Chương 3. Euclide
GV. Nguyễn Hữu Hiệp
Bộ môn toán Ứng dụng, Khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa TP. Hồ Chí Minh, 268 Lý
Thường Kiệt, Quận 10, TP. Hồ Chí Minh.
E-mail: nguyenhuuhiep@hcmut.edu.vn
Ngày 18 tháng 2 năm 2022
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 3. Euclide Ngày 18 tháng 2 năm 2022 1 / 38
Tích vô hướng
1Tích vô hướng
2Không gian bù vuông góc (trực giao)
3Hình chiếu vuông góc
4Phương pháp bình phương cực tiểu
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 3. Euclide Ngày 18 tháng 2 năm 2022 2 / 38
Tích vô hướng
Tích vô hướng
Cho Xlà KGVT trên R. Xét phép nhân 2 véc tơ (., .) : X×X→Rthỏa 4 tiên
đề sau:
i) (∀u∈X) : (u, u)≥0; (u, u) = 0 ⇐⇒ u= 0.
ii) (∀u, v ∈X):(u, v) = (v, u).
iii) (∀α∈R, ∀u, v ∈X):(αu, v) = α(u, v).
iv) (∀u, v, w ∈X) : (u+v, w) = (u, w)+(v, w).
Khi đó, (., .)gọi là 1 tích vô hướng. KGVT Xvới phép toán tích vô hướng gọi là
không gian tích vô hướng.
Nếu Xhữu hạn chiều gọi là không gian euclide.
Tích vô hướng trên phức thì điều kiện thứ 3 là
(u, v) = (v, u).
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 3. Euclide Ngày 18 tháng 2 năm 2022 3 / 38
Tích vô hướng
Ví dụ 1 (về tích vô hướng)
1/ R2: (x, y) = x1y1+x2y2là tích vô hướng chính tắc trên R2
2/ R3: (x, y) = x1y1+x2y2+x3y3là tích vô hướng chính tắc trên R3
3/ R2: (x, y) = 2x1y1+ 3x2y2
4/ R2: (x, y) = 3x1y1+ 4x2y2−2x1y2−2x2y1
5/ R3: (x, y) = 3x1y1+ 4x2y2+ 7x3y3−x1y2−x2y1+ 2x1y3+ 2x3y1+x2y3+x3y2
6/ R2: (x, y) = x1x21−2
−2 5 y1
y2
7/ C[a, b]:(f, g) =
b
Z
a
f(x).g(x)dx
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 3. Euclide Ngày 18 tháng 2 năm 2022 4 / 38
Tích vô hướng
Các khái niệm liên quan
1/ Độ dài véc tơ ∥u∥=p(u, u)
2/ Khoảng cách giữa 2 véc tơ d(u, v) = ∥u−v∥
Nếu ∥u∥= 1 thì ta nói ulà véc tơ đơn vị.
3/ Góc cos(u, v) = (u, v)
∥u∥∥v∥
4/ Pythagone: ∥u∥2+∥v∥2=∥u+v∥2⇐⇒ u⊥v⇐⇒ (u, v) = 0
5/ Đẳng thức hình bình hành
∥u+v∥2+∥u−v∥2= 2 ∥u∥2+∥v∥2
Nguyễn Hữu Hiệp (Th.S.Nguyễn Hữu Hiệp) Chương 3. Euclide Ngày 18 tháng 2 năm 2022 5 / 38