc của Chứng minh: Giả sử A là ma trận của tự đồng cấu f trong cơ sở { P

n λ. Nếu phương trình 0≠v

sao cho . Không gian con

)( λ= 0 0

vf =λP )(

không có nghiệm thực

f . Nếu phương trình ib

(xem phụ lục). Xét hệ phương trình tuyến tính phức trưng 0λ thì theo Định lý 6.14 và Định nghĩa 6.9 tồn tại một chiều sinh bởi { bất biến đối với }v a +=1λ thì có ít nhất một nghiệm phức

[

]

A λ − 1

M 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

z ⎤ 1 ⎥ M ⎥ ⎥ nz ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

det

A λ −

(

(6.21)

,...,

)

) 0 I 1 = z ( 1 ,...,

hệ phương trình (6.21) tồn tại nghiệm không đồng thời bằng 0, nghiệm Tương tự như trường hợp hệ phương trình thuần nhất thực (5.9), vì z ( 1 nên nz ) không thể là nghiệm thực.

x ,..., 1

y ,..., 1

thì và không tỉ lệ. Thật

n thì

x 1 ...

+ ,

iy x

z = Giả sử 1 x ,1 ky = 1

... , ,1 ky = n

−

)

[

]

[

]( 1

[ −⇒

]

λ 1

M 0

M x

M z

M x

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ n

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ n

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ n

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

105

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

vậy, nếu

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

điều này trái với giả thiết 1λ là một số phức nên (6.21) không thể có nghiệm thực khác 0.

... ++

ex 11

y ,..., 1

x ,..., 1

ey 11

nney

Đặt không tỉ , vì và

... ++ { uv, }

lệ nên hệ hai véc tơ , nnex độc lập. Mặt khác bằng cách đồng nhất phần thực và phần ảo của số

phức ta suy ra

−

M y

M x

M y

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ n

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ n

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ n

)( vf

;

)( uf

= =

− +

⎧ ⎨ ⎩

(6.22) Vậy

f .

span

{ uv ,

}

Do đó là không gian con hai chiều bất biến đối với

6.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá được

Định nghĩa 6.13: Tự đồng cấu f trong không gian véc tơ V chéo hoá được nếu tồn tại một

cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo.

V gồm các véc tơ riêng của f .

Từ định nghĩa này ta thấy rằng f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của

Một cách tương đương, ta nói ma trận A chéo hoá được nếu tồn tại ma trận không suy biến

T 1−

là ma trận chéo. sao cho

v ,..., 1

Định lý 6.16: Giả sử là các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêng phân biệt

v ,..., 1

mλλ ,..., 1

}mv

độc lập tuyến tính. của tự đồng cấu f thì hệ véc tơ {

v ,..., 1

}kv

độc lập tuyến tính với Chứng minh: Ta chứng minh quy nạp theo k rằng hệ {

mk ≤≤1

1=k

1 ≠v

hệ một véc tơ là độc lập tuyến tính. * Khi

≤≤

−

v ,..., 1

}kv độc lập. Thật vậy, giả sử

với độc lập tuyến tính. Ta chứng minh hệ

,...,

}

{ v 1

k v ,

+k 1

* Giả sử hệ { v

... ++

vx 11

vx kk

v + k 1

1 +

)

⇒

... ++

vxf ( 11

vx kk

v + k 1

1 +

(6.23)

...

⇒

vx 111

vx kkk

λ k

v 1 +

! +

1 +

106

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

(6.24)

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

1+kλ vào (6.23) rồi trừ cho (6.24) ta được

)

... ++

−

( λ k

λ k

vx kk

1 +

Nhân

v ,..., 1

mλλ ,..., 1

độc lập và các khác nhau từng đôi một suy ra

( λ k 1 + Vì { x ... =

vx ) 111 }kv 0 ⇒=

x 1

+k 1

V có

chiều

nghiệm thực phân biệt thì đúng Hệ quả 6.17: Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f trong không gian f chéo hoá được. n

nghiệm phân biệt nên

Chứng minh: Vì đa thức đặc trưng có giá trị riêng này là một hệ độc lập, do đó là một cơ sở của véc tơ riêng tương ứng V gồm các véc tơ riêng của f .

với Vậy f chéo hoá được.

m 1

Hệ quả 6.18: Giả sử đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f chỉ có các nghiệm thực:

++ ...

n ()1(

...(

)

)( λ

−=

m 1

− λλ 1

kλλ ,..., 1 :

n và các ,...,1= i k

k = P − λλ k nhau từng đôi một. Khi đó f chéo hoá được khi và chỉ khi với mọi

với khác

dim

V =λ i

. (6.25)

(⇐

Vλ i

Chứng minh: Trong mỗi ta chọn một cơ sở gồm véc tơ. Hệ véc tơ gộp

V gồm các véc tơ riêng của f . Vậy f chéo hoá được.

(⇒ : Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại cơ sở gồm các véc tơ riêng để ma trận f

) có dạng chéo

nμ

μ ⎡ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

n ()1(

)

⇒

)( λ

−=

−

)...( μλμλ n

lại từ các véc tơ của các cơ sở vừa chọn là một hệ độc lập tuyến tính, do đó hệ này là một cơ sở của

nμμ ,...,

kλλ ,..., 1

phải trùng với . Suy ra các giá trị riêng

,...,1=

Vậy có đúng giá trị riêng trong các . Do đó có đúng

im véc tơ riêng ứng với giá trị riêng

nμμ ,..., dim

1 iλ , nghĩa là

iλ , im

107

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

. bằng V =λ i

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

6.5.5 Thuật toán chéo hoá

Bài toán 1: Cho tự đồng cấu f trên không gian V . Hãy tìm cơ sở của V để ma trận

(cid:153) f trong cơ sở này có dạng chéo.

. Tìm ma trận không suy biến sao cho Bài toán 2: Cho ma trận A vuông cấp

có dạng chéo. (cid:153) T 1−

}ne

Cho tự đồng cấu f trong không gian véc tơ V . Giả sử

1=B { e ,..., là một cơ sở là B A . Khi đó bài toán 1 trở thành bài toán 2. Ngược

trong V và ma trận của f trong cơ sở

(cid:22)

n (cid:22) →:

có ma trận trong cơ sở chính lại, cho ma trận vuông A ta xét ánh xạ tuyến tính

A . Khi đó bài toán 2 trở thành bài toán 1.

tắc là

,...,

Vì vậy, để giải hai bài toán này ta cần tìm cơ sở gồm các véc tơ riêng

{ e ' 1 B sang

}ne ' 'B

=B ' của f và ma trận cần tìm T chính là ma trận chuyển từ cơ sở các bước sau:

. Vậy ta cần thực hiện

det

det(

)

:)( λ

−

I λ

(

)

m 1

Bước 1: Tìm nghiệm của phương trình đặc trưng:

n ()1(

)

...(

)

⇒

)( λ

−=

− λλ 1

− λλ k

...

ex 11

iλ ta tìm các véc tơ riêng

nnex

Bước 2: Với mỗi giá trị riêng có

...

(

)

,1 x

là nghiệm của hệ phương trình

]

A λ − i

M 0

M x

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ 1 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ n

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.26) [

n −=

( Ar

λ− i

Tập hợp nghiệm là không gian con chiều; .

i ≤≤1

d < i m i

Nếu thì f không hoá chéo được. với i nào đó,

iλ , với mọi

d = i m i . Hệ gồm

Nếu thì ta chọn véc tơ độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng

,...,1=

++ ...

m 1

im m k =

các véc tơ riêng này là cơ sở cần tìm.

− 4

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 3 ⎦

108

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ví dụ 6.4: Chéo hóa ma trận

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

−

− 9

− 4

− 6

− 9

)( λP

− 0

−

3 −−

−

3 −−

)(1

)(

−

) λ

− λλλ

5 −− 8

− 5

−

Đa thức đặc trưng của A

−=

λ 1

λ 2

λ 3

. Do đó A có các giá trị riêng

zyx ), ,(

1−=λ

v =

− 5

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

−

*) Giá trị riêng có véc tơ riêng là nghiệm của hệ phương trình

0 6

3 9

1 − 5

↔

−

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Ta có:

⇒

0 0

y z

3 x = 4 −=

y =− z =+

⎧ ⎨ ⎩

3 x ⎧ ⎨ 4 x ⎩

Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ:

xx 4,3,

−

)4,3,1( −

(

)

=e '1

chọn .

zyx ), ,(

1=λ có véc tơ riêng

v =

− 3

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

−

**) Giá trị riêng là nghiệm của hệ phương trình

1 9

1 − 3

0 6

↔

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎦

109

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ta có:

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

−

⇒

2 −=

z =+

⎧ ⎨ ⎩

Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ:

xx ,

2, −

)2,1,1( −

(

)

=e '2

chọn .

zyx ), ,(

3=λ có véc tơ riêng

v =

− 9

− 1

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

là nghiệm của hệ phương trình ***) Giá trị riêng

1 − 9

1 − 1

0 6

↔

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

011 ⎡ ⎢ 00 ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ta có

⇒

x 4

0 0

+ x

= =

⎧ ⎨ ⎩

y −= 4 − 3

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ:

−

)4,3,3( −−

=e '3

4 − 3

x 3

⎛ ⎜ ⎝

⎞ =⎟ ⎠

chọn .

e=B { '

' 1

}3 '

. Ma trận chuyển cơ sở Cơ sở mới gồm các véc tơ riêng

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

001

1AT −

⎡− ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Do đó .

− 3

− 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

110

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ví dụ 6.5: Chéo hóa ma trận

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

−

λ − 2

− 3

)( λP

− 0

− 5

− 0

−

)( λλ

− 0 2− .)1

Đa thức đặc trưng của A

5 1 =λ và

1 2 =λ (kép).

Do đó A có các giá trị riêng

zyx ), ,(

5=λ có véc tơ riêng

v =

− 2 − 0

0 4

y z

0 0

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

là nghiệm của hệ phương trình: *) Giá trị riêng

−=

⇒

⎧ ⎨ ⎩

có hệ phương trình tương đương:

yy ,

)0,1,1(

)0,1,1( −

( −=

)

−=e '1

chọn .

zyx ), ,(

1=λ có véc tơ riêng

v =

− 2

− 0

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

**) Giá trị riêng là nghiệm của hệ phương trình

0=− y

Hệ phương trình trên tương đương với phương trình: , z tuỳ ý.

zxx , ,

)0,1,1(

)1,0,0(

)0,1,1(

)1,0,0(

(

)

'2 =e

'3 =e

011

005

chọn , .

