Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 1 / 4
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SÀI GÒN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Học phần: Giải tích hàm
ĐỀ THI Mã học phần: 801047
Thời hạn nộp bài: trước thời điểm thực hiện buổi phát vấn tối thiểu 3 ngày
(tính cả ngày lễ, thứ 7, chủ nhật)
Học kỳ: I..................................................................................................................................................... Năm học: 2021 – 2022 ....................................................................................................
Trình độ đào tạo: Đại học .......................................................................................... Hình thức đào tạo: Chính quy ...........................................................................
Họ tên sinh viên: .................................................................................................................... Mã số sinh viên: .....................................................................................................................
Câu 1. (0,4 điểm)
Giả sử
C 0,1
là không gian các hàm thực liên tục trên
0,1
. Ta định nghĩa:
( ) ( ) ( )
0 t 1
d x, y sup x t y t , x, y X, t 0,1 .

= −
Chứng minh rằng:
d
là một mêtric trên
C 0,1 .
Câu 2. (0,4 điểm)
Cho
( )
11
X ,d
và
( )
22
X ,d
là hai không gian mêtric. Trên tập
12
X X X=
ta định nghĩa:
với
( ) ( )
1 2 1 2 1 1 1 2 2 2
x x , x , y y , y X; x , y X , x , y X .= =
a/ Chứng minh
X
d
là một mêtric trên X.
b/ Giả sử
( )
11
X ,d
,
( )
22
X ,d
là các không gian mêtric đầy đủ. Chứng minh
( )
X
X,d
cũng là một
không gian mêtric đầy đủ.
Câu 3. (0,4 điểm)
Cho
C a, b
là không gian các hàm thực liên tục trên
a, b
, giả sử
( ) ( )
10
M x C a, b : x t x t , t a, b .=
Chứng minh rằng
1
M
là tập mở.
Câu 4. (0,4 điểm)
Cho
C a, b
là không gian các hàm thực liên tục trên
a, b
, giả sử
( ) ( )
30
M x C a, b : t a, b : x t x t .=
Chứng minh rằng
3
M
là tập đóng.
Câu 5. (0,4 điểm)
Cho
( )
X,d
là một không gian mêtric và
( )
iiI
A,
với
I
là tập vô hạn, là một họ không rỗng
các tập con của X. Chứng minh rằng:
a/ Nếu
i
A
là các tập mở thì
i
iI
A
là một tập mở.
b/ Nếu
i
A
là các tập đóng thì
i
iI
A
là một tập đóng.
Câu 6. (0,4 điểm)
Cho
Y
là một tập con của không gian mêtric
( )
X, d
. Chứng minh rằng:
a/ Nếu
Y
đầy đủ thì
Y
là tập đóng trong
X
.
b/ Nếu
Y
là tập đóng trong
X
và
X
đầy đủ thì
Y
là tập đầy đủ.
Câu 7. (0,4 điểm)
lOMoARcPSD|42620215
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 2 / 4
Cho
Y
là một tập con không rỗng của không gian mêtric
( )
X, d
và
A Y.
Chứng minh rằng
A
mở trong
Y
nếu và chỉ nếu tồn tại tập
V
mở trong
X
sao cho
A V Y.=
Câu 8. (0,4 điểm)
Cho Y là một tập con không rỗng của không gian mêtric
( )
X, d
. Chứng minh rằng nếu Y là
một tập compact thì Y là tập bị chặn và đóng.
Câu 9. (0,4 điểm)
Cho X, Y là hai không gian mêtric và
f : X Y→
là một ánh xạ. Chứng minh rằng f liên tục
trên X nếu và chỉ nếu với mọi
A X,
ta có
( )
( )
f A f A .
Câu 10. (0,4 điểm)
Xét
(
X 0,1=
và mêtric
d : X X→
xác định bởi
( )
d x, y x y ,=−
với mọi
x, y X.
Khi đó
( )
X, d
được gọi là không gian mêtric. Chứng minh rằng không gian mêtric
( )
X, d
không đầy đủ.
Câu 11. (0,4 điểm)
Chứng minh rằng nếu
( )
X, d
là không gian mêtric đầy đủ và
f : X X→
là ánh xạ co thì trong
X tồn tại duy nhất một điểm a thỏa mãn
f (a) a .=
Câu 12. (0,4 điểm)
a/ Cho
1
C a, b
là không gian vectơ gồm các hàm thực có đạo hàm liên tục trên
a, b
. Ta
định nghĩa ánh xạ
1
1
C a,b
. : C a, b →
được xác định bởi
( )
1
C a,b t a,b
x x(a) sup x ' t ,
=+
với
1
x C a, b
. Chứng minh rằng
1
C a,b
.
là một chuẩn trên không gian vectơ
1
C a, b
.
b/ Giả sử
( ) ( )
2t a,b
x sup x t x ' t
=+
cũng là một chuẩn trên
1
C a, b
. Chứng minh rằng
2
.
tương đương với chuẩn
1
C a,b
.
(với chuẩn
1
C a,b
.
được định nghĩa trong câu (a)).
Câu 13. (0,4 điểm)
Cho
X
là không gian định chuẩn,
f
là phiếm hàm tuyến tính trên X. Chứng minh rằng:
f
liên tục khi và chỉ khi
( )
kerf x X : f x 0= =
đóng.
Câu 14. (0,4 điểm)
Cho X là một không gian định chuẩn và
A, B X
. Chứng minh rằng:
a/
A, B
compact thì
( )
AB+
compact.
b/ A đóng, B compact thì
( )
AB+
đóng.
Câu 15. (0,4 điểm)
Cho
( )
X, .
là không gian định chuẩn và
aX
. Với
r0
ta gọi
( )
B a, r x X : x a r= −
là một quả cầu mở và
( )
B' a, r x X : x a r= −
là quả cầu đóng trong
( )
X, .
. Chứng minh rằng
( ) ( )
B' a, r B a, r=
.
Câu 16. (0,4 điểm)
lOMoARcPSD|42620215
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 3 / 4
Cho
C 0,1
là không gian các hàm liên tục trên
0,1
. Chứng minh
C 0,1
với chuẩn
( )
1
1p
p
0
x x t dt , x(t) C 0,1 , p 1

