ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC
——————————————-
TRẦN THỊ KIM OANH, PHAN XUÂN THÀNH, LÊCHÍ NGỌC,
NGUYỄN THỊ THU HƯƠNG
GIẢI TÍCH II
HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ
Bài giảng dành cho sinh viên các ngành kỹ thuật
NHÀ XUẤT BẢN BÁCH KHOA HÀ NỘI
LỜI MỞ ĐẦU
Phép tính vi phân và phép tính tích phân được phát triển từ thế kỷ XVII. Đây là
hai phép toán cơ bản của Giải tích, có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật, y
học, kinh tế và nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội. Cuốn sách Giải tích II chủ yếu
dành cho phép tính tích phân đối với hàm số nhiều biến số, với nhiều ứng dụng khác
nhau trong các bài toán đo đạc, như tính độ dài, diện tích, thể tích, khối lượng, công
của lực, v.v.. Nội dung của cuốn sách này dựa trên đề cương môn Giải tích II, nhóm
ngành một, của Viện Toán ứng dụng và Tin học. Cuốn sách cung cấp những kiến
thức cơ bản về ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học, tích phân bội, tích
phân đường, tích phân mặt và lý thuyết trường. Đây là hệ thống kiến thức nền tảng
để người đọc tiếp cận các ngành công nghệ, kỹ thuật và kinh tế.
Mục tiêu của cuốn sách nhằm củng cố kiến thức lý thuyết và kỹ năng vận dụng,
tính toán thông qua nhiều ví dụ và hệ thống bài tập phong phú. Cuốn sách hướng
tới khả năng vận dụng và kỹ năng tính toán, nên một số chứng minh được lược bỏ.
Chúng tôi đưa ra các bài tập có đáp số cuối mỗi chương. Ngoài ra, một số đề thi môn
Giải tích II của Viện Toán ứng dụng và Tin học các năm gần đây được đưa vào cuối
sách để người đọc tham khảo.
Cuốn sách có thể được dùng làm tài liệu học tập cho sinh viên Đại học Bách khoa
Hà Nội. Đây cũng là tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên các trường đại học khác
và người đọc quan tâm. Trong quá trình biên soạn, không tránh khỏi những thiếu
sót, chúng tôi rất mong nhận được các góp ý quý giá từ quý bạn đọc để cuốn sách
được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến góp ý xin vui lòng gửi đến nhóm tác giả qua email:
sami@hust.edu.vn.
Các tác giả.
ii
CÁC KÝ HIỆU
NTập các số tự nhiên
N*Tập các số tự nhiên khác 0
ZTập các số nguyên
QTập các số hữu tỷ
RTập các số thực
R+Tập các số thực không âm
Mục lục
Lời mở đầu ..................................... i
Các ký hiệu ..................................... ii
Mục lục ........................................ iii
1 Ứng dụng của phép tính vi phân trong hình học 1
S1.1 Ứng dụng trong hình học phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Tiếp tuyến và pháp tuyến của đường cong . . . . . . . . . . . . 1
1.1.2 Độcong ................................ 2
1.1.3 Hình bao của một họ đường cong phụ thuộc tham số . . . . . . 4
S1.2 Ứng dụng trong hình học không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 Hàmvectơ............................... 5
1.2.2 Tiếp tuyến và pháp diện của đường cong . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Độcong ................................ 8
1.2.4 Pháp tuyến và tiếp diện của mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Tích phân bội 12
S2.1Tíchphânkép................................. 12
2.1.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.2 Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes . . . . . . . . 15
2.1.3 Đổi biến số trong tích phân bội hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.4 Ứng dụng của tích phân kép . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
S2.2Tíchphânbộiba................................ 29
2.2.1 Định nghĩa và các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2.2 Cách tính tích phân bội ba trong hệ tọa độ Descartes . . . . . . 32
2.2.3 Đổi biến số trong tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2.4 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2.5 Tích phân bội ba trong hệ tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.6 Ứng dụng của tích phân bội ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Tích phân phụ thuộc tham số 47
S3.1 Tích phân xác định phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.1 Địnhnghĩa............................... 47
3.1.2 Tính liên tục, khả tích, khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 Tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi . . . . . . . . . . 49
S3.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
iii
0 MỤC LỤC
3.2.1 Định nghĩa, khái niệm hội tụ đều . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2.2 Tính liên tục, khả tích, khả vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
S3.3TíchphânEuler ................................ 56
3.3.1 HàmGamma ............................. 56
3.3.2 HàmBeta ............................... 57
4 Tích phân đường 60
S4.1 Tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.1 Định nghĩa tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.1.2 Cách tính tích phân đường loại một . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.1.3 Trường hợp đường lấy tích phân là một đường trong không gian 62
S4.2 Tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.1 Định nghĩa tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.2 Cách tính tích phân đường loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.3 CôngthứcGreen........................... 66
4.2.4 Điều kiện để tích phân đường loại hai không phụ thuộc vào
đườnglấytíchphân ......................... 71
5 Tích phân mặt 78
S5.1Tíchphânmặtloạimột............................ 78
5.1.1 Địnhnghĩa............................... 78
5.1.2 Cách tính tích phân mặt loại một . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
S5.2Tíchphânmặtloạihai ............................ 79
5.2.1 Định nghĩa. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
5.2.2 Cách tính tích phân mặt loại hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
5.2.3 Công thức Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.4 CôngthứcStokes........................... 85
6 Lý thuyết trường 89
S6.1Trườngvôhướng ............................... 89
6.1.1 Trườngvôhướng........................... 89
6.1.2 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.1.3 Gradient................................ 91
S6.2Trườngvectơ.................................. 92
6.2.1 Trường vectơ và đường dòng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
6.2.2 Thông lượng, div và trường ống . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
6.2.3 Hoàn lưu và vectơ xoáy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
6.2.4 Trường thế và hàm thế vị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
6.2.5 Trườngđiềuhòa ...........................101
Mộtsốđềthithamkhảo ..............................104
Tàiliệuthamkhảo..................................120