1AT −

010

100

⎡− ⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

111

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ma trận chuyển cơ sở và .

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

− 1

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎦

Ví dụ 6.6: Chéo hóa ma trận

−

1 −− 1

)( λ

−

1 −− 1

1 −−

−

Đa thức đặc trưng của A

2)2

1( −=

) λ

1( −=

)( λλ

0 0

2 −− 0

0 2 −−

−=λ

11 =λ và

(kép). Đa thức đặc trưng có nghiệm

zyx ), ,(

v =

11 =λ có véc tơ riêng

− 1

− 0

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

−

*) Giá trị riêng là nghiệm của hệ phương trình

2 − 1

1 1

↔

−

↔

1 2 − 1

− 0

−

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡− ⎢ 3 ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Ta có

=+−

⇒

−

⎧ ⎨ ⎩

Vậy hệ phương trình trên tương đương với:

xxx , ,

)1,1,1(

(

)

'1 =e

chọn .

zyx ), ,(

v =

−=λ

y z

111 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ 111 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 111 ⎣ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

112

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

**) Giá trị riêng có véc tơ riêng là nghiệm của hệ phương trình

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

z 0=++

Hệ phương trình trên tương đương với phương trình: .

zyz , ,

)1,0,1(

)0,1,1( −

z −+

( −−=

)

)1,0,1(

−=e '2

−=e '3

Chọn . , )0,1,1(

− 1

− 0

1AT −

− 0

−

1 ⎡ ⎢ 1 ⎢ ⎢ 1 ⎣

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ma trận chuyển cơ sở và .

− −

4 6

87 77

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ví dụ 6.7: Chéo hóa ma trận

λ − 4

)(P λ

− λ 22 + 6

− 1 −− λ 7

− 7 −− 7 −

−

5 −− 0

1 −− 0

1( +=

) λ

1( +=

) λ

−

− −

−

1 −−

−

Đa thức đặc trưng của A

1 −− 0

2)1

1( +=

− −

) λ

−

)( λλ

−

−=λ

3 1 =λ và

Đa thức đặc trưng có nghiệm (kép).

zyx ), ,(

v =

−=λ

− −

4 6

86 87

y z

0 0

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

113

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Giá trị riêng có véc tơ riêng là nghiệm của hệ phương trình

Chương 6: Ánh xạ tuyến tính

−

y 4 3 +

Biến đổi ta được hệ phương trình tương đương:

⇒

xxx ,2,

)1,2,1(

(

)

−

⎧ ⎨ ⎩

⇒

)1,2,1(

dim

⎧ ⎨ ⎩ { x

}(cid:22)∈

<=λV 2

2λ

có nên ma trận không Vậy không gian riêng

114

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

chéo hoá được.

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

7. CHƯƠNG 7: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

7.1 TÍCH VÔ HƯỚNG, KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE

7.1.1 Các định nghĩa và tính chất

(cid:22)

→× VVη

vu ),(

ηa

Định nghĩa 7.1: Một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V là một ánh xạ

sao cho khi cố định mỗi biến thì nó trở thành ánh xạ tuyến tính đối với biến kia.

, ;

xx , 1

yy , 1

(cid:22)∈2

vvuvuu 1

, ∈21

( η

ux 11

vux ), 22

( x η 1

vu ), 1

( η 2

vu ), 2

Nghĩa là với mọi , với mọi thì

)

vu ,(

)

vyu ,( 11

vy 22

y η 1

vu ,( 1

η 2

. (7.1)

Định nghĩa 7.2: Dạng song tuyến tính η được gọi là có tính:

Vvu ∈,

vu ),(

uv ),(

i) Đối xứng: Nếu với mọi ; (7.2)

0),(

≥uuη

Vu ∈ ;

ii) Không âm: Nếu với mọi (7.3)

0),(

≤uuη

Vu ∈ ;

iii) Không dương: Nếu với mọi (7.4)

=uuη ),(

0=u

iv) Xác định: Nếu khi và chỉ khi . (7.5)

>uuη ),(

với mọi . 0≠u Ta dễ dàng thấy rằng η xác định dương khi và chỉ khi

Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương được gọi là tích vô hướng. Ta thường

v là

vu,

),( vuη

thay cho . ký hiệu tích vô hướng của và

Một không gian véc tơ V với một tích vô hướng <,> được gọi là không gian véc tơ

115

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Euclide.

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Ví dụ 7.1: Trong không gian véc tơ các véc tơ tự do trong mặt phẳng và không gian véc

tơ các véc tơ tự do trong không gian, ta xét tích vô hướng của hai véc tơ theo nghĩa thông

cos( vu ),

=⋅

vu ⋅

thường .

Ta dễ dàng kiểm chứng được tích vô hướng (theo tên gọi thông thường) là một dạng song

tuyến tính xác định dương, do đó nó là tích vô hướng theo định nghĩa trên. Vậy , là hai

không gian véc tơ Euclide.

(cid:22)

,...,

)

(cid:22) ;

,...,1

∈

{ ( 1 x

x i

Ví dụ 7.2: Xét không gian véc tơ

,...,

)

,...,

)

(cid:22)∈

x =

( 1 y

x ( 1

Với , , ta định nghĩa:

, yx

... ++

yx 11

nn yx

(7.6)

là một không gian véc tơ Euclide.

) , ,n(cid:22) ) , ,V

là một không gian véc tơ Euclide. thì ( Giả sử (

Vv ∈ ta định nghĩa và ký hiệu chuẩn hay môđun của véc

Định nghĩa 7.3: Với mỗi véc tơ

tơ v qua biểu thức

, vv

. (7.7)

1=v

Nếu thì v được gọi là véc tơ đơn vị.

Tính chất 7.1: Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

, vu

≤

⋅

Vvu ∈,

thì (7.8) Với mọi

vu ,

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tỉ lệ.

Chứng minh: Nếu một trong hai véc tơ bằng thì cả hai vế của bất đẳng thức trên đều

bằng 0 , do đó bất đẳng thức nghiệm đúng.

utv ,

0≠v

≥

ta có: . Giả sử thì với mọi (cid:22)∈t

utv ,

2 vt

uvt 2 ,

Mặt khác là một tam thức bậc hai đối với t

uv ,

' =Δ

−

≤

và luôn luôn không âm. Vì vậy . Từ đó suy ra bất đẳng thức

Cauchy-Schwarz.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

116

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

, vu

, vkv

u =

⋅

Khi thì .

, vu

⋅

0' =Δ

(cid:22)∈0t

Ngược lại: nếu thì . Suy ra tồn tại sao cho

−=⇒=

, uvt 0

vt 0

n(cid:22)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz vào không gian ta có bất đẳng thức

Bunnhiacopsky:

... ++

≤

... ++

(

2 )

yx nn

yx 11

( 2 x 1

)( 2 y 1

(7.9)

,...,

x 1

ty 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .

7.1.2 Trực giao - trực chuẩn hoá Gram-Shmidt

Vvu ∈,

u ⊥ , nếu v

=vu

Định nghĩa 7.4: Hai véc tơ gọi là trực giao nhau, ký hiệu .

,...,

} của V được gọi là hệ trực giao nếu hai véc tơ bất kỳ của hệ

{ v 1

S = S đều trực giao nhau.

Hệ các véc tơ

Hệ trực giao các véc tơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn.

Định lý 7.2: Mọi hệ trực chuẩn là hệ độc lập tuyến tính.

,...,

... ++

vx 11

nnvx

{ v 1= với mọi

Chứng minh: Nếu hệ thì

} nv trực chuẩn và ,...,1= i

... ++

x i

vx 11

vx nn

v i

,...,

}

{ u 1=

,...,

} sao cho

{ v 1

Định lý 7.3: Giả sử là một hệ độc lập tuyến tính các véc tơ của không

,...,1=

span

,...,

span

,...,

nu .V Khi đó ta có thể tìm được hệ trực chuẩn }

} ;

{ u 1

. với mọi gian Euclide { v 1

'S theo các bước quy nạp sau đây mà được gọi là

Chứng minh: Ta xây dựng hệ trực chuẩn

quá trình trực chuẩn hoá Gram-Shmidt.

1=k

1 ≠u

v = 1

u 1 u 1

. Đặt . ♦) : Vì hệ S độc lập nên

2=k

−=

2 =v

vvu , 112

u = 2

kv 1

2 ≠v v

: Xét , ta có (vì nếu thì , ♦)

1, vv

v = 2

span

}

{ vv , 21

{ uu , 1

}2 .

117

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

trực chuẩn và điều này trái với giả thiết hệ S độc lập). Đặt , hệ {

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

1−k

−kv

trực chuẩn sao cho . Tức có { 1,..., v

span

,...,

span

{

u 1

v 1

} − = 1

. Tương tự trên ta xét ♦) Giả sử đã xây dựng được đến }− { 1

−=

vvu , i i

k 1 − ∑ i 1 =

(7.10)

v 1,...,

ta cũng có thì là tổ hợp tuyến tính của , do đó là

0=kv −kv 1 , điều này mâu thuẩn với giả thiết hệ S độc lập). Đặt

0≠kv 1,..., u

tổ hợp tuyến tính của ( vì nếu −ku 1

v = k

(7.11)

;

,...,1

⊥

v i

}kv

span

,...,

span

,...,

}

v ,..., 1 }

{ v 1

− { v 1

{ u span 1

}k .

1 −

trực chuẩn và thì . Vậy hệ {

3(cid:22)

S =

{ uuu 2 1

Ví dụ 7.3: Hãy trực chuẩn hoá hệ trong

)1,1,1(

)1,2,1(

−=u

1 =u

3 =u

với , , .

v 1

1 =u

1 3

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

u 1 u 1

Bước 1: . ⇒

−=

vvu , 112

)1,1,1(

−=

4 3

2 3

1 3

⎛ −= ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ −+⎟ ⎠

Bước 2:

2 =v

2 3

2 6

1 6

⎛ −= ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

. ⇒

−=

−

v 3

vvu , 113

vu , 3

)1,2,1(

−=

−

1 2

4 3

1 3

1 6

2 6

1 6

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

⎞ −⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ +⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

Bước 3:

−

3 =v

1 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

. ⇒

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

118

} là hệ véc tơ trực chuẩn hoá của hệ {

{ , vv 1

v 3

uuu 1 2

}3 .

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

7.1.3 Cơ sở trực chuẩn

Định nghĩa 7.5: Một cơ sở của không gian véc tơ V mà là hệ trực chuẩn được gọi là một cơ

sở trực chuẩn.