=


, không là không gian Banach.
Câu 17. (0,4 điểm)
Giả sử
12
. , .
là hai chuẩn trên một không gian vectơ X thỏa điều kiện tồn tại
a, b 0
sao
cho
1 2 1
a x x b x ,
với mọi
x X.
Chứng minh rằng: Nếu
( )
1
X, .
là không gian Banach thì
( )
2
X, .
là không gian Banach.
Câu 18. (0,4 điểm)
Cho
X C 0,1=
là một không gian định chuẩn gồm các hàm thực liên tục trên
0,1
với chuẩn
X
. : X →
được xác định bởi
( )
Xt 0,1
x max x t ,
=
với
x X.
Giả sử
( )
LX
là không gian định chuẩn
gồm các ánh xạ tuyến tính liên tục từ
X
vào
X
với chuẩn
( )
. : L X →
được xác định bởi
X
x0 X
Tx
T sup ,
x
=
với
( )
T L X .
Xét toán tử
A : X X→
xác định bởi
( ) ( ) ( )
t
0
Ax t 5x t 2 x 1 s ds, t 0,1 .= + −
Chứng minh rằng:
a/ A là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên X.
b/ Tính
A.
Câu 19. (0,4 điểm)
Cho
X C 0,1=
là không gian định chuẩn gồm các hàm thực liên tục trên
0,1
với chuẩn
X
. : X →
được xác đinh bởi
( )
Xt 0,1
x max x t ,
=
với
x X.
Giả sử,
( )
LX
là không gian định
chuẩn gồm các ánh xạ tuyến tính liên tục từ
X
vào
X
với chuẩn
( )
. : L X →
được xác định
bởi
X
x0 X
Tx
T sup ,
x
=
với
( )
T L X .
Xét toán tử
A : X X→
xác định bởi
( ) ( ) ( )
Ax t 2x t 5tx t , t 0,1 .= −
Chứng minh rằng:
a/ A là một ánh xạ tuyến tính liên tục trên X.
b/ Tính
A.
Câu 20. (0,4 điểm)
Cho
X, Y
là hai không gian tuyến tính định chuẩn và
A : X Y→
là một toán tử cộng tính,
tức là
( )
A x y Ax Ay+ = +
, với mọi
x, y X
.
Chứng minh rằng: Nếu
A
liên tục tại 0 thì
A
liên tục trên
X
.
Câu 21. (0,4 điểm)
Cho
,XY
là hai không gian định chuẩn và
:A X Y→
là một toán tử tuyến tính. Giả sử với
mỗi dãy
,0
nn
x X x→
khi
n→
thì
n
Ax
là một dãy bị chặn. Chứng minh rằng A là một
toán tử liên tục.
lOMoARcPSD|42620215
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 4 / 4
Câu 22. (0,4 điểm)
Cho
f : X →
là ánh xạ tuyến tính,
YX
thỏa
kerf Y
. Chứng minh rằng
YX=
hoặc
Y kerf=
.
Câu 23. (0,4 điểm)
Cho
.,.
là một tích vô hướng trên không gian vectơ
.H
Chứng minh rằng: Với mọi
,xy
thuộc
H
thì
( )
22
22
1.
2 2 2
x y x y xy
+−
+ = +
Câu 24. (0,4 điểm)
Giả sử
( )
2
L,
với
0,1=
, là không gian Hilbert trên trường số thực, với tích trong
2
,.
L
f g f g
=
và tích trong này sinh ra chuẩn
2
1
2
2.
L
ff

=

Cho
( )
f x x=
và
( )
2
g x x=
,
với
0 1.x
a. Tính
2
L
f
và
2
L
g
.
b. Tính
2
,L
fg
c. Tìm
( )
2
hL
sao cho
0h
và
.hg⊥
Câu 25. (0,4 điểm)
Giả sử
H
là không gian Hilbert và
A : H H
→
là một toàn ánh từ
H
lên H bảo toàn tích vô
hướng, nghĩa là
Ax, Ay x, y=
với mọi
x, y
thuộc H. Chứng minh rằng
A
là toán tử tuyến
tính.
Hết
lOMoARcPSD|42620215