CHƯƠNG 3
TÍCH PHÂN ĐƯỜNG VÀ TÍCH PHÂN MẶT
Học xong chương này, sinh viên có thể:
Trình bày được các định nghĩa và các tính chất cơ bản của tích phân đường
loại 1 và tích phân đường loại 2;
Phát biểu được các định lí về sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại
1, tích phân đường loại 2 và vận dung các định lí này để tính các tích phân
đường loại 1, loại 2;
Trình bày được mối quan hệ giữa tích phân đường loại 1 với tích phân
đường loại 2;
Phát biểu được công thức Green và vận dụng công thức này để tính diện
tích hình phẳng; Phát biểu được định lí 4 mệnh đề tương đương và vận dụng
để giải quyết các bài toán liên quan;
Phát biểu được các định nghĩa và các tính chất của tích phân mặt loại 1,
tích phân mặt loại 2;
Phát biểu được các định lí về sự tồn tại và cách tính tích phân mặt loại 1,
tích phân mặt loại 2; Vận dụng các định lí này để tính tích phân mặt loại 1,
tích phân mặt loại 2;
Phát biểu được công thức Ostrogradsky và vận dụng để tính tích phân mặt
loại 2 thông qua tính tích phân 3 lớp hoặc tích phân 3 lớp thông qua tích
phân mặt loại 2; Trình bày được công thức Stokes và vận dụng để xét mối
quan hệ giữa tích phân đường loại 2 với tích phân mặt loại 2.
Mục tiêu chương
98
99 Giáo trình Giải tích 2
3.1 Tích phân đường loại 1
Để nghiên cứu tích phân trên các đường cong, đầu tiên chúng ta trình bày một
số vấn đề về đường cong.
3.1.1 Đường cong
3.1.1.1 Định nghĩa. Tập con L⊂Rnđược gọi là đường cong trong Rnnếu tồn tại
một ánh xạ liên tục γ: [a,b]→Rnsao cho L=γ([a,b]). Khi đó, ánh xạ γđược gọi
là biểu diễn tham số của đường cong L.
3.1.1.2 Định nghĩa. Giả sử Llà đường cong trong Rncó biểu diễn tham số
γ: [a,b]→Rnvới γ(t) = (γ1(t),...,γn(t)),t ∈[a,b].
1. Đường cong Lđược gọi là đường cong lớp C1nếu các hàm γicó đạo hàm
liên tục trên [a,b].
2. Đường cong Lđược gọi là đường cong đều hay C1- đều nếu Llà đường cong
lớp C1,γ|[a,b]là song ánh và
γ′(t) = (γ′
1(t),...,γ′
n(t)) 6= 0,∀t∈[a,b]
3. Đường cong Lđược gọi là đều từng khúc nếu tồn tại một số hữu hạn các
điểm t0,t1,...,tm∈[a,b]sao cho
a=t0< t1< ... < tm=b
và Li=γ([ti,ti+1]) là đường cong đều với mọi i= 0,1,...,m −1.
4. Đường cong Lđược gọi là đường cong kín hay chu tuyến nếu γ(a) = γ(b)
3.1.1.3 Các ví dụ.
1) Cung của parabol y= 2x2với −16x61là đường cong đều có biểu diễn
tham số là γ(x) = (x,2x2), x ∈[−1,1].
2) Đường tròn tâm (0,0),bán kính r > 0trong R2là đường cong đều, kín có biểu
diễn tham số là γ(t) = (rcos t,rsin t), t ∈[0,2π].
100 Giáo trình Giải tích 2
3) Trong Rn, cho các điểm A= (a1,a2,...,an)và B= (b1,b2,...,bn). ánh xạ
γ: [0,1] →Rn
được xác định bởi
γ(t) = a1t+b1(1 −t),a2t+b2(1 −t),....,ant+bn(1 −t)
là biểu diễn tham số của đoạn thẳng AB.
4) Ánh xạ γ: [0,2π]→R2cho bởi
γ(t) = x(t),y(t)=asin t,bcos t,)x∈[0,2π] (a,b > 0)
là biểu diễn tham số của Elip trong R2có phương trình x2
a2+y2
b2= 1.
5) Cho flà hàm số liên tục trên [a,b]. Khi đó ánh xạ γf: [a,b]→R2xác định
bởi γf(x) = x,f(x), x ∈[a,b]
cho ta biểu diễn tham số một cung trong R2, là đồ thị của hàm số f.
6) Ánh xạ γ: [0,2π]→R2cho bởi
γ(t) = x(t),y(t)=a+Rsin t,b +Rcos t,)t∈[0,2π]
là biểu diễn tham số của đường tròn trong R2có phương trình cho bởi toạ độ Descartes
(x−a)2+ (y−b)2=R2.
