MATH231: Bài giảng Đại số tuyến tính
Trần Đức Anh, mail: ducanh@hnue.edu.vn
2023-2024
Mục lục
1 Khái niệm không gian vector 2
2 Tổ hợp tuyến tính và tính độc lập tuyến tính 3
3 Tập con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của hệ vector 5
4 Cơ sở và số chiều của không gian vector 6
5 Thuật toán tính hạng hệ vector 6
6 Các hệ quả từ thuật toán tính hạng hệ vector 7
7 Một số bài toán được rút gọn thành bài toán tính hạng 7
8 Các phép toán trên không gian vector con 7
9 Không gian vector thương 8
10 Ánh xạ tuyến tính 9
11 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở 10
12 Ma trận chuyển cơ sở và cách đổi tọa độ 10
13 Đổi cơ sở thì ma trận biểu diễn thay đổi như thế nào? 11
14 Ánh xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến tính (tiếp theo) 12
15 Tính xác định trên cơ sở 12
16 Khái niệm đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu 12
17 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính 13
18 Sơ lược về tự đồng cấu tuyến tính 14
19 Không gian vector đối ngẫu 15
20 Điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm 16
1
21 Cấu trúc nghiệm của hệ phương trình tuyến tính 17
22 Biện luận nghiệm hệ phương trình tuyến tính như thế nào? 17
23 Tự đồng cấu và các khái niệm cơ bản 17
24 Tự đồng cấu chéo hóa được 19
25 Tự đồng cấu lũy linh 19
26 Dạng chuẩn Jordan của ma trận vuông 20
27 Một số kết quả nâng cao 21
28 Tích vô hướng và không gian vector Euclid 22
29 Ánh xạ tuyến tính trực giao 23
30 Ma trận trực giao và dạng chính tắc 24
31 Dạng chính tắc của ma trận trực giao 25
32 Ma trận đối xứng thực 27
33 Dạng toàn phương 29
34 Định lý Sylvester về tiêu chuẩn xác định dương 31
35 Khoảng cách 31
36 Định thức Gram 32
37 Bổ sung một số thuật ngữ về dạng toàn phương 33
38 Phiên bản phức của kgvt Euclid 33
1 Khái niệm không gian vector
Đầu tiên, Rlà tập số thực quen thuộc, và ở đây ta sẽ gọi Rlà trường số thực. Tiếp theo, cho
Vlà một tập hợp khác rỗng. Các phần tử của Vđược ký hiệu là ~u, ~v, ~w v.v. Giả sử Vđược
trang bị hai phép toán + và . như sau:
•Với mọi ~u, ~v ∈V, tổng ~u +~v định nghĩa được và là một phần tử của V.
•Với mọi số thực λvà phần tử ~u ∈V, tích λ·~u định nghĩa được và là một phần tử của V.
Định nghĩa 1.1 (không gian vector).Ta nói Vlà không gian vector trên trường số thực R
(hoặc một cách ngắn gọn, ta nói Vlà R−không gian vector) nếu các phép toán + và . ở trên
thỏa mãn các tính chất sau:
•Với mọi ~u, ~v ∈V, ta có ~u +~v =~v +~u (tính chất giao hoán).
•Với mọi ~u, ~v, ~w ∈V, ta có (~u +~v) + ~w =~u + (~v +~w)(tính chất kết hợp).
2
•Tồn tại một phần tử "trung lập" trong Vđối với phép +, được ký hiệu là ~
0,thỏa mãn
~u +~
0 = ~
0 + ~u =~u với mọi ~u ∈V.
•Với mỗi phần tử ~u ∈V, tồn tại phần tử đối của ~u, được ký hiệu là −~u, thỏa mãn
~u + (−~u) = (−~u) + ~u =~
0.
•Với mọi λ∈Rvà ~u, ~v ∈V, ta có λ·(~u +~v) = λ·~u +λ·~v (tính chất phân phối của phép
·với phép + về phía bên phải).
•Với mọi λ, µ ∈R,với mọi ~u ∈V, ta có (λ+µ)·~u =λ·~u +µ·~u (tính chất phân phối
của phép ·với phép + về phía bên trái).
•Với mọi λ, µ ∈R,với mọi ~u ∈V, ta có (λ·µ)·~u =λ·(µ·~u)(tính chất kết hợp).
•Với mọi ~u ∈V, ta có 1·~u =~u (tính chất chuẩn hóa).
Ghi chú 1.2. Khi Vlà R−không gian vector, ta có thể nói ngắn gọn Vlà không gian vector,
và viết tắt là kgvt. Các phần tử của Vsẽ được gọi là vector. Phần tử ~
0được gọi là vector
không. Phép nhân ·của Vđược gọi là phép nhân với vô hướng, hoặc phép nhân với số thực.
