Chương 2:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Ngày 27 tháng 9 năm 2024
1
2
Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm
Định nghĩa 1.1. Hệ phương trình tuyến tính gồm mphương trình, nẩn
số có dạng
a11x1+a12x2+· · · +a1nxn=b1
a21x1+a22x2+· · · +a2nxn=b2
.
.
.
am1x1+am2x2+· · · +amnxn=bm
(1)
Ma trận A=
a11 · · · a1n
a21 · · · a2n
.
.
.....
.
.
am1· · · amn
, X =
x1
.
.
.
xn
, B =
b1
.
.
.
bm
được gọi
là ma trận hệ số, ma trận biến số và ma trận hệ số tự do của (1).
Khi đó: (1) ⇔AX =B. (2)
A= (A♣B)được gọi là ma trận hệ số mở rộng của (1).
3
Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm
Ma trận Aj=
a1j
.
.
.
amj
, j ∈ 1, . . . , n♢được gọi là ma trận cột thứ jcủa A.
Khi đó: (1) ⇔A1x1+· · · +Anxn=B. (3)
α= (α1, α2, . . . , αn)Tđược gọi là nghiệm của (2) nếu Aα =B.
Các cách viết nghiệm của (1): (α1, α2, . . . , αn)hoặc
x1=α1, x2=α2, . . . , xn=αn.
Hai hệ phương trình có cùng ẩn số được gọi là tương đương nếu chúng
có cùng tập nghiệm.
4
Hệ phương trình tuyến tính Các khái niệm
Định nghĩa 1.2. Có 3 phép biến đổi sơ cấp như sau:
1P1: Hoán vị 2 dòng/cột.
2P2: Nhân một dòng/cột với một số λ= 0.
3P3: Nhân một dòng/cột với một số λrồi cộng vào một dòng/cột khác.
Định lý 1.1. Các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận các hệ số
Atương ứng biến hệ phương trình thành một hệ phương trình tương
đương với nó.
Ví dụ:
Xét hệ phương trình:
x+ 2y+z+t= 2
−x+y−2z−t=−3
2x+ 6y+ 3z+ 2t= 8
A=
1 2 1 1
−1 1 −2−1
2 6 3 2
2
−3
8
d2→d2+d1
−−−−−−−→
d3→d3−2d1
1 2 1 1
0 3 −1 0
0 2 1 0
2
−1
4
5