Toán cao cấp 2 - Phần Giải tích
Bài 2. Tích phân hàm một biến số
Nguyễn Phương
Đại học Ngân hàng TPHCM
Email: nguyenphuong0122@gmail.com
Ngày 3 tháng 12 năm 2024
1
NỘI DUNG
1NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 3
Định nghĩa 3
Công thức cơ bản của tích phân bất định 5
Các phương pháp tính tích phân 6
2TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 13
Định nghĩa 13
Tính chất 18
Các phương pháp tính tích phân 23
3TÍCH PHÂN SUY RỘNG 28
Tích phân suy rộng loại 1 31
Tích phân suy rộng loại 2 47
4Ứng dụng trong kinh tế 53
Tìm hàm mục tiêu từ hàm cận biên 53
Tìm các đại lượng trong kinh tế bằng tích phân xác định 54
2
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Hàm số F(x)được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x)
trên Dnếu
F′(x) = f(x).
Ví dụ 1.1.
1sin xlà nguyên hàm của cos x.
2x2là nguyên hàm của 2x.
3x2+ 2022 là nguyên hàm của 2x.
Định lý 1.1. Nếu hàm số F(x)là nguyên hàm của hàm số f(x)trên Dthì
1Hàm số F(x) + C, với Clà hằng số bất kỳ, cũng là nguyên hàm của
hàm số f(x).
2Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x)đều biểu diễn được dưới
dạng số F(x) + C, với Clà một hằng số.
3
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Định nghĩa
Định nghĩa 1.2. Cho hàm số F(x)là một nguyên hàm của f(x)trên (a, b).
Khi đó biểu thức
F(x) + Cvới Clà hằng số
được gọi là tích phân bất định của hàm f(x)trên khoảng (a, b)và được ký
hiệu là Zf(x)dx
Ví dụ 1.2.
1Rcos xdx = sin x+C
2R2xdx =x2+C
Tính chất
1) Rf(x)dx′=f(x);
3) Raf(x)dx =aRf(x)dx;
2) RF′(x)dx =F(x) + C;
4) R[f(x)±g(x)]dx =Rf(x)dx ±Rg(x)dx.
5) Nếu Rf(x)dx =F(x) + Cthì Rf(u)du =F(u) + C, ∀u=u(x).
4
NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Công thức cơ bản của tích phân bất định
Các công thức tính tích phân cơ bản
1) Rxαdx =xα+1
α+ 1 +C(α=−1)
2) Rdx
x= ln ♣x♣+C
3) Raxdx =ax
ln a+C
4) Rexdx =ex+C
5) Rsin xdx =−cos x+C
6) Rcos xdx = sin x+C
7) Rdx
cos2x= tan x+C
8) Rdx
sin2x=−cot x+C
9) Rdx
x2+a2=1
aarctan x
a+C
10) Rdx
a2−x2=1
2aln
a+x
a−x
+C
11) Rdx
√a2−x2= arcsin x
a+C
12) Rdx
√x2+a= ln x+√x2+a+C
Ví dụ 1.3. Tính các tích phân sau:
1) R(x2+ 2x)dx
2) Rx3−1
x2dx
5