Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0001-0010-1100-2016-2112-0402 (Noäp laïi ñeà naøy)
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
Câu 1 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv là
6e 3e
B) Đường thẳng u = 0. D) Đường thẳng v = 0
A) Đường tròn u2 + v2 = C) Đường tròn u2 + v2 = Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai?
thì
:
z
i 3
A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở
zD
9
hàm
)(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D .
B) Nếu hàm phức
)(zf = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng
)(zf
thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D
= u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục
C) Hàm phức
trên miền D.
D) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.
-8i
9
i
Caâu 3 Cho soá phöùc z =
+ e . Khi ñoù:
A) Rez = 2 + cos8, Imz = -sin8 B) Rez = 10 + cos8, Imz = sin8
E
:
z
2
z
i
taäp hôïp ñieåm
,
C) Rez = 2 + cos8, Imz = sin8 D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8 z
i 2 5
i 6
:
z
i 51
Caâu 4 Trong maët phaúng phöùc cho caùc . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? F z 6 A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø laø taäp compact.
= u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø:
Caâu 5 Haøm phöùc f(z) =
C) Taäp F laø hình troøn đóng taâm -1+5i baùn kính baèng 6. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 2 -i vôùi 6i. z 2
z
C) u =
A) u =
, v =
, v =
2
2
2
2
2
2
2
2
y
x
y y
x
y
x
6 z
7
, v =
B) u =
2
2
2
2
y y y
x
y
x
m
(
)
)( zf
A
az
7 x x D) moät keát quaû khaùc 7 y 5 7 x 5 x
Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø
,
lim a z
lim zf )( z a
A0
(vôùi
) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
z
3z
zf )(
B)
laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm
e ( z
z 12 2)3
z
z
z
dz
)12
dz
i (2
3 e
s
Re
C)
=
D)
= 2 i
z 2
e z (
z 12 2)3
e z (
z 12 2)3
12 )3
e ( z
42
4
3
z
z
i
3,
- 1 -
Caâu 7 Ñeå giaûi heä phöông trình vi phaân:
, vôùi ñieàu kieän x(0)= y(0)= 0 ta laøm nhö sau:
x x
0 y
1
y 3' y 4'
0
X
Ñaët
vaø bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:
Y,x
y
L
L
X
4
P
XP
3 Y Y
1 p
X
p
pp
3
Giaûi heä phöông trình vôùi X, Y laø aån ta ñöôïc
Y
p
p
X
3 1 1 1 A p
3
1
3 B
C
Phaân tích thaønh caùc phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc
vôùi A, B, C, D, E laø
Y
P
3
1
P
P E
P D
caùc haèng soá maø ôû ñaây ta khoâng tìm.
t
3
t
Ax
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm
Be t
Ce 3 t
y
De
Ee
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng? A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû ñuùng. Câu 8 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
T
A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =
0
2π
pt
sin
tdt
B)Neáu
vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =
p e 2
0
t
t
3
u
)
pt f ( ) t dt Tp e 1 1 e 0 t khi f )( t khi t 2 t sin 0
f u du ( )
C) L
D) L
1 e 3 2 )3
1 p
e ch udu 2 pp (( )4
0
F p ( p
0
2
2
v
12
xy
5
x
2
, 2
. Khẳng
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa
yxu ,( ) 6 x 6 y 5 y
Câu 9 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số định nào sau đây đúng? A) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp.
)2
y
te (5)2
=
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 4.
tu (
Caâu 10 Cho phöông trình vi phaân: y 3' Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)
p 2
=
+ 4 (2)
e p
5
p 2
(3)
+
pY 3 Y Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:
e )(3
(
p
p
)5
p 2
Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= 3 4 p
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
+
(3
(5
t
t
)2
2
e p 5 p 3 3 1 2 4 p 1 1
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =
+ 4 te3
e )2
e
tu (
C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
A) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
- 2 -
1 2
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
1 2) izei
)( zf ( z z
Caâu 11 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm
quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
. i
2) ei
1 iz dz
Phaân loại điểm bất thường cô lập
. Tính tích phaân
.
3
z
i
I z i z 9 (
Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phân
te 5
y(t)=
duut )
3 )( uy cos (2
t 5 0
Tính
roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa
sau khoaûng thôøi gian
)(ty t lim ty )( t
ñuû lôùn. Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y
vôùi ñieàu kieän
vaø
0
)(ty
3sin t y y 0 y )0(' 6'7'' y 1 )0(
b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian
, biểu diễn . Xác định vị trí cân bằng và biên độ dao động này.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
t
Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
Ngaøy 19 thaùng 12 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 3 -
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0001-0010-1100-2016-2112-0402
Giaùm thò 1
Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0010-0010-1100-2016-2112-0402 (Noäp laïi ñeà naøy)
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
2
2
yxu ,(
)
6
x
6
y
5
y
, 2
. Khẳng
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa
v 12 xy 5 x 2
Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số định nào sau đây đúng? A) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp.
