Nội dung
1Tích phân kép
2Đổi biến trong tích phân kép
3Tích phân kép trong toạ độ cực
4Ứng dụng của tích phân kép
5Tích phân bội ba
6Đổi biến trong tích phân bội ba
7Tích phân bội ba trong toạ độ trụ
8Tích phân bội ba trong toạ độ cầu
9Ứng dụng của tích phân bội ba: Tính thể tích
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1124 – CHƯƠNG 2 2026 2/72
Bài toán tính thể tích
Cho hàm hai biến z=f(x, y)xác định và liên tục trên
miền Dđóng và bị chặn với biên ∂D trong mặt phẳng
Oxy. Giả sử f(x, y)≥0. Gọi Elà vật thể hình trụ giới
hạn bởi mặt phẳng Oxy, mặt z=f(x, y)và mặt trụ
có đường sinh song song với Oz tựa trên ∂D, tức là,
E={(x, y, z)∈R3|0≤z≤f(x, y),(x, y)∈D}.
Bài toán: Hãy tìm thể tích V(E)của vật thể E.
D
y
z
x
z = f (x, y)
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1124 – CHƯƠNG 2 2026 3/72
Xấp xỉ vật thể thành các hình trụ con
DK
D
y
z
x
MK
f (MK)
z = f (x, y)
Phân hoạch miền Dmột cách tùy ý thành các miền con D1, D2,...,Dnsao cho các miền Dkkhông giao nhau
ngoại trừ biên của chúng. Gọi ∆Sklà diện tích của miền Dk. Trong mỗi miền Dk, lấy điểm Mktùy ý. Khi đó,
V(E)≈n
X
k = 1
f(Mk)·∆Sk.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1124 – CHƯƠNG 2 2026 4/72
Định nghĩa tích phân kép
Cho z=f(x, y)là một hàm hai biến xác định trên miền đóng và bị chặn D.
Phân hoạch miền Dmột cách tùy ý thành các miền con D1, D2,...,Dnsao cho các Dkkhông giao nhau
ngoại trừ biên của chúng.
Gọi ∆Sklà diện tích của miền con Dk.
Đặt d(Dk)là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trong Dk, và d= max
1≤k≤n{d(Dk)}.
Lấy Mklà điểm tùy ý trong Dk.
Tổng tích phân của f(x, y)trên miền Dlà In=n
P
k = 1 f(Mk)·∆Sk.
Nếu lim
d→0Intồn tại không phụ thuộc vào cách phân hoạch miền Dvà cách chọn các điểm Mktrong mỗi miền
Dk, thì giới hạn này được gọi là tích phân kép của hàm ftrên miền D. Kí hiệu là
Z Z
D
f(x, y)dS.
Lúc đó, ta nói hàm f(x, y)khả tích trên miền D.
Khoa Toán-Tin (HUST) MI1124 – CHƯƠNG 2 2026 5/72
