TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT ĐỀ THI CUỐI KỲ HỌC KỲ 2 NĂM HỌC 24-25
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Môn: TOÁN 3
KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG Mã môn học: MATH132601
BỘ MÔN HỌC TOÁN Đề thi có 2 trang. Chỉ được sử dụng 1 tờ A4 viết tay.
***** Ngày thi 29/5/25 Thời gian 90 phút.
Câu 1. (1.5 điểm) Cho hàm vector
R(t) = −sin(2t),4
πt2,cos(2t).
Tìm vector tiếp tuyến đơn vị của đồ thị R(t)tại t0=π/4và tính R(t0)×R′(t0).
Câu 2. (1 điểm) Cho hàm số z=z(r, θ)khả vi, trong đó r > 0, θ ∈(0; π/2) là các hàm số theo
biến x, y và được xác định bởi:
x=rcos(θ), y =rsin(θ).
Tính ∂z
∂x.
Câu 3. (1.5 điểm) Tìm cực trị tương đối (nếu có) của hàm số
f(x, y) = x3−x2−y2+ 2xy −12x.
Câu 4. (1.5 điểm) Tính theo tham số R > 0diện tích phần mặt paraboloid z=x2+y2nằm
trong mặt trụ x2+y2=R2.
Câu 5. (1.5 điểm) Tính tích phân
J=ZZZ
V
(x2−y2+ 2z)dxdydz,
trong đó Vgiới hạn trên bởi mặt phẳng z= 3, giới hạn dưới bởi mặt phẳng Oxy và hình
chiếu vuông góc của Vlên mặt phẳng Oxy là nửa hình tròn 0≤y≤√4−x2.
Câu 6. (2 điểm) Áp dụng định lí Green tính tích phân đường
K=I
C
x(y+ 1)dx + (x2+y2)dy
trong đó (C) là biên tam giác OMN với hướng đi O(0,0) →M(0,−5) →N(5,−5) →O.
Câu 7. (1 điểm) Tính độ phân kỳ và vector xoáy của trường vector
F(x, y, z) = x2yi+xyzj−x2y2k.
Số hiệu:BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 1/2
1
Ghi chú: Cán bộ coi thi không được giải thích đề thi.
Chuẩn đầu ra của học phần (Về kiến thức) Nội dung KT
CLO1: Tính được giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm vectơ và của hàm
nhiều biến Câu 1 →7
CLO2: Sử dụng giới hạn, đạo hàm, tích phân của hàm vectơ và của hàm
nhiều biến để giải quyết các bài toán ứng dụng. Câu 1, 3, 4, 7
CLO3: Tính được các đại lượng đặc trưng của hàm véc tơ Câu 1
CLO4: Vận dụng ý nghĩa và mối quan hệ của các đại lượng đặc trưng của
trường vectơ để giải quyết các bài toán ứng dụng. Câu 7
TP.HCM, ngày 21 tháng 5 năm 2025
Trưởng bộ môn
Phạm Văn Hiển
Số hiệu:BM1/QT-PĐBCL-RĐTV Trang 2/2
2
ĐÁP ÁN Toán 3, HK 2 (24-25)
Câu Nội dung Điểm
1 1.5
R′(t0) = −2 cos(2t),8t
π,−2 sin(2t)=⟨0; 2; −2⟩.
R(t0)×R′(t0) = −π
2,−2,−2.
T(t0) = D0,1
√2,−1
√2E.
0.5
0.5
0.5
2 1.0
r=px2+y2và θ= tan−1y
x
rx=x
px2+y2, θx=−y
x2+y2
zx=x.zr
px2+y2+−yzθ
x2+y2
0.25
0.5
0.25
3 1.5
fx= 3x2−2x−2y−12, fy=−2y+ 2x
Điểm dừng A(2,2), B(−2,−2)
D= (6x−2)(−2) −22, đạt cực đại tại Bvà không đạt cực trị tại A.
0.5
0.5
0.5
4 1.5
zx= 2x, zy= 2y
S=RRDp1+4x2+ 4y2dA
=R2π
0RR
0√1+4r2rdrdθ
=π
6(1 + 4R2)3/2−1
0.25
0.5
0.5
0.25
5 1.5
J=J=ZZDxy Z3
0
(x2−y2+ 2z)dz.
=Rπ
0dθ R2
0rdr 3(r2cos2θ−r2sin2θ+ 9
=Rπ
0dθ R2
09rdr = 36π.
0.5
0.5
0.5
6 2
Tam giá OMN: 0≤x≤5,−5≤y≤ −x
K=RRDxdA =R5
0x(5 −x)dx =125
5
0.75
0.75
7 1
Vector xoáy rotF=−(2x2y+xy)i+ 2xy2j+ (yz −x2)k
Độ phân kỳ divF= 2xy +xz
0.5
0.5