)2
te (5)2
=
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 4.
tu ( y 3'
Caâu 2 Cho phöông trình vi phaân: y Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)
p 2
pY 3 Y
Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:
=
+ 4 (2)
e p
5
p 2
(3)
+
e )(3
(
p
p
)5
4 p
p 2
Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= 3
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
+
(3
t
(5
t
)2
2
e p 5 p 3 3 1 2 4 p 1 1
+ 4 te3
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =
e )2
e
tu (
C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
A) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
1 2
Caâu 3 Haøm phöùc f(z) =
= u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø:
C) u =
A) u =
, v =
, v =
2
2
2
2
2
2
z 2 6 z z
2
2 y x x x y y y 7
, v =
B) u =
2
2
2
7 x x D) moät keát quaû khaùc 2 y x y y y x 7 x 5 x 7 y 5
Câu 4 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv là
6e 3e
B) Đường thẳng v = 0. D) Đường thẳng u = 0.
A) Đường tròn u2 + v2 = C) Đường tròn u2 + v2 = Câu 5 Khẳng định nào sau đây sai?
:
z
i 3
thì
A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở
zD
9
hàm )(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D .
B) Nếu hàm phức
)(zf = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng
thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D
= u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục )(zf
C) Hàm phức
9
i
trên miền D.
D) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. -8i . Khi ñoù:
Caâu 6 Cho soá phöùc z =
+ e
i
- 1 -
2 5
A) Rez = 2 + cos8, Imz = -sin8 B) Rez = 10 + cos8, Imz = sin8
E
:
z
2
z
i
taäp hôïp ñieåm
,
C) Rez = 2 + cos8, Imz = sin8 D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8 z
i 6
:
z
i 51
Caâu 7 Trong maët phaúng phöùc cho caùc . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? F 6 z A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø laø taäp compact.
C) Taäp F laø hình troøn đóng taâm -1+5i baùn kính baèng 6. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 2 -i vôùi 6i.
m
(
)
)( zf
A
az
Caâu 8 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø
,
lim a z
lim zf )( z a
A0
) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
(vôùi
z
3z
zf )(
B)
laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm
e ( z
z 12 2)3
z
z
z
dz
)12
dz
i (2
3 e
s
Re
C)
=
D)
= 2 i
z 2
e z (
z 12 2)3
e z (
z 12 2)3
12 )3
e ( z
z
z
i
42
4
3
3,
Caâu 9 Ñeå giaûi heä phöông trình vi phaân:
, vôùi ñieàu kieän x(0)= y(0)= 0 ta laøm nhö sau:
x x
0 y
1
y 3' y 4'
0
X
Ñaët
vaø bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:
Y,x
y
L
L
X
4
P
XP
3 Y Y
1 p
X
p
pp
3
Giaûi heä phöông trình vôùi X, Y laø aån ta ñöôïc
Y
p
p
X
3
1
3 1 1 1 A p
3 B
C
Phaân tích thaønh caùc phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc
vôùi A, B, C, D, E laø
Y
P
3
1
P
P E
P D
caùc haèng soá maø ôû ñaây ta khoâng tìm.
t
3
t
Ax
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm
Be t
Ce 3 t
y
De
Ee
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng? A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû ñuùng. Câu 10 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
T
pt f
t dt ( )
A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =
Tp e
0
1
1 e
2π
t
khi
pt
sin
tdt
f
t )(
B)Neáu
vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =
khi
0
t 0 t 2
p e 2
0
sin
t
t
3
u
)
f u du ( )
C) L
D) L
1 e 3 2 )3
1 p
e ch udu 2 pp (( )4
0
( F p p
0
- 2 -
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
1 2) izei
)( zf ( z z
Caâu 11 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm
quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
. i
2) ei
1 iz dz
Phaân loại điểm bất thường cô lập
. Tính tích phaân
.