Ví dụ 1.3. Ta trang bị cho tập Rnmột cấu trúc R−không gian vector như sau. Mỗi phần tử
của Rnđều có ntọa độ, ta xét hai phần tử của Rn:~u = (x1, x2, . . . , xn)và ~v = (y1, y2, . . . , yn).
Tổng ~u +~v được định nghĩa là ~u +~v = (x1+y1, x2+y2, . . . , xn+yn)∈Rn.
Phép nhân với số thực được định nghĩa như sau: Với λ∈Rvà ~u = (x1, x2, . . . , xn)∈Rn,
ta định nghĩa λ·~u = (λx1, λx2, . . . , λxn).
Với hai phép toán này, Rntrở thành không gian vector trên trường số thực.
Ví dụ 1.4. Ký hiệu R[x]là tập các đa thức một biến xvới hệ số thực. Nghĩa là, mỗi phần
tử R[x]có dạng f(x) = a0+a1x+a2x2+. . . +akxkvới klà số tự nhiên và ailà các số thực.
Cho hai đa thức f(x), g(x),ta có thể định nghĩa được f(x) + g(x)một cách thông thường, và
thu được một đa thức. Tương tự, nếu λlà một số thực và f(x)là một đa thức thì λ·f(x)
cũng là một đa thức. Do đó, ta thu được (R[x],+,·)là không gian vector.
2 Tổ hợp tuyến tính và tính độc lập tuyến tính
Định nghĩa 2.1. Cho Vlà một không gian vector. Cho ~v1, ~v2, . . . , ~vklà kvector trong V. Cho
a1, a2, . . . , ak∈R.Biểu thức
a1~v1+a2~v2+. . . +ak~vk
được gọi là tổ hợp tuyến tính của các vector ~v1, ~v2, . . . , ~vk.Các số thực aiđược gọi là hệ số
(hoặc trọng số ) của tổ hợp tuyến tính.
Định nghĩa 2.2. Các vector ~v1, ~v2, . . . , ~vk∈Vđược gọi là độc lập tuyến tính, nếu có tổ hợp
tuyến tính nào đó a1~v1+a2~v2+. . . +ak~vk=~
0thì các hệ số a1=a2=. . . =ak= 0.Nếu các
vector không độc lập tuyến tính thì ta nói các vector đó phụ thuộc tuyến tính.
Ghi chú 2.3. Một tổ hợp tuyến tính a1~v1+a2~v2+. . .+ak~vkmà các hệ số a1=a2=. . . =ak= 0
đều triệt tiêu thì được gọi là tổ hợp tuyến tính tầm thường.
Ví dụ 2.4. Xét một vector ~v1∈V. Hệ một vector ~v1là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
~v16=~
0.
3
Ví dụ 2.5. Xét hai vector ~v1, ~v2∈V. Hai vector này là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi
~v16 k~v2(không song song). Như vậy, hai vector ~v1, ~v2là phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ hai
vector này cùng phương với nhau. Hay nói cách khái là tính phụ thuộc tuyến tính là tổng
quát hóa cho quan hệ song song đã được học ở phổ thông.
Ví dụ 2.6. Xét ba vector ~v1, ~v2, ~v3∈R3.Ba vector này phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
chúng đồng phẳng.
Định nghĩa 2.7 (không gian vector con).Cho Vlà không gian vector và W⊂Vlà một tập
con khác rỗng. Ta nói Wlà không gian vector con của Vnếu nó thỏa mãn hai điều sau:
•Với mọi ~u, ~v ∈W, ta có ~u +~v ∈W(ta nói Wổn định với phép cộng của V).
•Với mọi λ∈Rvà ~u ∈W, ta có λ·~u ∈W(ta nói Wổn định với phép nhân với số thực).
Định nghĩa 2.8. Cho A⊂Vlà một tập con. Giả sử các phần tử của Alà ~v1, ~v2, . . . , ~vk.Định
nghĩa tập span Alà tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của A. Dễ thấy span Alà không gian
vector con của Vvà ta gọi span Alà không gian vector con sinh bởi A(hoặc bao tuyến tính
của A).
Ghi chú 2.9. Trong giáo trình của môn học, các tác giả sử dụng ký hiệu hAithay cho span A.
Ta sẽ sử dụng song song cả hai ký hiệu trong môn học.
Từ định nghĩa của bao tuyến tính, ta có mệnh đề đơn giản sau.
Mệnh đề 2.10. Giả sử ~v1, ~v2, . . . , ~vklà kvector độc lập tuyến tính của không gian vector V.
