GIẢI TÍCH I (VIỆT-PHÁP)
Chương 3: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
LÊ THÁI THANH (010218@tmp.hcmut.edu.vn)
TRƯỜNG ĐHBK TP.HCM
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Trong toàn bộ chương này, ta ký hiệu Ilà một khoảng không rỗng
của Rvà không thu về một điểm.
Định nghĩa 1: Cho f:IÝÑ Rvà aPI. Nếu tồn tại giới
hạn hữu hạn
lim
xÑa
fpxq ´ fpaq
x´a(1)
thì ta nói hàm fpxqcó đạo hàm tại a; giới hạn (1) là đạo
hàm của ftại avà ký hiệu là f1paq.
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Cho ∆xlà một đại lượng có trị tuyệt đối khá bé sao cho
a`∆xPIvà gọi là số gia của đối số x. Đại lượng
∆y“fpa`∆xq ´ fpaq
được gọi là số gia của hàm số tương ứng tại a. Khi đó công
thức (1) có thể viết lại dưới dạng khác như sau:
f1paq “ lim
∆xÑ0
∆y
∆x“lim
∆xÑ0
fpa`∆xq ´ fpaq
∆x(2)
Trong công thức (2) ta nhận thấy nếu hàm có đạo hàm tại
điểm atrong quá trình ∆xÑ0 thì số gia của hàm số ∆y
tại acũng là vô cùng bé cùng cấp với ∆x. Do đó ta có:
∆y“fpa`∆xq ´ fpaq “ f1paq∆x`op∆xq(3)
và như vậy hàm liên tục tại a.
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Về mặt hình học, đạo hàm của hàm số tại một điểm (nếu
tồn tại) là hệ số góc của tiếp tuyến với đường cong y“fpxq
tại điểm pa,fpaqq. Chú ý rằng khi đó nếu đạo hàm bằng 0
thì tiếp tuyến nằm ngang, song song với trục hoành; còn nếu
đạo hàm bằng ˘8 thì tiếp tuyến song song với trục tung.
Về mặt vật lý, đạo hàm theo biến thời gian được hiểu như là
tốc độ thay đổi của một đại lượng vật lý theo thời gian. Như
đạo hàm của quảng đường đi là vận tốc; đạo hàm của vận
tốc là gia tốc; v.v...
ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
Ví dụ 1: Tìm phương trình của các đường tiếp tuyến và pháp
tuyến của parabol y“x2tại điểm p1,1q.
Lời giải : Ta có a“1, fpxq “ x2nên fp1q “ 1 và hệ số góc
của tiếp tuyến
m“lim
xÑ1
x2´1
x´1“lim
xÑ1px´1qpx`1q
x´1“lim
xÑ1px`1q “ 2
và hệ số góc của pháp tuyến n“ ´1
2. Phương trình tiếp
tuyến và pháp tuyến lần lượt có dạng
y´1“2px´1q ðñ y“2x´1
y´1“ ´1
2px´1q ðñ y“ ´1
2x`3
2