Định lí 7.4: Mọi hệ trực chuẩn của V đều có thể bổ sung thêm để trở thành cơ sở trực

chuẩn.

Chứng minh: Hệ gồm k véc tơ trực chuẩn S là hệ độc lập tuyến tính nên ta có thể bổ sung thêm để được một cơ sở của V .Trực chuẩn hoá Gram-Shmidt cơ sở này để được một cơ sở trực chuẩn của V . Trong quá trình trực chuẩn hoá k véc tơ của hệ S không thay đổi vì vậy thực chất ta đã bổ sung vào hệ S để có cơ sở trực chuẩn của V .

Vvu ∈,

V thì với mọi

}ne

e ,..., 1

là một cơ sở trực chuẩn của , ta có Hệ quả 7.5: Mọi không gian véc tơ Euclide đều tồn tại cơ sở trực chuẩn. Định lý 7.6: Giả sử {

... ++

eev , 11

n eev ,

(7.12) i)

vu ,

... ++

eu , 1

ev , 1

eu , n

ev , n

ii) (7.13)

... ++

nev ,

ev , 1

iii) (7.14)

Chứng minh: Các đẳng thức trên được suy ra từ các khẳng định sau:

... ++

nnex

nney

ex 11

ey 11

, Nếu

,...,1=

... ++

, ev i

ex 11

eex nn i

x i

với mọi thì

, uv

... ++

ex 11

ex nn

ey 11

ey nn

yx 11

yx nn

và .

Vv ∈ được gọi là trực giao với tập con

VS ⊂ , ký hiệu

v ⊥ ,

7.1.4 Không gian con trực giao, phần bù trực giao

v ⊥ với mọi

nếu Định nghiã 7.6: Véc tơ u ∈ . S

v ⊥ với mọi

S ⊥ 1

1S .

∈

, nếu trực giao với tập con , ký hiệu

Tập con uS 1,

Tính chất 7.7:

span

v ⊥ thì S

⊥

119

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

1) Nếu .

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Wv ⊥ khi và chỉ khi

v ⊥

}ke

e ,..., 1

là một cơ sở của , với mọi thì W

,...,1=

2) Giả sử { .

vVv

VS ⊂ . Ta ký hiệu

, ∈∀⊥

}Su .

{ ∈=⊥

3) Với mọi tập con

⊥S là không gian véc tơ con của V .

Tập

⊥

⊥ WWV ⊕=

4) Với mọi không gian con W của V . Ta có:

) W ⊥⊥

, (

⊥WW ,

Hai không gian con được gọi là phần bù trực giao của nhau.

u span∈ S

,...,

... ++

kkux

k ∈

ux 11

u 1

, , Chứng minh: 1) Với mọi

uv ,

⇒

... ++

uxv , 11

ux kk

uvx , 1 1

⊥

2) Hiển nhiên từ 1).

φ≠⇒∈

⊥∈ S

u ∈ : S

(cid:22)∈βα, ,

1, vv

. Với mọi , 3)

v +⇒

⊥∈ S

v 1 βα

uv , 1

uv , 2

v uv , βα + 1 2 4) Giả sử {

}ke

e ,..., 1

là một cơ sở trực chuẩn của W .

Vv ∈∀

... ++

eev , 11

, k eev

Wk ∈

, đặt .

...,

=∀=

⊥∈−⇒ Wuv

euv − i

⊥

Ta có: .

WWV

. Vậy

uu ,

WWV

⊥∩∈∀ WWu

=⇒=

⊥⊕=

Ngoài ra thì , do đó .

)⊥⊥⊂ WW (

Theo định nghĩa ta dễ dàng có .

∈

⊥∈

Wv ∈

⊂

=⇒

uv 1

, WuWu 1

(

) ⊥⊥

uv ,

0 =⇒

u 1

uu , 2

uu , 1

uu , 2

, Ngược lại với mọi

⊂

∈=⇒=⇒

) ⊥⊥

Wuv 1

. ⇒ (

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

120

,...,

}mk +

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

, ee k k

+ ,..., 1

}mk e +

là một cơ sở trực chuẩn của ⊥W thì { e 1

Nếu hệ véc tơ { + ,..., e 1 k là cơ sở trực chuẩn của V .

7.2 MA TRẬN TRỰC GIAO VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRỰC GIAO

7.2.1 Ma trận trực giao

IAAt = .

Định nghĩa 7.7: Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu

A là ma trận trực giao khi

]ijaA = [

nÕu

Nếu thì

nÕu

≠

1 ⎧ ⎨ 0 ⎩

n ∑ aa ij i 1 =

jkδ là ký hiệu Kronecker.

; (7.15)

A =−1

Như vậy ma trận trực giao A là khả nghịch và có

. Mặt khác từ (7.15) ta cũng thấy rằng ma trận A trực giao khi và chỉ khi các véc tơ cột và các véc tơ hàng của A tạo thành hai hệ trực chuẩn.

AAt

±=⇒=

. Ta có

− 1

−

⎡ 31 ⎢ 31 ⎢ ⎢ 31 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ví dụ 7.4: Ma trận là ma trận trực giao.

cos

sin

cos

sin

Ví dụ 7.5: Mọi ma trận vuông cấp 2 trực giao đều có dạng

sin

cos

sin

ϕ cos

−

⎡ ⎢ ⎣

ϕ ⎤ ⎥ ϕ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ϕ ⎦

hay . (7.16)

IAAt = .

Thật vậy, ta dễ dàng kiểm chứng hai ma trận A ở trên thoả mãn

IAAt = thì

ba c d

a c db

ba dc

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

01 ⎡ ⎢ 10 ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

⎤ =⎥ ⎦

121

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ngược lại nếu và

)1(

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

)2(

)3(

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ b ⎩

Suy ra

db,

1±=A

Mặt khác từ và (2) & (3) suy ra là nghiệm duy nhất của hệ phương trình

⎧ ⎨ bx ⎩

Cramer

b −=

d =

c A

a A

cos

sin

, . ⇒

1=A

+ b

sin

cos

−

⎤ ⎥ ⎦

ϕ ⎤ ⎥ ϕ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

cos

sin

thì và . ⇒ ♦) Nếu

1−=A

+ b

sin

cos

−

⎤ , ⎥ ⎦

⎤ ⎥ ϕ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

thì . ⇒ ♦) Nếu

Định lý 7.8: Ma trận của một hệ trực chuẩn viết trong cơ sở trực chuẩn là một ma trận trực giao. Đặc biệt mọi ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn sang cơ sở trực chuẩn là ma trận trực giao.

{

v ,..., 1

}nv

viết trong cơ sở là ma trận của hệ trực chuẩn

]ijaA = [ }ne

ea i ij

, ve i

e i

n Từ (7.12) ta có ∑ 1 =

n ∑ i 1 =

δ jk

n Từ (7.13) ta có ∑ aa ij 1 =

trực chuẩn . Chứng minh: Gọi 1=B { e ,...,

Vậy A là ma trận trực giao.

7.2.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao

, ,

, ,'

là hai không gian véc tơ Euclide. Ánh và ( V

Vvu ∈,

Vf → được gọi là ánh xạ trực giao nếu với mọi

: xạ tuyến tính Định nghĩa 7.8: Giả sử ( V :

(

vfuf ), )(

vu ,

' =

(7.17)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

122

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Ta dễ dàng thấy rằng mọi ánh xạ tuyến tính trực giao đều đơn cấu. Vì vậy mọi tự đồng cấu

tuyến tính trực giao là đẳng cấu.

Định lý sau chỉ ra rằng, nếu điều kiện (7.17) thoả mãn đối với mọi véc tơ của một cơ sở trực

f trực giao khi và chỉ khi

V . Khi đó

V .

chuẩn nào đó thì f cũng là ánh xạ tuyến tính.

} ne nef (

là một cơ sở trực chuẩn của } ) là một cơ sở trực chuẩn của Định lý 7.9: Giả sử f là tự đồng cấu tuyến tính của không gian véc tơ Euclide V . 1=B { e ,..., { ef ( 1 ),...,

( ef

)

( ef i

, ee i

. Chứng minh: (⇒): Hiển nhiên vì

Vvu ∈,

),...,

})

ef ( 1

nef (

là cơ sở trực chuẩn thì với mọi : (⇐): Giả sử {

... ++

ex 11

nnex

ey 11

nney

vf (

uf )(

)

... ++

efx ( 1 1

efx ( n n

efy ( 1 1

efy ( n n

uv ,

... ++

yx 11

yx nn

⇒

7.2.3 Ma trận của tự đẳng cấu trực giao

f trong không gian Euclide V với cơ sở

Giả sử là ma trận của tự đẳng cấu

f là trực giao khi

}

]ijaA = [ 1=B { e ,..., trực chuẩn và chỉ khi A là một ma trận trực giao.

. Theo định lý 7.8 và định lý 7.9 thì tự đẳng cấu

Vậy ma trận của tự đẳng cấu trực giao trong một cơ sở trực chuẩn là một ma trận trực giao. Ngược lại, nếu A là ma trận trực giao và f là tự đồng cấu tuyến tính có ma trận trong cơ sở trực chuẩn là A thì f là ánh xạ trực giao.

Định lý 7.10: Mọi ma trận trực giao chỉ có các giá trị riêng là 1− hay 1.

Chứng minh: Giả sử f là tự đồng cấu trực giao có ma trận trong một cơ sở trực chuẩn nào

0≠v

λ=)( v

sao cho . đó là A . Nếu λ là một giá trị riêng của A thì tồn tại véc tơ riêng

( vf

)( vf

, vv

2λλλ v v

. Khi đó

( vf

)( vf

, vv

2 λ

Mặt khác ⇒

≠vv ,

12 =λ . Vậy

1±=λ

123

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

. ⇒

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

7.3 CHÉO HOÁ TRỰC GIAO MA TRẬN - TỰ ĐỒNG CẤU ĐỐI XỨNG

7.3.1 Bài toán chéo hoá trực giao

T t

là ma trận chéo. Cho ma trận A tìm ma trận trực giao T sao cho AT

Định lý 7.11( điều kiện cần): Nếu A chéo hoá trực giao được thì A là ma trận đối xứng.

T t AT

t AT

t =TAT

) =t

. Do đó , là ma trận chéo thì (

T t Chứng minh: Nếu AT At = .

vì T khả nghịch nên

Ngược lại, ta sẽ chứng minh nếu đối xứng thì chéo hoá trực giao được.

