1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN
-----------------O0O-----------------
Giáo trình
Giải tích 2
(Dành cho sinh viên)
GV. PHAN TRUNG HIẾU
Tp. Hồ Chí Minh, 10/2021
lOMoARcPSD|42620215
Chương 1
GIỚI HẠN VÀ SỰ LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu vài nét về không gian
n
, về giới hạn và sự liên tục
của hàm số nhiều biến số.
§1. KHÔNG GIAN
n
1. Ěịnh nghƿa không gian
n
Tích Descartes của n tập số thực
được định nghƿa là tích
...
n
hay
1 2
, ,..., , 1,2,...,
n
n k
x x x x k n
.
Ký hiệu
1 2
, ,...,
n
x x x x
là một điểm hay một vectơ trong
n
;
k
x
là tọa độ thứ k của x
trong
n
, với
1,2,...,
k n
.
Ěiểm
0,0,...,0
O được gọi là gốc tọa độ.
Ví dụ 1.1. Với
1
n
, ta có 1
: đường thẳng thực.
Ví dụ 1.2. Với
2
n
, ta có
2
1 21 2 ,, x xx x
: mặt phẳng với hệ tọa độ Descartes.
Ví dụ 1.3. Với
3
n
, ta có
3
1 2 31 2 3 , ,, , x x xx x x
: không gian 3 chiều với hệ tọa độ
Descartes.
2. Phép toán đại số trên
n
2.1. Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ
1 2
, ,...,
n
n
x x x x
,
1 2
, ,...,
n
n
y y y y
được gọi là bằng nhau nếu
, 1,2,...,
k k
x y k n
.
2.2. Các phép toán đại số về vectơ
Cho hai vectơ
1 2
, ,...,
n
n
x x x x
,
1 2
, ,...,
n
n
y y y y
,
. Khi đó, ta định nghƿa
1 1 2 2
, ,...,
n n
x y x y x y x y
,
1 1 2 2
, ,...,
n n
x y x y x y x y
lOMoARcPSD|42620215
và
x
1
x
,
x2
,...,
xn
.
Tính chất
2.2.
Cho vectơ
x,
y,
z
n
,
,
, ta có
(i)
x
y
y
x
;
(ii)
x
y
z
x
y
z
;
(iii)
x
0
x
;
0
:
vectơ không;
(iv)
x
x
0
, trong đó
x
1
x
;
(v)
1.x
x
;
2
.
3
(vi)
x x x
;
(vii)
x y x y
;
(viii)
x x

.
Ví dụ 2.2. Cho
2, 3,1 , 4,1; 2
x y
. Tính
, , 3 , 2
x y y x x y
.
Giải
2, 2, 1 ;
x y
6,4, 3 ;
y x
3 6, 9,3 ;
x
2 8, 2;4 .
y
2.3. Tích vô hướng
Ěịnh nghƿa 2.3. Tích vô hướng của hai vectơ
1 2
, ,...,
n
n
x x x x
,
1 2
, ,...,
n
n
y y y y
là
một số thực, ký hiệu là
,
x y
, được định nghƿa bởi
1 1 2 2
, ...
n n
x y x y x y x y
.
Chú ý: Trong một số tài liệu, người ta còn ký hiệu tích vô hướng của hai vectơ
x
và
y
là
.
x y
Tính chất 2.3. Cho , , ,
n
x y z
ta có
(i)
, ,
x y y x
;
(ii)
, , ,
x y z x y x z
;
(iii)
, ,
x y x y
.
2.4. Chuẩn
Chuẩn (Euclide) của
1 2
, ,...,
n
n
x x x x
trên
n
là
2 2 2
1 2 ...
n
x x x x
.
Nếu x
thì 2
xx x
.
Nếu
2
1 2
,x x x
là một vectơ thì
2 2
1 2
x x x
là độ dài của vectơ x. Nếu
2
1 2
,x x x
là một điểm thì
2 2
1 2
x x x
là khoảng cách từ điểm x đến gốc tọa độ O.
Từ định nghƿa chuẩn và tích vô hướng ta có
2 2 2
1 2
... ,
n
x x x x x x
.
Ěịnh lý 2.4. Với mọi , , ,
n
x y z
, ta có
(i)
0
x
,
0
x
khi và chỉ khi
0
x
;
(ii)
x x
;
(iii)
x y x y
;
(iv)
x y x z y z
.
Chứng minh
(i), (ii) hiển nhiên.
(iii) Ta có
lOMoARcPSD|42620215
.
2 2 2 2
1 1 1 1
2
2
1 1 1 1
2
.2
n n n n
k k k k k k
k k k k
n n n n
k k k k
k k k k
x y x y x x y y
yxx x y y
Suy ra
x y x y
.
