GIẢI TÍCH I (VIỆT-PHÁP)
Chương 4: TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
LÊ THÁI THANH (010218@tmp.hcmut.edu.vn)
TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM
Định nghĩa 1: Hàm số Fpxqtrong tập Xđược gọi là nguyên
hàm của hàm fpxq, nếu @xPX,F1pxq “ fpxq.
Ví dụ 1:
sin xlà một nguyên hàm của hàm cos xvì
psin xq1“cos x.
x3`xlà một nguyên hàm của hàm 3x2`1 vì
px3`xq1“3x2`1.
arctan xlà một nguyên hàm của hàm 1
1`x2vì
parctan xq1“1
1`x2.
Định nghĩa 2: Nếu Fpxqlà một nguyên hàm của hàm fpxq
trong X, thì Fpxq`Cvới Clà hằng số cũng là nguyên hàm
của fpxq. Ngược lại, như đã biết, nếu hai hàm Fpxqvà Gpxq
có cùng đạo hàm fpxqtrong X, thì hai hàm Fpxqvà Gpxq
sai khác nhau một hằng số: Gpxq “ Fpxq ` C. Vậy nếu biết
một nguyên hàm Fpxqcủa hàm fpxqtrong Xthì mọi nguyên
hàm của fpxqphải có dạng Fpxq`C. Biểu thức này được gọi
là tích phân bất định của hàm fpxqtrong Xvà ta ký hiệu:
żfpxqdx “Fpxq ` C
Tính chất của tích phân bất định
(1) ˆżfpxqdx˙1
“fpxq
(2) żCf pxqdx “Cżfpxqdx
(3) żrfpxq˘gpxqs dx “żfpxqdx˘żgpxqdx
Bảng các tích phân bất định cơ bản
(1) żxαdx “xα`1
α`1`Cpα‰ ´1q,żdx
x“ln |x|`C
(2) żaxdx “ax
ln a`Cpaą0,a‰1q,żexdx “ex`C
(3) żcos x dx “sin x`C,żsin x dx “ ´cos x`C
Bảng các tích phân bất định cơ bản
(4) żdx
cos2x“tan x`C,żdx
sin2x“ ´cot x`C
(5) żcosh x dx “sinh x`C,żsinh x dx “cosh x`C
(6) żdx
cosh2x“tanh x`C,żdx
sinh2x“ ´coth x`C
(7) żdx
a2`x2“1
aarctan x
a`Cpa‰0q
(8) żdx
a2´x2“1
2aln ˇˇˇˇ
a`x
a´xˇˇˇˇ`Cpa‰0q
(9) żdx
?a2´x2“arcsin x
a`Cpaą0q
(10) żdx
?x2˘a2“ln ˇˇˇx`ax2˘a2ˇˇˇ`Cpa‰0q