7.3.2 Tự đồng cấu đối xứng

Vvu ∈,

Vf →:

Định nghĩa 7.9: Tự đồng cấu được gọi là đối xứng nếu với mọi :

vuf ),

vfu )(

(7.18)

V thì tự đồng cấu f là đối xứng

}

Tính chất 7.12: Nếu là một cơ sở của

( 1=B { e ,..., ,...,1 n ,

, = j

khi và chỉ khi với mọi

ef (

)

ef ( i

e i

(7.19)

... ++

nnex

nney

ex 11

ey 11

uvf ),

(

)

... ++

efx ( n n

ey nn

ef (

)

ufv )( ,

e i

ef ( i

yx i

efx ( 1 1 n n ∑ ∑ 1 1 i j = =

ey 11 n n ∑ ∑ 1 1 i j = =

, : Thật vậy, nếu có (7.19) thì ∀

Như vậy để chứng minh một tự đồng cấu là đối xứng thì thay vì chứng minh công thức

Vuv ∈,

ta chỉ cần chứng minh công thức (7.19) đúng với một cơ sở nào đó. (7.18) đúng với mọi

7.3.3 Ma trận của một tự đồng cấu đối xứng trong một cơ sở trực chuẩn

f trong một cơ sở trực chuẩn

1=B { e ,...,

}ne

Giả sử là ma trận của tự đồng cấu

( ef

)

( ef

ea i ij

ee i i

]ijaA = [ n ∑ i 1 =

n ∑ i 1 =

(7.20) ⇒

,...,1

( ef

, = j

a ij

e i

: . Vậy với mọi

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

124

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Từ tính chất 7.12, kết hợp với (7.20) ta có:

Định lý 7.13: f đối xứng khi và chỉ khi ma trận A của f trong một cơ sở trực chuẩn nào

đó là ma trận đối xứng.

Định lý 7.14: Các giá trị riêng của một ma trận đối xứng là các số thực. Nói cách khác,

nghiệm thực. phương trình đặc trưng của ma trận đối xứng vuông cấp n có

Chứng minh: Giả sử f là tự đồng cấu đối xứng có ma trận trong một cơ sở trực chuẩn nào

a +=λ

. Giả sử là nghiệm của đa thức đặc trưng

Vvu ∈,

=)( λ

−

)( vf

−

. Khi đó theo Định lý 6.15 tồn tại hai véc tơ độc lập tuyến tính sao đó là ma trận đối xứng A cấp P I λ

)( uf

⎧ ⎨ ⎩

cho

), uvf

(

, uva

, uub

, ufv )(

, uva

, vvb

−

Do đó , .

uub ,

vvb ,

−

≥

0=b

. Nói cách khác, mọi nghiệm của ⇒ Vì f đối xứng suy ra

đa thức đặc trưng là nghiệm thực.

Định lý 7.15: Hai véc tơ riêng ứng với hai giá trị riêng khác nhau của một tự đồng cấu đối

xứng là trực giao nhau.

vf (

λ=

v 11

2 )

v 22

≠vv , 21

1 λλ ≠ 2

, ; ; Chứng minh: Giả sử

vf (

)

vv , 211

vf ( 1

v 1

vv , 212

thì

)

−

vvλλ ( , 2 21

=vv , 21

. ⇒ ⇒

V gồm các véc tơ riêng của f .

Định lý 7.16: Nếu f là tự đồng cấu đối xứng trong V thì tồn tại một cơ sở trực chuẩn của

(cid:22)∈1λ

ứng với giá trị riêng ,

span u

{ }1

W 1

u 1

1 =u

. Đặt . Chứng minh: Theo Định lý 7.14 f có véc tơ riêng { } (cid:22)λλ =∈

(

)

Wvf

)(

⊥∈∀ 1Wv

⊥∈ 1

uvf ), 1

ufv , ( 1

u 11

. , ⇒

f và

⊥ 1W

⊥⊕= 1 WWV 1

nên ta có thể xét: Vậy bất biến đối với

dim

=⊥

−

f 1

⊥ → W 1

⊥ W 1

W dim 1

⊥ W 1

125

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

, .

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

u ,..., 2

của gồm

⊥ }nu 1W V gồm các véc tơ

,...,

} là cơ sở trực chuẩn của

. Do đó các véc tơ riêng của Quy nạp theo số chiều của không gian thì có cơ sở trực chuẩn { { , 2 uu 1

riêng của f .

Hệ quả 7.17: Mọi ma trận đối xứng đều chéo hoá trực giao được.

Chứng minh: Giả sử f là tự đồng cấu đối xứng có ma trận A trong cơ sở trực chuẩn

,...,

}

{ e

gồm các véc

1=B { e ,..., tơ riêng của f . Gọi T là ma trận chuyển từ cơ sở

'=B }ne '1 ' thì T trực giao và

sang . Theo Định lý 7.16 tồn tại cơ sở trực chuẩn 'B

t AT

λ n

λ ⎡ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(7.21)

nλ

λ ,..., 1

trong đó là các giá trị riêng của A .

7.3.4 Thuật toán chéo hoá trực giao

có dạng chéo, ta thực hiện các bước sau: Muốn chéo hoá trực giao một ma trận đối xứng A , nghĩa là tìm ma trận trực giao T sao T t cho AT

Bước 1: Tìm các giá trị riêng của A (nghiệm của đa thức đặc trưng).

Bước 2: Trong mỗi không gian riêng tìm một cơ sở và trực chuẩn hoá Gram-Shmidt cơ sở

này.

Bước 3: Gộp các cơ sở đã được trực chuẩn hoá ở bước 2 ta có một cơ sở trực chuẩn của V .

Ma trận các véc tơ của cơ sở này là ma trận trực giao T cần tìm.

− 3

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎦

Ví dụ 7.6: Chéo hoá trực giao ma trận đối xứng

−

I λ

4 4

2 1

λ − 2

2 −

2 1 −

− −

λ λ

− 3

− λ 1

λ 1

−

Đa thức đặc trưng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

126

) λ

4( −−=

2 () λλ

− 0

2 3

− 0

2 3

−

2 2 −−

− 4

−

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

zyx ), ,(

v =

1 −=λ

− 5

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

, véc tơ riêng là nghiệm của hệ ♦Với giá trị riêng

↔

2 2

5 1

0 0

3 3

10 00

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 1 − ⎥ ⎥ 5 ⎦

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 3 − ⎥ ⎥ 3 ⎦

11 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 1 − ⎥ ⎥ 0 ⎦

21 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 1 − ⎥ ⎥ 0 ⎦

ta có

Hệ phương trình trên tương đương với hệ

2 −= z

z =−

⎧ ⎨ ⎩

có nghiệm

,2(

yyy ,

)

)1,1,2(

−=

)1,1,2( −

−=v 1

. Chọn . ⇒

1,6

−=u 1

Trực chuẩn hoá được .

zyx ), ,(

v =

2 =λ

− 2

− −

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎥ 1 ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(nghiệm kép), véc tơ riêng là nghiệm của hệ ♦ Với giá trị riêng

− 2

− 0

↔

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎥ 1 ⎦

ta có

=−−

Hệ phương trình trên tương đương với phương trình

zyx ,( ),

zy ,

0,1,

y 2

z 2

1 2

⎛ ⎜ ⎝

⎞ =⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ +⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ 1,0, ⎟ ⎠

127

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

. ⇒

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

1 2

⎞ 1,0, ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎝

⎞ , 0,1, v ⎟ 3 ⎠

⎛ ⎜ ⎝

. Chọn

Trực chuẩn hoá hai véc tơ này ta có

2,5

)0,5

5,30

)30

1,30 −

2 =u

=u 3

002

516

, .

T t

− 1

− 5

⎡− ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Vậy và .

7.4 DẠNG TOÀN PHƯƠNG

7.4.1 Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương

là một dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ V .

(cid:22)→×VV:η }

là một cơ sở của Giả sử 1=B { e ,..., ne

)

]ijaA = [

a η= ( ij

ee , i

Ma trận , (7.22)

được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính η trong cơ sở . B

; uV

∀

∈

... ++

nnex

nney

ex 11

ey 11

),( vu

)

( η

... ++

ex nn

ey nn

và

)

, ee i

yx i

ex 11 n ∑ ( η ji , 1 =

ey 11 n ∑ yxa ij i ji , 1 =

(7.23)

(7.23) được gọi là biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính η trong cơ sở . B

(cid:22)→×VV:η

Ngược lại ta có thể chứng minh được rằng ánh xạ xác định bởi

),(η vu

n ∑ yxa i ij ji , 1 =

là một dạng song tuyến tính có ma trận thoả mãn (7.22) và (7.23).

(cid:22)→×VV:η

Định nghĩa 7.10: Giả sử là dạng song tuyến tính trên không gian véc tơ

→VQ

V . Ánh xạ

vQ )(

vv ),(

η=

(cid:22)

được gọi là một dạng toàn phương trên V .

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

128

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

vVv

;

∈∀

... ++

V ,

}

nnex

ex 11

1=B { e ,..., theo (7.23) ta có

)( vQ

),( vv

)

, ee i

xx i

n ∑ ( η , 1 ji =

n ∑ xxa i ij , 1 ji =

Nếu là một cơ sở của

(cid:22)

: →VQ

Ngược lại ánh xạ có biểu thức toạ độ trong cơ sở

)( vQ

iex i

n ∑ xxa ij i , 1 ji =

n ∑ 1 i =

, với (7.24)

)

a η= ( ij

ee , i

. là một dạng toàn phương ứng với dạng song tuyến tính η sao cho

(cid:22)

: →VQ

V có công thức xác định ảnh

)(vQ là một đa thức thuần nhất bậc hai đối với các toạ

Nói cách khác một dạng toàn phương là một hàm số xác định trong không

gian véc tơ độ của véc tơ v trong cơ sở bất kỳ.

)( vQ

n ∑ xxa i ij , 1 ji =

Chú ý rằng trong biểu thức ta có thể thay

xxa i ij

xxa i ji

' ij

xx i

xx i j

a ij

' + ij

thoả mãn . bởi

η sao cho

Vì vậy cùng một dạng toàn phương có nhiều dạng song tuyến tính

vQ )(

vv ),(

η=

. Nhưng nếu ta thêm điều kiện

)

( η

a = ij

ee , i

e i

nghĩa là

thì với mỗi dạng toàn phương chỉ có duy nhất một dạng song tuyến tính đối xứng

vQ )(

vv ),(

η . Q

η=

thỏa mãn . Dạng song tuyến tính đối xứng η này được gọi là dạng cực của

a = ij

Nếu ma trận A xác định bởi (7.22) thoả mãn thêm điều kiện

trong cơ sở . xứng) thì A cũng còn được gọi là ma trận của dạng toàn phương (ma trận A đối B

)

(

ex 11

ex 22

, xx 1

x 3

ex 33

vQ )(

−

2 x 1

xx 21

xx 31

x 3

xx 32

129

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

, của là Ví dụ 7.7: Tìm ma trận của dạng toàn phương Q có biểu thức toạ độ trong cơ sở chính tắc 3(cid:22)

vQ )(

−

2 x 1

xx 21

xx 12

xx 31

xx 13

x 3

xx 32

xx 23

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

cơ sở chính tắc Do đó ma trận A của

− 1

− 2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

7.4.2 Biểu thức toạ độ của dạng toàn phương trong các cơ sở khác nhau

}ne

1=B { e ,...,

là hai ma trận của trong hai cơ sở , .

