TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT ĐỀ THI CUỐI KỲ HK I NĂM HỌC 2024-2025
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Môn: XÁC SUẤT THỐNG KÊ ỨNG DỤNG
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Mã môn học: MATH 132901
BỘ MÔN TOÁN Đề thi có 2 trang. Thời gian: 90 phút.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - Sinh viên được phép sử dụng 01 tờ giấy A4 viết tay.
Câu I. (4.5 điểm)
1. Một người quên mật khẩu tài khoản Facebook của mình, trong đó mật khẩu gồm 9 ký tự. Anh
ta chỉ nhớ được chính xác 4 ký tự đầu nhưng quên mất 5 ký tự sau. Biết rằng 5 ký tự sau của
mật khẩu là các chữ số (0–9), mỗi chữ số có thể là bất kỳ giá trị nào. Nếu nhập sai mật khẩu
5 lần liên tiếp, tài khoản sẽ bị khóa. Tính xác suất để người này mở được tài khoản.
2. Một cửa hàng điện máy có 45% máy lạnh, 30% máy quạt và 25% máy lọc không khí. Tỉ lệ bảo
hành của máy lạnh, quạt và máy lọc không khí lần lượt là 5%, 3% và 2%. Biết rằng một khách
hàng đã mua một sản phẩm và sản phẩm này không phải bảo hành. Tính xác suất khách hàng
này đã mua máy lọc không khí.
3. Gọi Xlà khối lượng (đơn vị: kg) của một loại sản phẩm A. Một nghiên cứu cho biết hàm mật
độ của Xlà f(x) = (kx2(x+ 4) nếu x∈[4,6],
0nếu khác.
a. Tìm k.
b. Một mẫu gồm 20 sản phẩm được chọn ngẫu nhiên. Tính xác suất để có nhiều nhất 2 sản
phẩm trong số này có khối lượng nhỏ hơn 5 kg.
4. Thiết bị tự động mở dù của một dù nhảy quân sự được thiết kế để mở ở độ cao trung bình
210mso với mặt đất. Giả sử độ cao mở dù tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 210mvà
độ lệch chuẩn 31.25m. Thiết bị được xem là bị hỏng nếu dù mở ở độ cao dưới 110m. Kiểm tra
từng chiếc dù một cách độc lập cho đến khi có 3 chiếc bị hỏng. Tính xác suất phải kiểm tra ít
nhất 20 chiếc.
Câu II. (5.5 điểm)
1. Năm ngoái, thời gian đi lại trung bình của một người ở Quận 9 di chuyển đến Quận 3 vào buổi
sáng để làm việc là 35 phút. Năm nay, sau khi một số tuyến đường được mở rộng, có ý kiến cho
rằng thời gian trung bình đi lại đã giảm. Để kiểm tra ý kiến này, một khảo sát được thực hiện,
thu thập thời gian di chuyển của một số người với số liệu như sau:
Thời gian (phút) 20 −25 25 −30 30 −35 35 −40 40 −45 45 −50
Số người 40 89 100 70 50 30
Giả sử thời gian đi lại tuân theo phân phối chuẩn.
a. Tìm khoảng ước lượng tối đa cho thời gian đi lại trung bình với độ tin cậy 99%.
b. Kiểm định ý kiến rằng thời gian đi lại trung bình năm nay đã giảm so với năm ngoái với
mức ý nghĩa 2%.
c. Nếu muốn tìm khoảng ước lượng đối xứng cho tỉ lệ người có thời gian đi lại trên 40 phút
với sai số là 0.0411 thì độ tin cậy của khoảng ước lượng là bao nhiêu?
2. Một chiếc mặt nạ phòng khói được coi là đạt chuẩn nếu thời gian phòng khói đạt từ 40 phút
trở lên. Tiến hành kiểm tra chất lượng một số mặt nạ phòng khói do hai nhà máy A và B sản
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 1/2
xuất, thu được kết quả như sau: trong số 200 mặt nạ của nhà máy A, có 170 mặt nạ đạt chuẩn;
trong số 300 mặt nạ của nhà máy B, có 260 mặt nạ đạt chuẩn. Với mức ý nghĩa 3%, hãy cho
kết luận về chất lượng mặt nạ của hai nhà máy A và B.
3. Bảng sau cung cấp dữ liệu về thời gian tập luyện mỗi ngày và nồng độ cholesterol của một
nhóm người sau khi tập thể dục hàng ngày trong vòng 3 tháng. Gọi X(phút) là thời gian tập
luyện mỗi ngày và Y(mg/dl) là nồng độ cholesterol đo được sau 3 tháng của người đó.
