Tích phân xác định phụ thuộc tham số
Cho f(x, y)là một hàm hai biến số xác định trên hình chữ nhật [a, b]×[c, d]. Giả sử với mỗi y∈[c, d], hàm số
z=f(x, y)khả tích theo xtrên [a, b]. Khi đó tích phân
b
Z
a
f(x, y)dx
xác định hàm phụ thuộc vào tham số y, ta có thể viết
I(y) =
b
Z
a
f(x, y)dx
như một hàm số theo biến y.
Tích phân trên gọi là tích phân phụ thuộc tham số, ylà tham số.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1124 – CHƯƠNG 3 2026 3/37
Tích phân xác định phụ thuộc tham số
Ví dụ 1. 1
Z
0
ex y dx =1
yey−1
y(y= 0).
Tích phân ở ví dụ này có thể tính được tường minh, với kết quả là hàm số theo biến y.
Ví dụ 2. π/ 2
Z
0
dx
p1−y2sin2x.
Tích phân này chỉtính được khi y= 0. Đây là hàm số theo biến y,y∈(−1,1).
Trong nhiều trường hợp, ta không tính được tường minh tích phân phụ thuộc tham số, nhưng có thể xét được
một số tính chất của hàm số xác định bởi tích phân đó.
Tính liên tục, khả vi, khả tích của hàm số I(y)?
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1124 – CHƯƠNG 3 2026 4/37
Tính liên tục
Định lý 1.1
Nếu flà hàm liên tục trên [a, b]×[c, d], thì I(y) = b
R
af(x, y)dx là hàm số liên tục trên [c, d].
Chứng minh.
Với y∈[c, d]và số gia hsao cho y+h∈[c, d]. Ta có
|I(y+h)−I(y)| ≤ Zb
a|f(x, y +h)−f(x, y)|dx.
Do flà hàm số liên tục trên [a, b]×[c, d]nên fliên tục đều. Do đó, ∀ϵ > 0,∃δ > 0,
|f(x, y +h)−f(x, y)|<ε
b−avới |h|< δ và ∀x∈[a, b]⇒ |I(y+h)−I(y)|< ε.
Hàm số I(y)liên tục.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1124 – CHƯƠNG 3 2026 5/37