]ijaA [ '= ' V :

)

a η=

'=B

}ne '

a η= ( ij

e ,'( i

ee , i

' ij

, . của Giả sử Q là dạng toàn phương trong không gian véc tơ V có dạng cực tương ứng là η. ]ijaA = [ { '1 ,..., e

T =

]ijt [

n ∑ et i ij 1 i =

Gọi là ma trận chuyển từ cơ sở sang :

' ij

,'( e i

)' j

n ∑ et kki 1 k =

n ∑ et l lj 1 l =

⎛ ⎜ η ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

, tee ) k l

n n ⎛ ⎜ ∑ ∑ (η t ki ⎜ ⎝ k 1 1 = =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

n n ⎛ ⎜ ∑ ∑ t ta kl ki ⎜ ⎝ k 1 1 = =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

Khi đó

t=' TA

(7.25) Vậy

Nếu ta ký hiệu toạ độ của các véc tơ dưới dạng ma trận cột:

...

... ++

nnex

' n ex

ex 11

' ' ex 11

x 1

' 1

'TX

X =

M nx

M nx '

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Đặt , thì

Xét ma trận một hàng một cột

t XAX

[ vQ )(

]

' ij

n ∑ ' xxa i ji 1 , =

⎡ n ∑ ⎢ xxa ij i ⎢ ji 1 , = ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎦

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

130

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

TX (

TXA (

t (' TX

XAT )

t ' XAX

[ vQ )(

]

. (7.26)

7.4.3 Biểu thức toạ độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương

Ta cần tìm một cơ sở của V để trong cơ sở này ma trận của dạng toàn phương là ma trận chéo, nghĩa là biểu thức toạ độ có dạng chính tắc:

vQ )(

... ++

2 xa 111

xa 22

nn xa

(7.27)

7.4.4 Đưa về chính tắc bằng chéo hoá trực giao

V với cơ sở trực chuẩn

Giả sử là dạng toàn phương trong không gian Euclide

}

]ijaA = [

1=B { e ,...,

có ma trận (ma trận đối xứng). Theo Hệ quả (7.17) ta có thể hoá

T t

]ijaA = [

là ma chéo trực giao ma trận , nghĩa là ta tìm được ma trận trực giao T để

'B có dạng chính tắc (7.27).

sang cơ sở trực chuẩn gồm các véc tơ riêng

B 'B

trận chéo. T là ma trận chuyển từ cơ sở A .Vì vậy biểu thức (7.24) trong cơ sở của

(cid:22)

3 →

vQ )(

(

)

−

v =

x 3

xx 21

xx 31

xx 32

xx , 1

x 3

Ví dụ 7.8: (cid:22)

3 (cid:22)

− 3

−

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 1 ⎥ ⎥ ⎦

là: Ma trận của Q cơ sở chính tắc của

e=B { '

' 1

}3 '

: Theo Ví dụ 7.6 tồn tại cơ sở

1,6

2,5

)0,5

−=e '1

'2 =e

, ,

5,30

)30

1,30 −

=e '3

(

)

v =

xx , 1

x 3

ex ' ' 11

ex ' ' 33

vQ )(

x '4

−=

2 x '2 1

x '4 3

V (không giả thiết không gian

}

Giả sử trong cơ sở của không gian véc tơ 7.4.5 Đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Lagrange 1=B { e ,...,

131

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Euclide) biểu thức toạ độ của dạng toàn phương có dạng:

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

)( vQ

iiex

a = ij

n ∑ xxa i ij , 1 ji =

n , ∑ v = 1 i =

. ,

Ta thực hiện các phép đổi toạ độ sau:

11 ≠a

)( vQ

a 11

2 x 1

x 1

x i

n a 1 i ∑ a 2 11 i =

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

0≠iia n ⎞ ⎟ ∑ xxa ij i ⎟ ⎠ , 2 ji =

, chẳng hạn thì ta có thể sắp xếp lại: ♦ Trường hợp 1: Giả sử có

−

a 11

x 1

a 11

x i

xxa ij i 2

n a 1 i ∑ a 2 11 i =

n ∑ , ji =

n a 1 i ∑ a 2 11 i =

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

a 11

x 1

x i

n a 1 i ∑ a 2 11 i =

n ∑ ' xxa ij , 2 ji =

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎛ ⎜ ⎜ ⎝

x i

y 1

(7.28)

)( vQ

2 ya 11 1

' ij

yy i

n = ∑ x + 1 =

n ∑ a ji , 2 =

i ;

,...,2

a i 1 a 2 11 j =

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

Đặt thì

' ij

yy i

n ∑ a ji , 2 =

Tiếp tục quá trình này với biểu thức .

0=iia

a 12 ≠

0≠ija

, chẳng hạn thì tồn tại ♦ Trường hợp 2: Nếu mọi . 0

x 1 x

2 y

−

y 1 y 1 y

2 j

;

,...,3

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Đặt (7.29)

)( vQ

' ij

yy i

n ∑ xxa ij i , 1 ji =

n ∑ a , 1 ji =

thì

= a

≠

' 11

có , vì vậy ta có thể đưa về trường hợp 1.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

132

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

3(cid:22)

Ví dụ 7.9: Cho dạng toàn phương có biểu thức toạ độ trong cơ sở chính tắc của ,

(

)

v =

xx , 1

x 3

vQ )(

−

2 x 1

xx 21

xx 31

x 3

xx 32

vQ )(

−

2) +

2 x 1

x (2 1

x 3

xx 32

(

)

−

( −−

x 1

x 3

xx 32

(

−

x 1

x )2 3

xx 32

(

)

(

−

x 1

x 3

x )3 3

x 3

−

x 3

Ta có

y 1 y

x 1 x

y 1 y

2 y 3

−

2 x 3 3

y 3

x 3

y 3

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

vQ )(

−

2 y 1

Đặt ⇒

x 1 x

y 1 y

− − 1

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ 3 ⎥ ⎥ ⎦

11 ⎡ ⎢ 10 ⎢ ⎢ ⎣

5 ⎤ ⎥ 3 ⎥ ⎥ ⎦

2 x 3

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

. ⇒ ma trận chuyển cơ sở

)0,1,1(

)1,3,5(

'1 =e

'2 =e

−−=e '3

Vậy trong cơ sở mới , ; , )0,0,1(

vQ )(

−

(

)

2 y 1

, xx 1

x 3

' ey 11

' ey 22

' ey 33

có .

Chú ý rằng khi sử dụng phương pháp Lagrange thì ma trận T nhận được nói chung không

,' 1

}3 '

không phải là cơ sở trực chuẩn. phải là ma trận trực giao và cơ sở { e

vQ )(

2 x 1

x 3

xx 21

xx 31

xx . 32

Ví dụ 7.10: Cho dạng toàn phương Q có biểu thức toạ độ trong cơ sở chính tắc

vQ )(

)

2 x 1

x 2(2 1

x 3

xx 32

(

)

−

x 1

x 3

xx 32

133

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ta có

(

)

−

x 1

x 3

xx 32

−

x 3

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

y 1 y

x 1 x

y 1 y

x 1 x

y 3

x 3

y 3

x 3

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

Đặt hay

vQ )(

−

2 y 1

yy 32

thì

y 1 y

z 1 z

vQ )(

−

2 z 1

−

y 3

⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩

z 1

− 1

− 0

x 1 x

−

2 x 3

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

1 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

01 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ 1 ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Đặt thì

)1,1,3(

)1,1,1(

−

'1 =e

'2 −=e

'3 −=e

, ; Vậy trong cơ sở mới , )0,0,1(

vQ )(

(

)

−

2 z 1

xx , 1

x 3

ez ' 11

ez ' 22

ez ' 33

thì .

7.4.6 Đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Jacobi

Cho dạng toàn phương trong không gian véc tơ

V (không giả thiết không gian Euclide) ]ijaA = [

}ne

1=B { e ,...,

là : với dạng cực tương ứng η và có ma trận trong cơ sở

,...,1

, = j

)

a η= ( ij

ee , i

; .

...

a 11

a n 1

Nếu các định thức con chính của A đều khác không

≠

= aD 1

D n

D 2

a 11 a

a 12 a

MOM ... a

n 1

, , ... , (7.30)

,...,1=

các hệ phương trình Cramer sau thì với mỗi

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

134

... ++

xa j 1 a

j x

... ++

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

xa 12 2 xa 22 ..........

2 ..........

j 2 ..........

j .....

... ++

xa j 11

xa jj

(7.31)

,....,

xa ⎧ 111 ⎪ xa ⎪ 121 ⎨ .......... ⎪ ⎪ x 22 ⎩ luôn có nghiệm duy nhất ký hiệu là (

, 2 αα j 1

1 )jj

f 1 f

e 22 2 .......... ..........

e 111 e 112 ..........

....

e 11 n

α 2

e n

⎧ ⎪ ⎪ 2 ⎨ .......... ⎪ ⎪ ⎩

1 −

Xét hệ véc tơ (7.32)

≠

α jj

0 =D

j D

Ta quy ước , từ điều kiện (7.30) và hệ (7.31) thì

f ,...,

}nf

j }ne

1=B { '

. Định trong cơ sở là

' độc lập tuyến tính vì vậy là một cơ sở của

{ e ,..., 1 V .

,...,1=∀ .... ≠nnααα

nên hệ thức của hệ B

)

...

( η

e i

a i

α jj ij

α 11 i

α 22

với mọi Từ (7.31) và (7.32) ⇒

,...,1

−

)

...