Giả sử ~vk+1 ∈Vlà vector thỏa mãn ~vk+1 6∈ span {~v1, ~v2, . . . , ~vk},khi đó, k+ 1 vector
~v1, ~v2, . . . , ~vk+1
là độc lập tuyến tính.
Chứng minh Giả sử ~v1, ~v2, . . . , ~vk+1 là phụ thuộc tuyến tính, khi đó, tồn tại một tổ hợp
tuyến tính không tầm thường
a1~v1+a2~v2+. . . +ak+1~vk+1 =~
0,
trong đó, ailà các số thực không đồng thời bằng 0.
Nếu ak+1 6= 0 thì ta thu được
~vk+1 =−a1
ak+1
~v1−a2
ak+1
~v2−. . . −ak
ak+1
~vk+1 ∈span {~v1, ~v2, . . . ,~vk}.
Điều này gây mâu thuẫn.
Như vậy, ak+1 = 0,khi đó, ta thu được tổ hợp tuyến tính không tầm thường
a1~v1+a2~v2+. . . +ak~vk=~
0.
Điều này cũng là không thể, vì theo giả thiết, ~v1, ~v2, . . . , ~vklà độc lập tuyến tính.
Mệnh đề 2.11. Cho X, Y ⊂Vlà các tập con nào đó của không gian vector V. Giả sử mọi
vector của Yđều là tổ hợp tuyến tính của các vector của X. Khi đó, ta có
span Y⊂span X.
4
Chứng minh Mỗi phần tử của span Ylà tổ hợp tuyến tính của các vector của Y, tức là
một biểu thức có dạng a1~v1+a2~v2+. . . +ak~vkvới ailà các số thực và ~vilà các vector trong
Y. Mỗi vector ~vilại là tổ hợp của các vector trong X. Do đó, ta khai triển biểu thức a1~v1+
a2~v2+. . . +ak~vkvà thu được đây chính là tổ hợp tuyến tính của các vector trong X.
Tức là span Y⊂span X.
3 Tập con độc lập tuyến tính tối đại và hạng của hệ
vector
Ta xét kvector ~v1, ~v2, . . . , ~vk∈V. Ký hiệu A={~v1, ~v2, . . . , ~vk}.Ta gọi Alà một hệ vector
trong V.
Định nghĩa 3.1. Tập B⊂Ađược gọi là tập con độc lập tuyến tính tối đại của Anếu các
vector trong Bđộc lập tuyến tính và nếu ta lấy thêm một vector trong A\Bcho vào Bthì
tập Bsẽ không còn độc lập tuyến tính nữa.
Mệnh đề 3.2. Giả sử Blà tập con độc lập tuyến tính tối đại của A.
(a) Khi đó, mọi vector ~v ∈Ađều là tổ hợp tuyến tính của các vector trong B, tức là ~v ∈
span B.
(b) Do đó,
span B= span A.
Chứng minh Chứng minh ý (a) Giả sử B={~v1, ~v2, . . . , ~vm}.Xét vector ~vj∈Abất kỳ.
Nếu ~vj6∈ span B, khi đó, {~v1, ~v2, . . . , ~vm, ~vj}là độc lập tuyến tính theo Mệnh đề 2.10, như
vậy, Bkhông phải hệ con độc lập tuyến tính tối đại. Do đó, ~vj∈span B.
Chứng minh ý (b) Do B⊂Anên span B⊂span A. Mặt khác, mỗi vector của Ađều là
tổ hợp tuyến tính của các vector của Btheo Mệnh đề 2.11 nên span A⊂span B.
Do đó, span B= span A.
Mệnh đề 3.3 (Bổ đề kỹ thuật).Cho Bvà Clà hai tập con độc lập tuyến tính tối đại của A.
Khi đó Bvà Ccó cùng số phần tử.
Ý tưởng chứng minh Chứng minh chi tiết xem trong Giáo trình, Bổ đề 2.3.3, trang 36.
Ở đây, tôi chỉ nêu ý tưởng cơ bản.
Giả sử B={~u1, ~u2, . . . , ~ur}và C={~v1, ~v2, . . . , ~vs}.Do Blà hệ con độc lập tuyến tính tối
đại, nên mỗi vector ~vi∈Cđều là tổ hợp tuyến tính của các vector của Btheo Mệnh đề 3.2.
Ta xét vector ~v1∈C. Giả sử
~v1=a1~u1+a2~u2+. . . +ar~ur.
Do ~v16=~
0,nên tồn tại một hệ số ai6= 0.Ta có thể giả sử a16= 0.
Khi đó, ta thu được
~u1=1
a1
~v1−a2
a1
~u2−. . . −ar
a1
~ur.
5