Chương 3. VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN
§7. GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM RIÊNG và VI
PHÂN của HÀM NHIỀU BIẾN
LÊ QUÍ DANH
danh.lequi@uah.edu.vn
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Ngày 9 tháng 10 năm 2021
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §7. GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM RIÊNG 9/10/2021 1/30
Nội dung
1CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
2GIỚI HẠN và LIÊN TỤC
3ĐẠO HÀM RIÊNG
4SỰ KHẢ VI của HÀM NHIỀU BIẾN
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §7. GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM RIÊNG 9/10/2021 2/30
1.CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
KHÔNG GIAN Rn
Rn={(x1;x2;...;xn) : xi∈R}.
Cho A(x1;x2;...;xn),B(y1;y2;...;yn)∈Rn.Khoảng cách
giữa Avà B:
d(A;B) = AB =p(y1−x1)2+ (y2−x2)2+· · · + (yn−xn)2.
Quả cầu mở tâm I∈Rn, bán kính r > 0:
B(I,r) = {P∈Rn:d(I;P)< r}.
Với mỗi I∈R,B(I,r)được gọi là một lân cận của I. Ta
cũng ký hiệu B∗(I,r) = B(I,r)\ {I}.
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §7. GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM RIÊNG 9/10/2021 3/30
Tập mở, tập đóng, tập bị chặn trong Rn
Tập hợp U ⊆ Rnđược gọi là tập mở nếu với mọi M∈ U, tồn
tại B(M,δ)⊆ U.
Tập hợp V ⊆ Rnđược gọi là tập đóng nếu Rn\ V là tập mở.
Tập hợp S ⊆ Rnđược gọi là tập bị chặn nếu tồn tại một
quả cầu mở chứa S.
Một điểm M∈Rnđược gọi là điểm trong của tập Snếu tồn
tại B(M,δ)⊆ S.
Tính chất. Tập hợp Ulà tập mở khi và chỉ khi mọi điểm
thuộc Uđều là điểm trong của U.
Một điểm M∈Rnđược gọi là điểm biên của tập Snếu với
mọi ε > 0ta luôn có B(M,ε)∩ S 6=∅và
B(M,ε)∩(Rn\ S)6=∅.
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §7. GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM RIÊNG 9/10/2021 4/30
HÀM SỐ THỰC nBIẾN
Cho ∅6= Ω ⊆Rn. Một quy tắc fliên kết mỗi điểm
M(x1;x2;...;xn)∈Ωvới duy nhất một giá trị y∈Rthì fđược
gọi là một hàm số thực theo nbiến (độc lập) x1,x2,...,xn.
Ký hiệu y=f(M)hoặc y=f(x1;x2;...;xn).
•Ωđược gọi là tập xác định của fvà được ký hiệu là Df= Ω.
Nếu không cho trước, ta hiểu Dflà tập hợp tất cả các điểm làm
cho fxác định.
Lưu ý.
Giữa hàm hai biến và hàm nhiều hơn hai biến không khác
nhau nhiều về nguyên tắc. Do đó, chủ yếu ta sẽ khảo sát hàm
hai biến, rồi mở rộng tự nhiên cho hàm nbiến.
Ta thường ký hiệu hàm hai biến là z=f(x;y)hoặc z=f(M)
với M(x;y)∈Df. Tập hợp Gf={(x;y;f(x;y)) : (x;y)∈Df}
được gọi là đồ thị của hàm f.
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §7. GIỚI HẠN, ĐẠO HÀM RIÊNG 9/10/2021 5/30