( η

α jj jj

α 11 j

α 22

và . Do đó ta cũng có

fη (

j j

j i <

) =i

với mọi và

)

(

)

( η

... ++

f αη j

e j 11

α jj

( ηα jj

α jj

i > . j

fη (

) =i

≠

i u

với mọi Mặt khác dạng song tuyến tính η đối xứng nên

,...,1

, = j

)

(η

1 −

nÕu

j D

0 nÕ ⎧ ⎪ D ⎨ ⎪ ⎩

với (7.33) Vậy

'A là ma trận của

'B T .

Gọi trong cơ sở là ma trận chuyển từ cơ sở sang

135

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

thì :

α 1 n α 2

' A

)

[ ( η

]

α ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

MO α

αα ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

1 −

có dạng chính tắc: Vậy biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở

vQ )(

...

... ++

nn fy

fy 11

2 y 1

D n D n

1 D 1

D 1 D 2

. ⇒

vQ )(

−

2 x 1

xx 21

xx 31

x 3

xx 32

− 2

Ví dụ 7.11: Xét dạng toàn phương trong Ví dụ 7.9

− 2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc

9 −=

D 1

D 2

D 3

1 1

1 − 2

−

. có các định thức con chính

1=k

1 D 1

ta có ; (7.34) ♦)

2=k

−

: Hệ phương trình (7.31) có dạng ♦)

= x

x 1

2 2 +

x 1 x − 1

⎧ ⎨ ⎩

(7.35) ⇒ nghiệm

3=k

−

: Hệ phương trình (7.31) có dạng ♦)

2 2 +

x 3 x + 3

1 =x

2 =x

−=x 3

5 9

1 9

1 3

2 +

x 1

x 3

x ⎧ 1 ⎪ x − ⎨ 1 ⎪ 2 + ⎩

, , . (7.36) ⇒

Ta chọn cơ sở dạng (7.32)

f =⇒ 1

e 1

(7.34) )0,0,1(

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

136

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

⇒

e 1

(7.35) )0,1,1(

)91,31,95(

⇒

−

e 1

e 2

e 3

(7.36) .

(

)

xx , 1

x 3

fy 11

fy 22

fy 33

Trong cơ sở mới này biểu thức toạ độ của Q có dạng:

vQ )(

−

2 y 1

1 9

1 D 1

D 1 D 2

D 2 D 3

. ⇒

Các ví dụ 7.9, 7.11 cho thấy rằng cùng một dạng toàn phương ta có thể đưa về các dạng chính tắc với các hệ số khác nhau. Tuy nhiên số các hệ số dương và hệ số âm là như nhau. Ta sẽ chứng minh điều này qua luật quán tính.

7.4.7 Luật quán tính

] ,

[ ijaA =

}ne

Giả sử ,

V . Gọi

,...,

]ijaA [ '= ' T =

} của

{ e

1=B { e ,..., 'B B

' ne

' 1

là ma trận chuyển từ cơ sở sang thì là hai ma trận của Q trong hai cơ sở ]ijt [

Ar (

Tr (

)

Ar ( )

=B ' t=' TA

)' =

≤

1 −

. Theo tính chất hạng của ma trận ta có . Mặt khác T

Ar ) (

Ar (

Ar ) (

Ar (

1 ' − TA

≤

TA =

(

)

khả nghịch nên . Vậy . Do đó ta có thể ⇒

định nghĩa hạng của dạng toàn phương là hạng của ma trận của nó trong một cơ sở nào đó.

Định lý 7.18 (Sylvester - Jacobi): Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong dạng chính tắc của một dạng toàn phương Q là những bất biến của dạng đó (tức là không phụ thuộc vào việc

lựa chọn cơ sở).

}ne

1=B { e ,...,

Chứng minh: Giả sử trong cơ sở (không giả thiết trực chuẩn) biểu thức

toạ độ của dạng toàn phương Q có dạng:

)( vQ

v =∀

a = ij

iiex

, , .

,...,

{ e

n ∑ 1 i = =B '

' 1

là hai cơ sở sao cho biểu thức toạ độ của Giả sử

iey

iiex

iez

" ; i

n ∑ xxa i ij , 1 ji = =B { " " e 1 n ∑ i 1 =

}ne ' , n ∑ i 1 =

}ne " n ' ∑ = i i 1 =

137

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

có dạng chính tắc:

vQ )(

... ++

−

... −−

yk rr

2 yk 11

1 +

2 1 +

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

... ++

−

... −−

zl qq

zl rr

2 zl 11

1 +

2 1 +

(7.37)

( Ar )

,...,

;

,...,

r =

k 1

l 1

với . là hạng của A , các hệ số

p = bằng phương pháp phản chứng.

Ta chứng minh

p < (trường hợp

q < được chứng minh hoàn toàn tương tự).

... ++

y 1

Giả sử

xc 1 nn .......... .... c ... x ++

xb 111 .......... xb 11 n

xb 1 nn .......... .... ... xb ++ nn

xc 111 .......... xc 11 n

⎧ ⎪ .......... ⎨ ⎪ y = ⎩

z ⎧ 1 ⎪ .......... ⎨ ⎪ z = ⎩

Ta có , (7.38)

⇒

... ++

zl rr

2 yk 11

1 +

2 1 +

(7.37)

... ++

zl qq

yk rr

2 zl 11

1 +

2 1 +

(7.39)

,Vv ∈

≠

iez " i

iiex

iey

' i

n ∑ i 1 =

n = ∑ i 1 =

n ∑ 1 i =

Ta sẽ chứng minh rằng tồn tại một véc tơ

...

y 1

thoả mãn điều kiện:

...

p z =

1 +

⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩

(7.40)

+−

phương

...,

trình tuyến tính thuần nhất ẩn . Vì số phương trình ít hơn số ẩn nên tồn tại Thật vậy, các điều kiện (7.40) kết hợp với (7.38) xác định một hệ , 2 xx 1

0 0 x 1 ,..., nx

nghiệm không đồng thời bằng .

≠

0 i ex i

v 0

n = ∑ i 1 =

Xét véc tơ . 0

...

z 1

1 +

Mặt khác từ (7.39) và (7.40) ⇒

p = . q

iez " i

v 0

n = ∑ i 1 =

, mâu thuẩn. Vậy ⇒

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

138

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

Định nghĩa 7.11: Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dương và số các hệ số âm

được gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn phương.

Giả sử

), qp ( V thì

q =+

(hạng của gian chiều ). Q là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toàn phương Q trong không p

r = thì n

Nếu được gọi là không suy biến;

p = thì n

được gọi là xác định dương;

q = thì n

được gọi là xác định âm.

0)( >vQ

0≠v

Rõ ràng xác định dương khi và chỉ khi , với mọi ;

0)(

0≠v

, với mọi . Q xác định âm khi và chỉ khi

Nếu η là dạng cực của dạng toàn phương Q thì:

η xác định dương;

xác định dương khi và chỉ khi

η xác định âm;

xác định âm khi và chỉ khi

η xác định.

không suy biến khi và chỉ khi

Dạng toàn phương ở Ví dụ 7.11 có chỉ số quán tính dương là 2 và âm là 1. không

suy biến.

Định lý 7.19 (Sylvester): Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận là A trong một cơ sở nào

đó của V . Khi đó:

(i) Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của A luôn dương.

(ii) Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con góc trái cấp chẵn là dương và cấp lẻ là

âm.

Chứng minh: (i) Giả sử là ma trận của dạng toàn phương trong cơ sở

V k

]ijaA = [ { span 1 ,..., e

(cid:22)→k

thì có ma trận trong cơ sở

}ne . Xét }k e

: V V k kA cấp k nằm ở góc trái của ma trận A . Nếu

1=B { e ,..., 1=B { e ,..., k dương thì

kVQ cũng xác định dương. Mặt khác theo luật quán tính ta suy ra rằng các giá trị trên đường chéo của ma trận dạng chính tắc của dạng toàn phương xác định dương là luôn luôn dương

là ma trận con xác định

,...,1=

det

>kA

139

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

. nên định thức của nó cũng dương. Vây , với

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

,...,1=

det

A k

, với Ngược lại, giả sử

f ,...,

= }

n . Theo phương pháp Jacobi (4.3.3) 'B Q

D k nf

1=B { '

sao cho biểu thức toạ độ của có dạng chính trong cơ sở tồn tại cơ sở

1 −

tắc:

vQ )(

... ++

2 y 1

nn fy

fy 11

D n D n

1 D 1

D 1 D 2

. ⇒

Vậy Q xác định dương.

Trường hợp (ii) được chứng minh tương tự.

7.5 ĐƯỜNG BẬC 2 TRONG MẶT PHẲNG VÀ MẶT BẬC 2 TRONG KHÔNG GIAN

7.5.1 Mặt phẳng với hệ toạ độ trực chuẩn

7.5.1.1 Hệ toạ độ trực chuẩn trong mặt phẳng

và cắt nhau tại O theo chiều

dương, tạo nên một hệ trục gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Đề các trong mặt phẳng. Trên

là một cơ sở trực chuẩn. Trong mặt phẳng ta xét hai trục vuông góc Ox Oxy Ox , Oy ta chọn hai véc tơ đơn vị lần lượt là i và j . Hệ {

7.5.1.2 Toạ độ của một véc tơ, toạ độ của một điểm trong mặt phẳng

(

)

x vv ,

được gọi là toạ độ của Cho véc tơ v trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy . Cặp

v nếu

v xuống hai trục

Ox,

x vv ,

véc tơ là hình chiếu của . Oy

Theo các phép toán cộng véc tơ (theo quy tắc hình bình hành), nhân một số với một véc tơ

cos( vu ),

vu ⋅

và tính vô hướng của hai véc tơ

, iiv

, jv

iv x

jv y

. thì

yx ,(

)

yxM ,(

)

Nếu thì . Nói được gọi là toạ độ của điểm M , ký hiệu

cách khác toạ độ của véc tơ OM là toạ độ của điểm M . Hai điểm BA,

(

();

)

(

)

−

có toạ độ . thì véc tơ AB có toạ độ

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

140

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

x O i x x

j j

O i

7.5.1.3 Các đường bậc 2 trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng, ta xét 3 đường bậc 2 sau:

a) Đường Ellipse (Êlíp)

1, FF 2

Cho cố định. Đường ellipse nhận tiêu điểm với độ dài trục lớn là tập

hợp:

(

)

a >

FF 21

{ MFM 1

MF 2

; với .

)0,

(E có dạng:

)

F − (1

)0,(2 cF

Nếu , thì phương trình của ellipse

a là độ dài trục lớn, b là độ dài trục bé.

với . (7.41)

(E trở thành đường tròn tâm

)

a =

0=c

: ellipse bán kính . Khi ⇒

(

)

−

ca < .

