Nội dung
1Tích phân đường của trường vô hướng
Tích phân đường theo độ dài cung
Tích phân đường theo biến xhoặc biến y
2Tích phân đường loại hai (Tích phân đường của trường vectơ)
Khái niệm trường vectơ và đường dòng
Tích phân đường của trường vectơ
Mối liên hệ giữa tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2
Định lý cơ bản của tích phân đường
Định lý Green
Tích phân đường không phụ thuộc vào đường đi
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1122 – CHƯƠNG 4 2026 2 / 53
Tích phân đường
Tích phân đường được đưa ra vào đầu thế kỷ 19, khi giải quyết các bài toán liên quan đến dòng chảy, lực, điện
trường và từ trường. Bài giảng này sẽ trình bày về tích phân đường, bao gồm tích phân đường loại một và tích
phân đường loại hai.
Giả sử Clà đường cong trơn, cho bởi phương trình tham số
x=x(t), y =y(t)với a≤t≤b.
Khi đó độ dài đường cong Clà
ℓ=
b
Z
aÅdx
dt ã2+Ådy
dt ã2dt =: Z
C
ds.
Khái niệm tích phân đường!
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1122 – CHƯƠNG 4 2026 3 / 53
Tích phân đường loại một
Bài toán Xét một sợi dây kim loại có mật độ khối lượng (khối lượng theo đơn vị độ dài) phân bố dọc theo
đường cong C, với f(x,y)là mật độ khối lượng tại điểm (x,y)của sợi dây. Tính khối lượng của sợi dây đó.
Ta chia đường cong Cthành ncung nhỏ bởi các
điểm chia Pi,i=0,n. Gọi ∆silà độ dài cung
˚
Pi−1Pi,i=1,n. Chọn P∗
i(x∗
i,y∗
i)bất kỳ trên cung
˚
Pi−1Pi. Khối lượng của sợi dây được xấp xỉ bởi
tổng (tương tự như tổng tích phân Riemann)
n
X
i=1 f(x∗
i,y∗
i)∆si≈m.
Khối lượng của sợi dây là
m= lim
n→∞
n
X
i=1 f(x∗
i,y∗
i)∆si(lấy giới hạn sao cho max
i=1,n ∆si→0).
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1122 – CHƯƠNG 4 2026 4 / 53
Tích phân đường loại một
Định nghĩa 1
Cho hàm số f(x,y)xác định trên miền chứa đường cong C.Tích phân đường loại một của hàm fdọc theo
cung Clà Z
C
f(x,y)ds = lim
n→∞
n
X
i=1 f(x∗
i,y∗
i)∆si,
nếu giới hạn đó tồn tại và không phụ thuộc vào cách chia cung Cvà cách chọn điểm P∗
i(x∗
i,y∗
i)trên cung nhỏ
thứ i. Khi đó ta nói hàm fkhả tích trên cung C.
Tính khả tích: Nếu flà hàm số liên tục trên miền chứa cung trơn C, thì hàm fkhả tích trên cung C.
Tích chất: Tích phân đường loại một có các tính chất tương tự như tích phân xác định. Ngoài ra, tích phân
đường loại một không phụ thuộc vào chiều của đường cong.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1122 – CHƯƠNG 4 2026 5 / 53