X (phút) 5 5 10 10 15 15 20 20 25 25
Y (mg/dl) 224 208 194 181 176 180 163 177 160 158
Dựa vào số liệu này, hãy tìm hệ số tương quan mẫu giữa Xvà Y. Dự đoán nồng độ cholesterol
của một người tập luyện 17 phút mỗi ngày sau 3 tháng. Nếu mỗi người tăng thêm thời gian tập
luyện 4 phút mỗi ngày, nồng độ cholesterol trung bình sau 3 tháng của người đó sẽ thay đổi
như thế nào?
Chú ý: Một số giá trị zα
α0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05
zα2.576 2.326 2.170 2.054 1.960 1.881 1.812 1.751 1.695 1.645
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) Nội dung
kiểm tra
[CĐR 2.1]: Sử dụng được giải tích tổ hợp để tính xác suất theo quan điểm đồng khả năng
[CĐR 2.2]: Sử dụng được các công thức tính xác suất, đặc biệt là xác suất có điều kiện
[CĐR 2.3]: Lập được bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc. Sử dụng được
hàm phân phối xác suất và hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục Câu I
[CĐR 2.4]: Tính định được kỳ vọng, phương sai, median, mod của biến ngẫu nhiên và
cách sử dụng các số đặc trưng này
[CĐR 2.5]: Sử dụng được phân phối siêu bội, nhị thức, Poisson, chuẩn và mối liên hệ giữa
các phân phối này
[CĐR 2.6]: Tính được giá trị của trung bình mẫu, phương sai mẫu bằng máy tính bỏ túi
[CĐR 2.7]: Tìm được (giá trị) của khoảng tin cậy cho tỷ lệ, trung bình và phương sai ứng
với số liệu thu được Câu II
[CĐR 2.8]: Sử dụng được các tiêu chuẩn kiểm định giả thiết để giải quyết các bài toán
liên quan và áp dụng được trong thực tế
[CĐR 2.9]: Sử dụng được hàm hồi qui tuyến tính thực nghiệm
Ngày 03 tháng 12 năm 2024
Trưởng bộ môn
Phạm Văn Hiển
Số hiệu: BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang: 2/2
Câu
Ý
Nội dung
Thang
điểm
I
(4,5đ
)
1
Gọi Ai là biến cố người này mở được tài khoản lần i , i = {1,2,3,4,5}
Xác suất để người này mở được lần 1: 𝑃(𝐴1)=1
105
Xác suất để người này mở được lần 2: 𝑃(𝐴1
.𝐴2)=(1− 1
105). 1
105−1 =1
105
Xác suất để người này mở được lần 3: : 𝑃(𝐴1
.𝐴2
.𝐴3)= (1− 1
105).(1− 1
105−1)1
105−2 =1
105
Xác suất để người này mở được lần 4:
𝑃(𝐴1
.𝐴2
.𝐴3
.𝐴4)=(1− 1
105).(1− 1
105−1)(1− 1
105−2)1
105−3 =1
105
Xác suất để người này mở được lần 5:
𝑃(𝐴1
.𝐴2
.𝐴3
.𝐴4.
𝐴5)=(1− 1
105).(1− 1
105−1)(1− 1
105−2)(1− 1
105−3)1
105−4 =1
105
Vậy xác suất người này mở được tài khoản là: 5
105
0,25
0,25
0,25
0,25
2
3
4
Gọi Ai lần lượt là biến cố khách chọn mua máy lạnh, quạt hoặc máy lọc không khí (i=1,2,3)
B là biến cố sản phẩm phải bảo hành.
𝑃(𝐴1)= 0,45      ;   𝑃(𝐴2)=  0,3   ;   𝑃(𝐴3)=  0,25  
𝑃(𝐵|𝐴1)= 0,05  ;  𝑃(𝐵|𝐴2)=0,03   ;𝑃(𝐵|𝐴3) = 0,02
Xác suất sản phẩm phải bảo hành
𝑃(𝐵) =0,45.0,05+0,3.0,03+0,25.0,02=0,0365
P(B^c) = 1 – P(B) = 0.9635
Xác suất người này mua máy lọc không khí: 𝑃(𝐴3|𝐵𝑐)=0,25.0,98
0,9635 =0.2543=490
1927
0,5
0,5
∫kx2(x+4)dx
6
4= 1 ⇒k = 3
1388
P(X< 5)=∫3
1388∗x2(x+4)dx =
5
42083
5552 =2083/5552=0.37518
Gọi Y là số sản phẩm có trọng lượng nhỏ hơn 5kg trong 20 sản phẩm.
P(Y≤ 2)= ∑𝐶20
𝑥.(2083
5552)𝑥.
2
𝑥=0 (1−2083
5552)20−𝑥 = 6,703958499.10−3
Lưu ý: không ghi dx trừ 0.25;
0.5
0,5
0.5
Gọi X là độ cao mở dù , X ∼ N(210;31.252).
Xác suất một chiếc dù bị thiệt hại:
P(X< 110)= ϕ(110−210
31,25 )= ϕ(−3,2)=0,0006872
Gọi Y là số chiếc dù cần kiểm tra cho đến khi có 3 chiếc bị thiệt hại.
0,5
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG
BỘ MÔN TOÁN
-------------------------
ĐÁP ÁN XÁC SUẤT THỐNG KÊ VÀ ỨNG DỤNG (CLC)
HKI – Năm học: 2024-2025
Y có phân phối nhị thức âm với r =3 và p=0,0006872
Xác suất phải kiểm tra ít nhất 20 chiếc.
P(Y≥ 20)= 1−P(Y≤ 19)= 1−∑𝐶𝑥−1
2∗𝑝3
19
𝑥=3 ∗(1−𝑝)𝑥−3 = 0,999999
0,5
II
(5,5
đ)
1
𝑛 = 379;𝑥 = 33.7005277045, s= 7.1230232372
0,5
a
Gọi
là thời gian đi lại trung bình của một người.
𝑧𝛼/2 = 2,326
𝜀 =2,326.𝑠
√𝑛= 0.852512346
Ước lượng tối đa cho thời gian đi lại trung bình của một người là:
𝜇 < 𝑥+ 𝜀 → 𝜇 < 34.55304005
0,25
0,25
0,5
b
Gọi
là thời gian đi lại trung bình của một người.
Giả thiết
0
H
: 𝜇 =35. Đối thiết
a
H
: 𝜇 <35
𝑧 = 𝑥−35
𝑠√𝑛 = -3.551585455
𝛼 =2% → 𝑧α=2,054
z<-𝑧𝛼    ⇒bác bỏ giả thiết
0
H
, chấp nhận
a
H
: 𝜇 <35.
vậy thời gian đi lại trung bình của một người di chuyển có giảm đi.
0,25
0,25
0,25
0,25
c
Tỉ lệ mẫu cho số người đi lại trên 40 phút là : 𝑝 = 80
379
Sai số: 𝜀 =𝑧α/2√𝑝
(1−𝑝
)
𝑛→ 0.041084485 = 𝑧α/2√80
379(1−80
379 )
379 →𝑧α/2 =1,96
Ta có 𝜙(𝑧𝛼 2
⁄)=𝛾+1
2→𝜙(1,96)=𝛾+1
2→ 0,975=𝛾+1
2 →𝛾 =95%
0,25
0,5
0,25
2
Gọi
1
p
,
2
p
lần lượt là tỷ lệ đạt chuẩn của mặt nạ phòng khói do nhà máy A, B sản xuất.
Giả thiết
0
H
:
12
pp=
. Đối thiết
1
H
: 𝑝1≠ 𝑝2
𝛼 =3% → 𝑧𝛼/2 =2,17
𝑝 = 170+260
200+300 =0,86
𝑧 = 170
200−260
300
√0.,86(1−0,86)(1
200+1
300)=-0.52617005
|𝑧|<𝑧𝛼
2   ⇒ chấp nhận giả thiết 𝐻𝑜 : 𝑝1= 𝑝2. Vậy tỉ lệ đạt chuẩn của mặt nạ phòng khói do nhà
máy A, B sản xuất là như nhau.
0,25
0,25
0,25
0.25
3
Hệ số tương quan mẫu giữa X và Y là 𝑟 = −0,921712619 :
có thể dự báo bằng phương trình hồi quy tuyến tính giữa X và Y.
Hàm hồi qui tuyến tính thực nghiệm 𝑦 = 221,55−2,63𝑥
0,25
0,25
Với x=17 thì y =176,84 mg/dl
Nồng độ cholesterol trung bình thay đổi sau 3 tháng của người đó là: 10.52 mg/dl
0,25
0,25