z
3
i
I z i z 9 (
Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phân
te 5
y(t)=
duut )
3 )( uy cos (2
t 5 0
Tính
roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa
sau khoaûng thôøi gian
)(ty t lim ty )( t
ñuû lôùn. Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y
vôùi ñieàu kieän
vaø
0
)(ty
3sin t y y 0 y )0(' 6'7'' y 1 )0(
b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian
, biểu diễn . Xác định vị trí cân bằng và biên độ dao động này.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
t
Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
Ngaøy 19 thaùng 12 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 3 -
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0010-0010-1100-2016-2112-0402
Giaùm thò 1
Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0011-0010-1100-2016-2112-0402 (Noäp laïi ñeà naøy)
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
Caâu 1 Haøm phöùc f(z) =
= u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø:
z 2
6 z
z
C) u =
A) u =
, v =
, v =
2
2
2
2
2
2
2
2
y y
x
y
x
y
x
y y
7
7 x x D) moät keát quaû khaùc
, v =
B) u =
2
2
2
2
x
y
y
x
5 7 y
5 x 7 x
m
(
)
)( zf
A
az
,
Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø
lim a z
A0
) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
(vôùi
z
zf )(
3z
B)
laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm
e ( z
z 12 2)3
z
z
z
lim zf )( z a
3 e
s
Re
=
D)
= 2 i
C)
z 2
z 12 2)3
z 12 2)3
e z (
12 )3
4
3
42
z
i
z
3,
dz )12 dz i (2 e z ( e z (
Câu 3 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv là
6e 3e
B) Đường thẳng u = 0. D) Đường thẳng v = 0
A) Đường tròn u2 + v2 = C) Đường tròn u2 + v2 =
Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. B) Nếu hàm phức
)(zf = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng
thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D
)(zf
= u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục
C) Hàm phức
:
z
i 3
trên miền D.
thì
D) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở
zD
9
)(zf
-8i
9
hàm = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D .
i
Caâu 5 Cho soá phöùc z =
+ e . Khi ñoù:
A) Rez = 2 + cos8, Imz = -sin8 B) Rez = 10 + cos8, Imz = -sin8
E
:
z
2
z
i
taäp hôïp ñieåm
,
C) Rez = 2 + cos8, Imz = sin8 D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8 z
i 6
:
z
i 51
i 2 5
Caâu 6 Trong maët phaúng phöùc cho caùc . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? F z 6 A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø laø taäp compact.
C) Taäp F laø hình troøn đóng taâm -1+5i baùn kính baèng 6. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 2 -i vôùi 6i.
)2
y
tu (
(5)2 te
y 3'
Caâu 7 Cho phöông trình vi phaân:
=
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 4.
- 1 -
Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)
2 p
pY 3 Y
Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:
=
+ 4 (2)
e p
5
p 2
(3)
+
Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
e )(3
(
p
p
)5
p 2
e
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
+
3 4 p
p
p
(3
(5
t
t
)2
2
e
1 2 5 3 3 4 p 1 1
+ 4 te3
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =
)2
e
tu (
1 2
Caâu 8 Ñeå giaûi heä phöông trình vi phaân:
, vôùi ñieàu kieän x(0)= y(0)= 0 ta laøm nhö sau:
x x
C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. 0 y
A) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. y 3' y 4'
0
X
vaø bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:
Ñaët
Y,x
y
L
L
X
4
P
XP
3 Y Y
1 p
X
p
pp
3
Giaûi heä phöông trình vôùi X, Y laø aån ta ñöôïc
Y
p
p
X
3 1 1 1 A p
3
1
3 B
C
vôùi A, B, C, D, E laø
Phaân tích thaønh caùc phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc
Y
P
3
1
P
P E
P D
caùc haèng soá maø ôû ñaây ta khoâng tìm.
t
t
3
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm
Be t
Ce 3 t
Ax y
De
Ee
1
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng? A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû ñuùng. Câu 9 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
T
A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =
0
2π
pt
sin
tdt
B)Neáu
vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =
p e 2
0
t
t
3
u
)
pt f ( ) t dt Tp e 1 1 e 0 t khi f )( t khi t 2 t sin 0
f u du ( )
C) L
D) L
1 e 3 2 )3
1 p
e ch udu 2 pp (( )4
0
F p ( p
0
2
2
v
12
xy
5
x
2
, 2
. Khẳng
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa
yxu ,( ) 6 x 6 y 5 y
Câu 10 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số định nào sau đây đúng? A) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp.
- 2 -
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
1 2) izei
)( zf ( z z
Caâu 11 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm
quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
. i
2) ei
1 iz dz
Phaân loại điểm bất thường cô lập
. Tính tích phaân
.
z
3
i
I z i z 9 (
Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phân
y(t)=
duut )
3 )( uy cos (2 te 5
t 5 0
Tính
roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa
sau khoaûng thôøi gian
)(ty t lim ty )( t
ñuû lôùn. Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y
vôùi ñieàu kieän
vaø
0
)(ty
3sin t y y 0 y )0(' 6'7'' y 1 )0(
b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian
, biểu diễn . Xác định vị trí cân bằng và biên độ dao động này.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
t
Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
Ngaøy 19 thaùng 12 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 3 -
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0011-0010-1100-2016-2112-0402
Giaùm thò 1
Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC ỨNG DỤNG BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0100-0010-1100-2016-2112-0402 (Noäp laïi ñeà naøy)
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
2
2
yxu ,(
)
6
x
6
y
5
y
, 2
. Khẳng
C) u điều hòa, v không điều hòa. D) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp.
v 12 xy 5 x 2
Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số định nào sau đây đúng? A) v điều hòa, u không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. Câu 2 Khẳng định nào sau đây sai?