{ M

}a ,

MF 1

MF 2

b) Hyperbol

(H : )

−

Phương trình với (7.42)

c) Parabol:

F . Parabol có tiêu điểm F , đường chuẩn

)(Δ

(

)

Md (

{ MFM

})

141

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

là tập hợp: Cho đường thẳng và điểm

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

(

)

ΔMd

)(Δ .

trong đó là khoảng cách từ M đến đường thẳng

(P có phương trình:

)

( pF

)0,2

x −=

Nếu , thì :)(Δ

2 =

(7.43)

)(Δ

(7.41), (7.42), (7.43) là phương trình chính tắc của 3 đường cônic

−

x x

F b

Ellipse Hyperbol Parabol

7.5.1.4 Phân loại đường bậc 2 trong mặt phẳng

Trong mặt phẳng cho hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxy . Một đưòng cong bậc 2 có

phương trình tổng quát:

xa 11

a 12

xa 1

ya 2

(7.44)

11a

12a

22a

trong đó , , không đồng thời bằng không.

Ta tìm một hệ trục toạ độ Descartes vuông góc mới để trong hệ toạ độ này đường cong

(7.44) có dạng chính tắc.

a 12

a 11 a

a 12 a

⎡ ⎢ ⎣

⎤ , ⎥ ⎦

Đặt .

Ma trận A đối xứng nên chéo hóa trực giao được, nghĩa là tồn tại ma trận trực giao T sao

det =T

T t

λ 2

λ ⎡ 1 ⎢ 0 ⎣

⎤ . ⎥ ⎦

cho và

cos sin

sin − cos

⎡ ⎢ ⎣

ϕ ⎤ ⎥ ⎦

. Theo ví dụ 7.5 và (7.16) ta có thể chọn

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

142

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

x y

cos sin

sin − cos

x y

' ⎤ ⎥ ' ⎦

⎡ ⎢ ⎣

ϕ ⎤ ⎥ ⎦

⎤ =⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎣

Đặt

' yOx

Như vậy hệ toạ độ mới một có được bằng cách quay hệ trục Oxy quanh gốc

ϕ.

góc

' yOx

là: Phương trình đường bậc 2 (7.44) trong hệ toạ độ

'2' +

2 x λ ' + 2

λ 1

xa '2 1

aya ' + 0

(7.45)

a 12 =

(nếu thì không cần bước này).

≠λλ 21

' +

λ 2

λ 1

a ' 2 λ 2

a ' 1 λ 1

⎛ ⎜⎜ ⎝

2 ⎞ +⎟⎟ ⎠

⎛ ⎜⎜ ⎝

2 ⎞ +⎟⎟ ⎠

1) Nếu phương trình (7.45) viết được thành

' yOx

Tịnh tiến hệ toạ độ đến hệ toạ độ XYΩ :

' x +=

y ' +=

a 1' λ 1

a 2' λ 2

, , ta được:

X λ Y + 2

λ 1

. (7.46)

>λλ 21

'0 ≠a

λ a '01

a) , : (7.46) là phương trình một Ellipse; , 0

>λλ 21

'0 ≠a

λ a '01

, : (7.46) là phương trình một Ellipse ảo; b) , 0

<λλ 21

'0 ≠a

: (7.46) là phương trình một Hyperbol; c) , 0

λ 1

X λ − 2

<λλ 21

'0 =a

d) : Phương trình (7.46) có dạng là phương , 0

trình cặp đường thẳng cắt nhau.

λ+

λ 1

>λλ 21

'0 =a

e) , : Phương trình (7.46) có dạng là

phương trình một cặp đường thẳng ảo.

1,λλ bằng 2

2) Có một trong hai giá trị : 0

1 =λ

2 ≠λ

'1 ≠a

143

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

a) , : Phương trình (7.44) có thể viết lại: , 0

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

' +

ax +

'('2 1

)" 0

λ 2

a ' 2 λ 2

⎛ ⎜⎜ ⎝

2 ⎞ +⎟⎟ ⎠

(7.47)

' ax

2 −=

' y +=

a 2' λ 2

a 1 λ 2

ta có: . đặt , 0"

Vậy (7.47) là một Parabol nhận trục XΩ làm trục đối xứng.

YΩ

0 2 =λ ,

0 1 ≠λ ,

'2 ≠a

: Đường cong (7. 44) là một Parabol nhận trục làm b)

trục đối xứng.

0 2 ≠λ ,

0 1 ≠λ ,

0 2 =λ ,

'2 =a

'1 =a 0 1 =λ , một cặp đường thẳng thực hoặc ảo.

hay : Đường cong (7.44) là c)

(G : )

−

Ví dụ 7.12: Cho đường bậc 2 có phương trình . 36

λ 1

,4 2 = λ

5 2

2 − 8

−

⎡ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎦

2 5

1 5

Ma trận có giá trị riêng chéo hoá trực giao ta được:

−=

1 5

2 5

2 5 1 5

1 5 2 5

⎧ i ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩

⇒

(G trong hệ toạ độ mới:

)

phương trình của

+ Y 9

X 9

Y 4

. ⇒

2 3

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

144

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

7.5.2 Hệ toạ độ trực chuẩn trong không gian

7.5.2.1 Toạ độ của một véc tơ và toạ độ của một điểm trong không gian

y' , Oy

Trong không gian ta xét ba trục vuông góc chung gốc , ; Tạo : O

Oxyz .

thành một hệ trục gọi là hệ trục toạ độ vuông góc Descartes trong không gian, viết tắt

j , k . Ta chỉ xét hệ trục Oxyz

Trên ba trục toạ độ này ta chọn các véc tơ đơn vị lần lượt là

là hệ thuận, nghĩa là nếu đứng theo chiều véc tơ k ta sẽ thấy i quay sang j theo ngược chiều

, iv

, jv

kkv

iv x

jv y

kv z

kim đồng hồ. Với mọi véc tơ v ta có thể viết

v xuống các trục

trong đó lần lượt là hình chiếu của .

(

)

v =

(

)

vv , x

. Toạ độ của véc được gọi là toạ độ của véc tơ v , ký hiệu

,M ký hiệu

zyx ), ,(

zyxM ), ,(

OM =

tơ được gọi là toạ độ của điểm .

7.5.2.2 Một số mặt bậc 2 thường gặp trong không gian

(E bậc 2 có phương trình

)

, cba ,

. a) Ellipsoid (Êlípxôít) là mặt

Rcba ===

thì ta có mặt tròn xoay quanh trục . Nếu bằng nhau thì ta có mặt ellipsoid tròn xoay. Chẳng hạn nếu thì ta có mặt cầu tâm O

*) Nếu 2 trong 3 số a = b bán kính R ;

*) Gốc là tâm đối xứng, các mặt phẳng toạ độ là mặt phẳng đối xứng;

*) Giao tuyến với các mặt phẳng song song với các mặt phẳng toạ độ là các ellipse.

−

( 1H

. b) Hyperboloid một tầng (Hyperbôlôít) có phương trình : )

*) Gốc là tâm đối xứng;

*) Các trục toạ độ là trục đối xứng;

*) Các mặt phẳng tọa độ là mặt phẳng đối xứng;

)

( 1H

145

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

*) Giao của với mặt phẳng vuông góc với trục là một ellipse;

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

)

( 1H

*) Giao của với mặt phẳng chứa trục là một Hyperbol.

Tương tự có các Hyperboloid một tầng:

−

, .

(

−

−=

c) Hyperboloid hai tầng có phương trình . : )

z = sao cho

h > cắt c

*) Mặt phẳng vuông góc với trục có phương trình

(

)

theo một elippse;

(

)

*) Giao của với mặt phẳng chứa là một Hyperbol.

Ellisoid Hyperboloid một tầng Hyperboloid hai tầng

( 1P

d) Paraboloid elliptic (Parabôlôít êlíptíc) . : )

)

( 1P

Oxy là một ellipse;

*) Giao tuyến của với mặt phẳng vuông góc trục nằm phía trên mặt phẳng

)

( 1P

*) Giao tuyến của với mặt phẳng chứa trục là Parabol.

e) Paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) có phương trình

−

( 2P : )

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

146

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

)

( 2P

*) Giao của với mặt phẳng vuông góc với trục là một Hyperbol;

)

( 2P

*) Giao của với mặt phẳng vuông góc với trục là một Parabol;

)

( 2P

*) Giao của với mặt phẳng vuông góc với trục là một Parabol.

Paraboloid elliptic Paraboloid hyperbolic

g) Các mặt trụ bậc 2

Các mặt trụ bậc 2 đối xứng qua mặt phẳng xOy

*) Trụ elliptic: .

−

*) Trụ Hyperbolic: .

2 =

*) Trụ Parabolic: .

147

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Trụ elliptic Trụ Hyperbolic Trụ Parabolic

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

h) Các mặt nón

Các mặt nón đối xứng qua mặt phẳng xOy có phương trình

−

*) Giao với mặt phẳng vuông góc với trục là một ellipse;

*) Giao với mặt phẳng chứa trục cặp đường thẳng.

7.5.3 Phân loại các mặt bậc 2

)

xa 11

za 33

bậc 2 có phương trình: Trong hệ toạ độ Descartes vuông góc Oxyz xét mặt

23 c =+

a 12 xb 2 + 1

yb 2 2

a 13 zb 2 + 3

(7.48)

a = ij

3,1

Ma trận với là ma trận đối xứng nên tồn tại ma trận trực giao

T t

(để hệ trục toạ độ mới tạo thành tam diện thuận) và

λ 2 0

λ 3

. Tương ứng với ma trận chuyển cơ sở T là phép quay quanh gốc toạ

] [ ijaA = ji , = 1 det =T 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

sao cho λ ⎡ 1 ⎢ 0 ⎢ ⎢ ⎣

độ.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

148

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ' ⎥ ⎥ ⎦

Công thức đổi toạ độ .

)

Mặt bậc 2 có phương trình trong tọa độ mới:

'2' +

czb ' =+

λ 1

λ 2

λ 3

xb '2 1

yb 2

'2' + 3

(7.49)

)

λλλ 2 3

,' 1

' 3

Tùy theo các giá trị của mặt có các dạng sau:

, λλλ 2 3

≠λλλ 321

a) Các giá trị riêng khác 0 ( )

Bằng cách tịnh tiến hệ toạ độ ta có thể đưa phương trình (7.49) về dạng:

λ 1

Y λ 2

λ 3

. (7.50)

0' ≠C

*) Nếu

)

Cλλλ , 2

cùng dấu: là Ellipsoid; •

'C trái dấu:

)

, λλλ 2 3

cùng dấu, là Ellipsoid ảo; •

)

, λλλ 2 3

chỉ có hai số cùng dấu: là Hyperboloid một tầng hoặc hai tầng. •

0' =C

*) Nếu

)

, λλλ 2 3

chỉ có hai số cùng dấu: là nón bậc 2. •

)

, λλλ 2 3

cùng dấu: là nón ảo (một điểm). •

Các trường hợp còn lại sau đây ta chỉ xét mỗi trường hợp một loại đại diện, các loại khác có

kết quả tương tự.