7) Ánh xạ γ: [α.β]→R3cho bởi
γ(t) = x(t),y(t),y(t)=asin t,acos t,bt,(a,b > 0).
là biểu diễn tham số của đường xoắn ốc trong R3.
3.1.2 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 1
Trong R3cho đường cong Jordan đều (hay đều từng khúc) L=⌢
AB được cấu tạo
bởi một dây vật chất có khối lượng riêng thay đổi theo quy luật ρ(x,y,z), trong đó
ρlà một hàm liên tục trên L.Hãy tính khối lượng của dây L?
101 Giáo trình Giải tích 2
Giả sử Lcó biểu diễn tham số γ(t) = x(t),y(t),z(t), a 6t6b, γ(a) = A,
γ(B) = B. Chia đường cong L=⌢
AB một cách tuỳ ý thành các cung nhỏ ⌢
Mi−1Mi
bởi các điểm chia A=M0,...,Mi−1,Mi,...,Mn=Bsao cho Mi=γ(ti),ti∈[a,b]. Độ
dài của cung ⌢
Mi−1Milà
∆si=Zti
ti−1qx′(t)2+y′(t)2+z′(t)2dt.
Theo định lý giá trị trung bình của tích phân thì tồn tại các ηi∈[ti−1,ti]sao cho
∆si=qx′(ηi)2+y′(ηi)2+z′(ηi)2(ti−ti−1)
=qx′(ηi)2+y′(ηi)2+z′(ηi)2∆ti
trong đó ∆ti=ti−ti−1. Khi đó khối lượng của cung ⌢
Mi−1Miđược tính gần đúng
mi≈ρx(ηi),y(ηi),z(ηi)∆si
=ρx(ηi),y(ηi),z(ηi)qx′(ηi)2+y′(ηi)2+z′(ηi)2∆ti.
Khối lượng của dây Llà
m=
n
X
i=1 mi
≈
n
X
i=1 ρx(ηi),y(ηi),z(ηi)qx′(ηi)2+y′(ηi)2+z′(ηi)2∆ti.
Đặt d(Tn) = max16i61∆ti. Khi đó khối lượng mbằng
lim
d(Tn)→0
n
X
i=1 ρx(ηi),y(ηi),z(ηi)qx′(ηi)2+y′(ηi)2+z′(ηi)2∆ti
=Zb
aρx(t),y(t),z(t)qx′(t)2+y′(t)2+z′(t)2dt. (3.1)
3.1.3 Định nghĩa tích phân đường loại 1
3.1.3.1 Định nghĩa. Cho đường cong L=γ([a,b]) lớp C1với A=γ(a),B=γ(b)
và hàm f:L→R.
102 Giáo trình Giải tích 2
Chia Lthành các cung nhỏ bởi phân hoạch πvới các điểm chia được sắp xếp từ
Ađến Bnhư sau: A=A0,A1,...,Am=B.
Trên mỗi cung ⌢
AiAi+1 ta lấy điểm tùy ý Mivà lập tổng
Sπ=
m−1
X
i=0 f(Mi)σi
trong đó σilà độ dài của cung ⌢
AiAi+1 .
Đặt dπ= max{σi: 0 6i6m−1}và xét giới hạn
lim
dπ→0Sπ= lim
dπ→0
m−1
X
i=0 f(Mi)σi
Nếu giới hạn trên tồn tại không phụ thuộc vào phân hoạch πvà cách chọn các điểm
Mi∈AiAi+1 thì ta gọi nó là tích phân đường loại 1 của hàm ftrên Lvà kí hiệu là
ZLfds hay Zγ([a,b]) fds,Z⌢
AB fds
3.1.3.2 Nhận xét. a) Từ định nghĩa trên suy ra rằng, giá trị của tích phân đường
loại 1 không phụ thuộc vào sự sắp xếp các điểm chia từ Ađến Bhay ngược lại, nghĩa
là
Zγ([a,b]) fds =Zeγ([a,b]) fds,
trong đó eγ(t) = γ(a+b−t), t ∈[a,b].
b) Định nghĩa đường tích phân loại 1 là sự mở rộng một cách tự nhiên của tích
phân xác định. Ta dễ dàng chứng minh được các kết quả tương tự như tích phân xác
định vẫn còn đúng đối với tích phân đường loại 1.
3.1.4 Sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại 1
3.1.4.1 Định lí. Nếu f:L→Rlà hàm số liên tục trên đường cong đều Ltrong Rn
có biểu diễn tham số là γ(t),t ∈[a,b]thì tích phân đường loại 1 của ftrên Llà tồn