GIẢI TÍCH I (VIỆT-PHÁP)
Chương 5: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
LÊ THÁI THANH (010218@tmp.hcmut.edu.vn)
TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Định nghĩa 1: Cho hàm fpxqxác định trên ra,bs. Chia ra,bs
thành nđoạn nhỏ bởi các điểm chia:
a“x0ăx1ăx2ă ¨¨¨ ă xn´1ăxn“b
Đặt ∆xi“xi`1´xi,pi“0,1,...,n´1qvà gọi λ“
max
i“0,n´1
∆xi. Trên mỗi đoạn con rxi,xi`1sta lấy điểm cituỳ
ý và lập tổng tích phân:
σn“
n´1
ÿ
i“0
fpciq∆xi
Nếu tồn tại giới hạn I“lim
nÑ8 σnsao cho λÑ0 và không
phụ thuộc vào cách chia của đoạn ra,bs, thì Iđược gọi là
tích phân xác định của hàm fpxqtrên đoạn ra,bsvà ký hiệu:
I“
b
ż
a
fpxqdx (1)
Khi đó hàm fpxqđược gọi là hàm dưới dấu tích phân, còn
a,btương ứng được gọi là cận dưới và cận trên của tích
phân. Nếu tồn tại tích phân (1), thì ta cũng nói hàm fpxq
khả tích trên đoạn ra,bshoặc tích phân (1) hội tụ.
Về lớp các hàm khả tích, ta có các kết quả sau:
Định lý 1:
(1) Hàm liên tục từng khúc trên một đoạn thì khả tích
trên đoạn đó.
(2) Hàm bị chặn trên một đoạn và có một số hữu hạn các
điểm gián đoạn thì khả tích trên đoạn đó.
(3) Hàm đơn điệu bị chặn trên một đoạn thì khả tích.
Ví dụ 1: Tính tích phân ż1
0
x2dx bằng định nghĩa.
Ta có hàm fpxq “ x2liên tục trên đoạn r0,1snên nó khả
tích, nghĩa là tổng tích phân có giới hạn không phụ thuộc
vào cách chia đoạn r0,1s. Ta chia đều đoạn r0,1sthành
nđoạn bởi các điểm chia xk“k
n,k“0,1,...,n. Khi
đó ∆xk“xk´xk´1“1
nvà chọn điểm ck“xk“k
nP
rxk´1,xks,k“1,2,...,n. Tổng tích phân có dạng:
σn“
n
ÿ
k“1
fpxkq∆xk“
n
ÿ
k“1ˆk
n˙21
n“1
n3
n
ÿ
k“1
k2
“npn`1qp2n`1q
6n3ÝÑ
n8
1
3
Do đó ż1
0
x2dx “1
3
TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
(1) Nếu hàm fpxqkhả tích trên ra,bsthì nó cũng khả tích
trên đoạn rb,asvà:
b
ż
a
fpxqdx “ ´
a
ż
b
fpxqdx
Hệ quả của tính chất này là nếu tích phân xác định có
cận trên và cận dưới bằng nhau thì tích phân bằng
không.
(2) Tích phân xác định không phụ thuộc vào biến lấy tích
phân. Nghĩa là:
b
ż
a
fpxqdx “
b
ż
a
fptqdt