Nội dung
1Ứng dụng trong hình học phẳng
Tiếp tuyến và pháp tuyến
Độ cong
2Ứng dụng trong hình học không gian
Hàm vectơ
Tiếp tuyến, pháp diện và độ cong của đường cong trong không gian
Trường vô hướng, đạo hàm theo hướng và gradient
Phương trình pháp tuyến và tiếp diện của mặt trong không gian
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1122 – CHƯƠNG 2 2026 2 / 38
Ứng dụng trong hình học phẳng
Cho một đường cong Lcó phương trình f(x,y) = 0. Điểm M0(x0,y0)∈Lđược gọi là điểm chính quy nếu
[f′
x(M0)]2+ [f′
y(M0)]2>0.
Ngược lại ta nói M0là điểm kỳ dị.
Xét điểm chính quy M0(x0,y0)∈Lvà giả sử f′
y(M0)= 0.
Theo định lý về hàm ẩn, f(x,y) = 0 xác định hàm ẩn y=y(x)trong một lân cận của x0
f(x,y(x)) = 0.(1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) theo xtại x0
f′
x(x0,y0) + f′
y(x0,y0)y′(x0) = 0 ⇒y′(x0) = −f′
x(x0,y0)
f′
y(x0,y0).
Phương trình tiếp tuyến của Ltại M0là
y−y0=y′(x0)(x−x0) = −f′
x(x0,y0)
f′
y(x0,y0)(x−x0).
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1122 – CHƯƠNG 2 2026 3 / 38
Ứng dụng trong hình học phẳng
Phương trình tiếp tuyến của đường cong Ltại điểm M0là
(x−x0)f′
x(x0,y0) + (y−y0)f′
y(x0,y0) = 0
n = (f′
x(x0,y0),f′
y(x0,y0)) là một vectơ pháp tuyến của Ltại M0.
Phương trình pháp tuyến của đường cong Ltại điểm M0là
(x−x0)f′
y(x0,y0)−(y−y0)f′
x(x0,y0) = 0
Ví dụ. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong x4+ 4y2= 17 tại điểm M(1;2).
Lời giải. Ta có n(M) = (4x3
0,8y0) = (4;16) = 4(1;4).
Phương trình tiếp tuyến tại M(1;2) là
(x−1) + 4(y−2) = 0 ⇔x+ 4y= 9.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1122 – CHƯƠNG 2 2026 4 / 38