, λλλ 2 3

b) Có đúng một giá trị trong ba giá trị bằng . 0

3 =λ

≠λλ 21

Chẳng hạn ,

X λ Y + 2

λ 1

Zb '2 3

'3 ≠b

*) : Tịnh tiến hệ toạ độ ta được: .

>λλ 21

Đây là phương trình Paraboloid elliptic nếu và Paraboloid hyperbolic nếu

<λλ 21

λ 1

Y + λ 2

'3 =b

149

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

*) : Tịnh tiến toạ độ ta được: .

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

0' ≠C

0' =C

và các cặp mặt phẳng cắt nhau nếu . Đây là phương trình các mặt trụ nếu

, λλλ 2 3

c) Có đúng hai giá trị trong ba giá trị bằng 0 .

3 =λ

2 =λ

1 ≠λ

Chẳng hạn , ,

' 3

'2 ≠b

*) không đồng thời bằng 0. Giả sử : Tịnh tiến toạ độ ta được

)

Xλ 1

Yb "2

: là mặt trụ Parabolic.

= b

' 3

1 và trùng nhau nếu

*) : Tịnh tiến hệ toạ độ ta có: . Do đó (7.49) là phương trình

0' ≠C

2 X =λ 0' =C

. cặp mặt phẳng song song nếu

Q (

7:)

−

Ví dụ 7.13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt bậc 2 có phương trình

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ma trận của dạng toàn phương tương ứng .

2 12()

− I λ

−

) λ

. Đa thức đặc trưng

131

Tìm cơ sở của các không gian riêng và trực chuẩn hoá Gram-Shmidt ta có ma trận trực giao

T t

− 1

131

det =T

− − 31

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

có và

)

y '

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ' ⎥ ⎥ ⎦

'6 x

'6 y

'12 z

−

' −

' +

−

1 6

1 3

1 2

⎞ ⎟ ⎠

' +

' −

1 3

1 6

1 3

2 6

1 2

⎛ 72 ⎜ ⎝

⎞ =⎟ ⎠

⎛ 12 ⎜ ⎝ ⎛ 12 ⎜ ⎝

⎞ +⎟ ⎠

x '6

x '22

y '6

y '34

Đổi toạ độ thì phương trình của mặt trong toạ độ mới:

)

(

)

(

) 24

⇒ (

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

150

Chương 7: Không gian véc tơ Euclide dạng toàn phương

'+= z

'+= x

32'+= y

Tịnh tiến toạ độ: , , ,

Q (

X 30

Y 30

Z 15

suy ra .

)

,32,2

−

ZZ Ω'

. Vậy là một Ellipsoid tròn xoay theo trục , Ω có toạ độ ( −

Ví dụ 7.14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt bậc 2 có phương trình

Q (

2:)

−

110

⎡ ⎢ 101 ⎢ ⎢ 011 ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Ma trận của dạng toàn phương tương ứng .

(

2 2()1

− I

= λλ

−

) λ

. Đa thức đặc trưng

316

−

Tìm cơ sở của các không gian riêng và trực chuẩn hoá Gram-Shmidt ta có ma trận trực giao

T t

− 0

− 1

316

det =T

− 0

− 2

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

có và

)

y '

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ' ⎥ ⎥ ⎦

'2 z

−

' −

' +

1 2

1 6

1 3

⎛ 6 −− ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

−

' −

' +

1 2

1 6

1 3

2 6

1 3

⎛ 6 ⎜ ⎝

⎞ =⎟ ⎠

⎞ +⎟ ⎠

Đổi toạ độ thì phương trình của mặt trong toạ độ mới:

y '64

z '2

z '3

−

(

)

(

) 0

⇒

'xX = ,

62'−= y

'−= z

, , Tịnh tiến toạ độ:

Q (

−

X 2 45

Y 2 45

Z 4 45

suy ra .

)

151

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Vậy là một Hyperboloid một tầng.

Tài liệu tham khảo Mục lục

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. G. M. FICHTENGÔN, Giáo trình phép tính vi tích phân, Tập 1,2,3. Nauka,

Moskva, 1969. (tiếng Nga)

2. G. M. FICHTENGÔN, Cơ sở giải tích toán học, Tập 1,2,3. NXB Đại học và Trung học

chuyên nghiệp, Hà nội, 1977.

Czes

.1,

3. K. MAURIN, Analiza, PWN, Warszawa, 1976.

4. R. A. ADAMS, Calculus-a complete, Addison,Wesley, New York,Don Mills, 1991.

5. NGUYỄN ĐÌNH TRÍ (chủ biên), Toán học cao cấp ,Tập 1,2,3. NXB Đại học và Giáo

dục chuyên nghiệp, Hà nội, 1990.

6. JEAN-MARIE MONIER, Giáo trình toán, Tập 1,2,3,4. NXB Giáo dục, Hà nội, 1999

(dịch từ tiếng Pháp, DUNOD, Paris,1999)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

152

Mục lục

môc lôc

Lời nói đầu .......................................................................................................................................3

Ch−¬ng 1: Më ®Çu vÒ l«gÝc mÖnh ®Ò, tËp hîp ¸nh x¹ vμ c¸c cÊu tróc ®¹i sè.............................................................................................................5

1.1. S¬ l−îc vÒ l«gÝc mÖnh ®Ò......................................................................................................5

1.2. TËp hîp .................................................................................................................................7

1.3. ¸nh x¹ ................................................................................................................................15

1.4. Gi¶i tÝch tæ hîp - NhÞ thøc Newton.....................................................................................19

1.5. C¸c CÊu tróc ®¹i sè.............................................................................................................25

1.6. §¹i sè Boole .......................................................................................................................29

Ch−¬ng 2: Kh«ng gian vÐc t¬......................................................................................37

2.1. Kh¸i niÖm kh«ng gian vÐc t¬..............................................................................................37

2.2. Kh«ng gian vÐc t¬ con ........................................................................................................40

2.3. §éc lËp tuyÕn tÝnh, phô thuéc tuyÕn tÝnh............................................................................42

2.4. H¹ng cña mét hÖ h÷u h¹n c¸c vÐc t¬ ..................................................................................44

2.5. C¬ së, sè chiÒu cña kh«ng gian vÐc t¬................................................................................45

Ch−¬ng 3: Ma trËn..............................................................................................................51

3.1. Kh¸i niÖm ma trËn ..............................................................................................................51

3.2. C¸c phÐp to¸n ma trËn ........................................................................................................52

3.3. Ma trËn cña mét hÖ vÐc t¬ trong mét c¬ së nµo ®ã.............................................................56

3.4. H¹ng cña ma trËn................................................................................................................57

Ch−¬ng 4: §Þnh thøc..........................................................................................................61

4.1. Ho¸n vÞ vµ phÐp thÕ ............................................................................................................61

4.2. §Þnh thøc ............................................................................................................................63

4.3. C¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ®Þnh thøc .....................................................................................66

153

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

4.4. C¸c c¸ch tÝnh ®Þnh thøc ......................................................................................................68

Mục lục

4.5. øng dông ®Þnh thøc ®Ó t×m ma trËn nghÞch ®¶o..................................................................74

4.6. T×m h¹ng cña ma trËn b»ng ®Þnh møc ................................................................................77

Ch−¬ng 5: HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ................................................................81

5.1. Kh¸i niÖm vÒ hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh ...........................................................................81

5.2. §Þnh lý tån t¹i nghiÖm........................................................................................................82

5.3. Ph−¬ng ph¸p Cramer ..........................................................................................................82

5.4. Ph−¬ng ph¸p ma trËn nghÞch ®¶o........................................................................................84

5.5. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh b»ng ph−¬ng ph¸p khö Gauss..........................................85

5.6. HÖ ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt ...............................................................................89

Ch−¬ng 6: ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.......................................................................................91

6.1. Kh¸i niÖm ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh...............................................................................................91

6.2. Nh©n vµ ¶nh cña ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh.....................................................................................94

6.3. Toµn cÊu, ®¬n cÊu, ®¼ng cÊu...............................................................................................95

6.4. ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh vµ ma trËn..............................................................................................97

6.5. ChÐo hãa ma trËn..............................................................................................................102

Ch−¬ng 7: Kh«ng gian vÐc t¬ Euclide d¹ng toμn ph−¬ng.....................115

7.1. TÝch v« h−íng, kh«ng gian vÐc t¬ Euclide .......................................................................115

7.2. Ma trËn trùc giao vµ ¸nh x¹ tuyÕn tÝnh trùc giao ..............................................................121

7.3. ChÐo hãa trùc giao ma trËn - Tù ®ång cÇu ®èi xøng.........................................................124

7.4. D¹ng toµn ph−¬ng.............................................................................................................128

7.5. §−êng bËc 2 trong mÆt ph¼ng vµ mÆt bËc 2 trong kh«ng gian .........................................140

tμi liÖu tham kh¶o .........................................................................................................152

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

154

Bài giảng Toán cao cấp (A2) - TS. Lê Bá Long, ThS. Đỗ Phi Nga

Chủ đề:

TOÁN CAO CẤP (A2)

Biên soạn : Ts. LÊ BÁ LONG Ths. ĐỖ PHI NGA

HÀ NỘI - 2006

LỜI NÓI ĐẦU

1. CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU VỀ LÔGÍC MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP

ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ

BABA ∪=∩ ) =∩∩=∩= 1.2.5 Lượng từ phổ biến và lượng từ tồn tại

2. CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ

0

0 =+=+

) 0=+−=

0

0

{

}+

0

0 =α

0=uα thì

0=u

0+

0 ==

0=uα và giả sử

{

}...

0

0

0=v

0

0=

0

0

0=

0≠1v

3. CHƯƠNG 3: MA TRẬN

4. CHƯƠNG 4: ĐỊNH THỨC

5. CHƯƠNG 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH

0

0 =)(f

)( 0

0

f )(0) 0

0

0

)( 0 =

0≠v

0≠v

7. CHƯƠNG 7: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

TÀI LIỆU THAM KHẢO

môc lôc

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi