- 1 -
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG
BOÄ MOÂN TOAÙN
ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ 1 NĂM HỌC 2025-2026
MÔN THI: TOÁN CAO CẤP CHO KỸ SƯ 2
Mã môn học: MATH133201 Đề thi gồm 2 trang
Thời gian: 90 phút (ngày 27/10/2025)
Được sử dụng 1 tờ giấy A4 tài liệu viết tay
Câu 1 (2 điểm)
a) Cấu trúc nghiệm hệ phương trình vi phân tuyến tính.
Xét hai hệ phương trình vi phân
)(
2
1
'
)(
)(
'
'
tF
X
A
X
tf
tf
y
x
dc
ba
y
x
(1) và
X
A
X
y
x
dc
ba
y
x
'
'
' (1’).
Biết hệ (1’) có hệ nghiệm cơ bản
te
te
X
te
te
Xt
t
t
t
2sin
2cos
,
2cos
2sin
5
5
2
5
5
1
và hệ (1) có nghiệm riêng t
peX 9
.
Khi đó, nghiệm tổng quát hệ (1) là
...)(
tX .
(làm bài câu này Anh/Chị viết chính xác ...)(
tX
vào giấy làm bài thi).
b) INTERACTING POPULATIONS MODEL.
Giả sử hai cộng đồng dân cư QP, tương tác với
nhau theo quy luật ức chế tăng trưởng nhau, được
mô hình xấp xỉ bởi hệ phương trình vi phân
.0,0
0,0
dcdQcP
dt
dQ
babQaP
dt
dP
Cho biết 4,4,3,5
dcba , 80)0(
P
(triệu), 60)0(
Q(triệu) và đơn vị thời gian
t
là thế kỷ (100 năm). Giải hệ phương trình vi
phân tìm )(),( tQtP .
Theo mô hình trên, khoảng bao nhiêu năm thì
một trong hai cộng đồng dân cư trên hầu như
bằng 0 (bị triệt tiêu hay gần như tuyệt chủng)?
Câu 2 (3 điểm)
a) Bài toán truyền sóng thuần nhất - Dao động uốn của thanh dầm.
Độ dịch chuyển ),( txu trong dao động uốn của thanh
dầm chiều dài L như hình vẽ thỏa phương trình đạo hàm
riêng, với điều kiện biên và điều kiện ban đầu như sau.
0: 2
2
4
4
2
t
u
x
u
aPT , Lx
0, 0
t
0,0,0
0
0,0),(,0),0(
:
2
2
2
2
t
Lxx
u
xx
u
ttLutu
BC
Lxxg
t
t
u
xfxuIC
0),(
0
),()0,(: .
Anh/Chị hãy nêu tên các bước giải bài
toán này.
(Bước1: …; Bước 2:…; Bước 3:…; Bước 4: …).
Cho biết nghiệm bài toán dạng L
xn
L
atn
B
L
atn
Atxu
n
nn
sinsincos),(
12
22
2
22
,
trong đó
L
ndx
L
xn
xf
L
A
0
sin)(
2
,
L
ndx
L
xn
xg
an
L
B
0
22 sin)(
2
với ,...3,2,1
n
Giải bài toán tìm ),( txu khi biết
2
L, xxf 2sin)(
, )2()( xxxg
,
20
x.
b) Bài toán truyền nhiệt một chiều không thuần nhất.
PT:
t
u
e
x
u
kx
2
2
2
, Lx
0, 0
t
BC: ,0),0(
tu 0),(
tLu , 0
t
IC: )()0,( xfxu
, Lx
0.
Giải bài toán tìm ),( txu biết
L và
xxf sin10)(
.
(Nhiệt độ hai đầu bằng 0, nhiệt độ ban đầu tại
x
là )(xf )
(đơn vị bài này là C
o).
- 2 -
Câu 3 ( 5 điểm)
a) Phương trình Laplace, bài toán truyền nhiệt trạng thái dừng trong hình chữ nhật.
0: 2
2
2
2
y
u
x
u
PT , ,0 ax
by
0 (1)
).(),(),()0,(
)(),(),(),0(
:xgbxuxfxu
yGyauyFyu
BC (2)
Giải bài toán tìm ),( yxu biết
2,
ba và
,160)(,140)(
xgxf 200)(,100)(
yGyF
(đơn vị bài này là C
o).
(Steady Temperatures in a Rectangular Plate)
b) Phương trình Laplace, bài toán truyền nhiệt trạng thái dừng trong đĩa tròn bán kính bằng
c
.
0
11
:2
2
22
2
u
r
r
u
r
r
u
PT , ,0 cr
20
(1)
.20),(),(:
fcuBC (2)
Giải bài toán tìm ),(
ru biết
2,)2(60
0,60
)(f4,
c
(đơn vị bài này là C
o).
(PT(1) - Laplacian in Polar Coordinates)
(Steady-state Temperatures in a Circular Plate).
c) Bài toán truyền sóng một chiều (thuần nhất).
PT:2
2
2
2
2
t
u
x
u
a
, Lx
0, 0
t
BC: ,0),0(
tu 0),(
tLu , 0
t (hai đầu gắn chặt)
IC: )()0,( xfxu
, ),(
0xg
tt
u
Lx
0 (vị trí ban đầu )(xf , vận tốc ban đầu )(xg ).
Giải bài toán tìm ),( txu biết
L, xxxf 4sin2sin)(
và axg
)( .
Ghi chú
1) Sinh viên được phép sử dụng các công thức nghiệm thiết lập khi học hay trong giáo trình.
2) Cán bộ coi thi không giải thích đề thi.
CHUẨN ĐẦU RA
Nội dung kiểm tra Chuẩn đầu ra học phần (về kiến thức)
Câu 1: Nắm vững cấu trúc nghiệm và giải được hệ phương trình vi
phân tuyến tính, đồng thời hiểu được ý nghĩa các kết quả tìm được.
G1: 1.2 G2: 2.1.4, 2.4.2, 2.4.3,
2.4.4, 2.4.5, 2.4.6, 2.4.7, 2.5.1.
Câu 2 & 3: Nhận dạng và giải được các bài toán truyền sóng, truyền
nhiệt rồi ứng dụng vào kỹ thuật, công nghệ, thực tế đời sống.
G1: 1.2 ; G2: 2.1, 2.3 ; G2: 2.4.3,
2.4.4, 2.4.5, 2.4.6, 2.4.7, 2.5.1.
Ngày 23 tháng 10 năm 2025
Thông qua Bộ môn Toán