1.ĐẠO HÀM RIÊNG CỦA HÀM HỢP
Đạo hàm hàm hợp
Cho z=f(u;v)với u=u(t)và v=v(t). Nếu fkhả vi trên
miền D⊆R2,u,vkhả vi trên (a;b), và (u(t);v(t)) ∈Dvới mọi
t∈(a;b)thì ϕ(t) = f(u(t);v(t)) khả vi trên (a;b)và
dz
dt=dϕ
dt=∂f
∂u.du
dt+∂f
∂v.dv
dt.
Ví dụ 1. Cho z=x2+xy, với x=t2,y = 3t. Hãy tính dz
dt.
Giải.
dz
dt=z′
x.x′
t+z′
y.y′
t= (2x+y)2t+x.3 = 2t(2t2+3t)+3t2= 4t3+9t2.
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §8. ĐẠO HÀM RIÊNG (tt) 9/10/2021 3/26
Đạo hàm riêng của hàm hợp
Cho z=f(u;v)với u=u(x;y)và v=v(x;y). Nếu fkhả vi
trên miền D⊆R2,u,vkhả vi trên Ω⊆R2, và
(u(x;y);v(x;y)) ∈Dvới mọi (x;y)∈Ωthì
φ(x;y) = f(u(x;y);v(x;y)) khả vi trên Ωvà
∂z
∂x =∂φ
∂x =∂f
∂u.∂u
∂x +∂f
∂v.∂v
∂x và ∂z
∂y =∂φ
∂y =∂f
∂u.∂u
∂y +∂f
∂v.∂v
∂y.
Tương tự cho trường hợp hàm nhiều biến:
y=f(u1;u2;...;un)với uk=uk(x1;x2;...;xm):
∂y
∂xk=∂f
∂u1.∂u1
∂xk+∂f
∂u2.∂u2
∂xk+· · ·+∂f
∂un.∂un
∂xk,(k= 1,2,...,m).
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §8. ĐẠO HÀM RIÊNG (tt) 9/10/2021 4/26
Ví dụ 2. Cho z=e(x+y3).ln(1+y2). Tính z′
xvà z′
y.
Giải. Đặt u=x+y3và v= ln(1 + y2), ta có z=euv. Suy ra
z′
u=veuv, z′
v=ueuv, u′
x= 1, u′
y= 3y2, v′
x= 0, v′
y=2y
1 + y2.
Từ đây ta có
z′
x=z′
u.u′
x+z′
v.v′
x=veuv.1 + ueuv.0 = ln(1 + y2)e(x+y3).ln(1+y2),
z′
y=z′
u.u′
y+z′
v.v′
y=veuv.3y2+ueuv.2y
1 + y2
=3y2ln(1 + y2) + 2y(x+y3)
1 + y2
e(x+y3).ln(1+y2).
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §8. ĐẠO HÀM RIÊNG (tt) 9/10/2021 5/26
