ĐINH HUY HOÀNG (CHỦ BIÊN)
KIỀU PHƯƠNG CHI - NGUYỄN HUY CHIÊU - NGUYỄN VĂN ĐỨC
GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2
NGHỆ AN, 2018
PGS. TS. ĐINH HUY HOÀNG (CHỦ BIÊN)
PGS. TS. KIỀU PHƯƠNG CHI, TS. NGUYỄN HUY CHIÊU, TS. NGUYỄN VĂN ĐỨC
GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH 2
(DÙNG CHO ĐÀO TẠO CỬ NHÂN SƯ PHẠM TOÁN HỌC)
NGHỆ AN, 2018
MỤC LỤC
Lời nói đầu 6
Chương 1 Tích phân phụ thuộc tham số 9
1.1 Tích phân phụ thuộc tham số với cận không đổi . . . . . . . . . . . . 10
1.1.1 Tínhliêntục ........................... 10
1.1.2 Tínhkhảvi............................ 12
1.1.3 Tínhkhảtích........................... 15
1.2 Tích phân phụ thuộc tham số với cận là hàm của tham số . . . . . . 17
1.2.1 Tínhliêntục ........................... 17
1.2.2 Tínhkhảvi............................ 19
1.3 Tích phân phụ thuộc tham số với cận vô tận . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Sựhộitụđều........................... 22
1.3.2 Tínhliêntục ........................... 26
1.3.3 Tínhkhảtích........................... 28
1.3.4 Tínhkhảvi............................ 29
Chương 2 Tích phân bội 36
2.1 Định nghĩa và tính chất của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.1 Tích phân bội và điều kiện cần để hàm khả tích . . . . . . . . 37
2.1.2 Điều kiện cần và đủ để hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1.3 Các tính chất cơ bản của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Chuyển tích phân bội về tích phân lặp . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3
4Giáo trình Giải tích 2
2.2.1 ĐịnhlíFubini........................... 56
2.2.2 Cácvídụ ............................. 61
2.3 Đổi biến trong tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.3.1 Công thức đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.3.2 Đổi biến trong tọa độ cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.3.3 Đổi biến trong tọa độ trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.3.4 Đổi biến trong tọa độ cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.4 Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.4.1 Tính diện tích hình phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.4.2 Tính thể tích của vật thể . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2.4.3 Tính diện tích mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4.4 Tính khối lượng và tìm tọa độ trọng tâm vật thể . . . . . . . 86
Chương 3 Tích phân đường và tích phân mặt 98
3.1 Tíchphânđườngloại1.......................... 99
3.1.1 Đườngcong............................ 99
3.1.2 Bài toán dẫn đến khái niệm tích phân đường loại 1 . . . . . . 100
3.1.3 Định nghĩa tích phân đường loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.1.4 Sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại 1 . . . . . . . . . 102
3.1.5 Tính chất của tích phân đường loại 1 . . . . . . . . . . . . . . 105
3.2 Tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.2.1 Bài toán dẫn đến tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . 112
3.2.2 Định hướng đường cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.2.3 Định nghĩa tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.2.4 Sự tồn tại và cách tính tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . 116
3.2.5 Tính chất của tích phân đường loại 2 . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2.6 Mối liên hệ giữa tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2119
3.2.7 CôngthứcGreen ......................... 119
5Giáo trình Giải tích 2
3.2.8 Định lí bốn mệnh đề tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.3 Tíchphânmặtloại1........................... 132
3.3.1 Định nghĩa tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.3.2 Sự tồn tại và cách tính tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . 133
3.3.3 Các tính chất của tích phân mặt loại 1 . . . . . . . . . . . . . 135
3.4 Tíchphânmặtloại2........................... 139
3.4.1 Địnhhướngmặt ......................... 139
3.4.2 Định nghĩa tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
3.4.3 Sự tồn tại và cách tính tích phân mặt loại 2 . . . . . . . . . . 141
3.4.4 Công thức Ostrograsky và công thức Stokes . . . . . . . . . . 143
3.5 Một số khái niệm và tính chất từ lý thuyết trường . . . . . . . . . . . 147
3.5.1 Tích vô hướng và tích có hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5.2 Trường vô hướng và trường vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.5.3 Gradient của trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.5.4 Divergent của trường vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
Chương 4 Phương trình vi phân 153
4.1 Các khái niệm cơ bản về phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . 154
4.1.1 Khái niệm phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.1.2 Nghiệm và Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.2 Phương trình vi phân cấp một . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.2.1 Các khái niệm và kết quả cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 156
4.2.2 Phương trình có biến số phân ly . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.2.3 Phương trình vi phân đẳng cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
4.2.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một . . . . . . . . . . . 170
4.2.5 Phương trình Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
4.2.6 Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân . . . . . 174
4.2.7 Phương trình Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181