(iv), trong (iii), ta thay
x
bởi
x z
và thay y bởi
z y
.
2.5. Khoảng cách giữa hai điểm
Khoảng cách giữa hai điểm
1 2 1 2
, ,..., , , ,...,
n
n n
x x x x y y y y
là
2
1
( , ) .
n
k
k
x yd x y x y
Trong
thì ( , )
d x y x y
.
Trong
n
thì
( , )
d x y
là khoảng cách Euclide hay mêtric Euclide trong
n
.
Tính chất 2.5. Với mọi , , ,
n
x y z
, ta có
(i)
( , ) 0, ( , ) 0
d x y d x y
khi và chỉ khi
x y
;
(ii)
( , ) ( , )
d x y d y x
;
(iii)
( , ) ( , )
d x y d x y
;
(iv)
( , ) ( , ) ( , )
d x y d x z d y z
.
Chứng minh
Dễ dàng chứng minh được (i), (ii), (iii).
(iv) được suy ra từ Ěịnh lý 2.4 (iv).
Ví dụ 2.5. Cho hai điểm
2,3, 1,5 , 3,2,1, 4
x y .
a) Tính khoảng cách từ x đến gốc tọa độ O.
b) Tính khoảng cách từ x đến y.
Giải
a)
( , ) 39
d O x x b).
( , ) 7
d x y x y .
2.6. Tích hữu hướng
Ěịnh nghƿa 2.6. Tích hữu hướng của hai vectơ
3
1 2 3
, ,x x x x
,
3
1 2 3
, ,y y y y
là một
vectơ, ký hiệu là
x y
, được định nghƿa bởi
213132
213132
, ,
,
x y x y x y x y x y x y x y
xxxxxx ki j yyyyyy
trong đó
(1,0,0)
i
,
(0,1,0)
j
,
(0,0,1)
k
là các vectơ cơ sở đơn vị trong
3
.
3. Tôpô trong
n
3.1. Quả cầu. Với điểm
n
x
và một số thực
0
r
, ta có
(i) Quả cầu mở:
( , )( , ) n
d x y rB x r y
;
lOMoARcPSD|42620215
4
.
5
(ii) Quả cầu đóng:
( , )'( , ) nd x y rB x r y ;
(iii) Mặt cầu:
( , )( , ) nd x y rS x r y .
Ví dụ 3.1. Trong 2
, mặt cầu tâm I, bán kính r là đường tròn tâm I, bán kính r; quả cầu mở
tâm I bán kính r là tất cả những điểm nằm trong đường tròn tâm I, bán kính r; quả cầu đóng
tâm I bán kính r là hình tròn tâm I, bán kính r.
3.2. Lân cận trong n
. Cho 0
n
x, lân cận của điểm 0
x là tập tất cả các quả cầu mở
0
( , ), 0B x
.
§2. HÀM NHIỀU BIẾN SỐ
1. Ěịnh nghƿa
Cho n
D. Một hàm n biến là một quy tắc đặt tương ứng mỗi bộ n số thực
1 2
, ,..., n
x x x
với một số thực duy nhất, ký hiệu là 1 2
( , ,..., )
n
u f x x x. Hay nói cách khác, ánh xạ
1 2 1 2
:
, ,..., )(( , ,..., ) nn
f D
x x x u f x x x
được gọi là hàm n biến xác định trên D.
Tập hợp D gọi là miền xác định của hàm số f, nghƿa là tập các điểm
1 2
, ,..., n
x x x sao cho
biểu thức 1 2
( , ,..., )
n
f x x x có nghƿa. Miền giá trị của f là tập các giá trị mà f nhận được, nghƿa
là
1 21 2 ( , ,..., ) .( , ,..., ) nn x x x Df x x x
Trường hợp 2n, ta có hàm hai biến, thường ký hiệu là ( , )z f x y. Hàm hai biến có miền
xác định là tập con của 2
, miền giá trị trong . Do đó, ta có thể dùng sơ đồ mǜi tên sau đây để
diễn tả hàm số f có miền xác định D là một phần của mặt phẳng Oxy .
Trường hợp 3n, ta có hàm ba biến, thường ký hiệu là ( , , )u f x y z.
Ví dụ 1.1. Cho hàm ( , ) ln( 1)f x y x y .
a) Tính (1,1)f, ( ,1)f e .
b) Tìm và vẽ miền xác định của f.
c) Tìm miền giá trị của f.
Giải
a) (1,1) ln(1 1 1) ln1 0f .
( ,1) ln( 1 1) ln 1f e e e .
lOMoARcPSD|42620215
.