:
z
i 3
thì
A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở
zD
9
hàm )(zf = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D .
B) Nếu hàm phức
thỏa điều kiện Cauchy – Reimann trên miền D
)(zf = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng
)(zf
= u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục
C) Hàm phức
trên miền D.
D) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.
-8i
9
i
Caâu 3 Cho soá phöùc z =
+ e . Khi ñoù:
C) Rez = 2 + cos8, Imz = sin8 D) Rez = 2+ cos8, Imz = -2 – sin8
A) Rez = 2 + cos8, Imz = -sin8 B) Rez = 10 + cos8, Imz = sin8
)2
i 2 5
(5)2 te
=
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 4.
tu ( y 3'
Caâu 4 Cho phöông trình vi phaân: y Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)
p 2
=
+ 4 (2)
e p
5
p 2
(3)
+
pY 3 Y Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:
e )(3
(
p
p
)5
p 2
Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= 3 4 p
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
+
(3
(5
t
t
)2
2
e p p 3 3 5 1 2 1 1 4 p
+ 4 te3
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y =
e )2
e
tu (
C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
A) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
1 2
Caâu 5 Haøm phöùc f(z) =
= u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø:
C) u =
A) u =
, v =
, v =
2
2
2
2
2
2
z 2 6 z z
2
2 y x x x y y y 7
, v =
B) u =
2
2
2
7 x x D) moät keát quaû khaùc 2 y x y y y x 7 x 5 x 7 y 5
Câu 6 Ảnh của đường thẳng y = 0 qua phép biến hình w = e3- iz = u +iv là
- 1 -
B) Đường thẳng v = 0. D) Đường thẳng u = 0.
6e 3e
A) Đường tròn u2 + v2 = C) Đường tròn u2 + v2 = Câu 7 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
T
pt f
t dt ( )
A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =
Tp e
0
1
1 e
2π
pt
sin
tdt
B)Neáu
vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =
p e 2
0
t
t
3
u
)
t khi f t )( khi t 0 t 2 sin 0
f u du ( )
C) L
D) L
1 e 3 2 )3
1 p
e ch udu 2 pp (( )4
0
( F p p
0
E
:
z
2
z
i
taäp hôïp ñieåm
,
z
i 6
:
z
i 51
Caâu 8 Trong maët phaúng phöùc cho caùc . Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? F z 6 A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø laø taäp compact.
C) Taäp F laø hình troøn đóng taâm -1+5i baùn kính baèng 6. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 2 -i vôùi 6i.
m
(
)
)( zf
A
az
,
Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø
lim a z
lim zf )( z a
A0
) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
(vôùi
z
zf )(
3z
B)
laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm
e ( z
z 12 2)3
z
z
z
s
Re
dz
)12
dz
i (2
3 e
C)
=
D)
= 2 i
z 2
e z (
12 )3
e z (
z 12 2)3
e z (
z 12 2)3
z
i
z
4
3
42
3,
Caâu 10 Ñeå giaûi heä phöông trình vi phaân:
, vôùi ñieàu kieän x(0)= y(0)= 0 ta laøm nhö
x x
0 y
1
y 3' y 4'
sau:
Ñaët
vaø bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:
Y,x
X L
yL
0
X P 4 XP Y 3 Y 1 p
pp
3
Giaûi heä phöông trình vôùi X, Y laø aån ta ñöôïc
X p
Y p p
3 B
Phaân tích thaønh caùc phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc
vôùi A, B, C, D, E laø
X 3 1 3 1 1 1 A p C
caùc haèng soá maø ôû ñaây ta khoâng tìm.
t
3
t
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm
Be t
Ce 3 t
Ax y
De
Ee
Y P 3 1 P P E P D
Khaúng ñònh naøo sau ñaây ñuùng? A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû ñuùng.
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
- 2 -
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
1 2) izei
)( zf ( z z
Caâu 11 (1 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm
quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
. i
2) ei
1 iz dz
Phaân loại điểm bất thường cô lập
. Tính tích phaân
.
z
3
i
I z i z 9 (
Caâu 12 (2 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phân
te 5
y(t)=
duut )
3 )( uy cos (2
t 5 0
Tính
roài döïa vaøo keát quaû ñoù xaùc ñònh giaù trò (gaàn ñuùng) cuûa
sau khoaûng thôøi gian
)(ty t lim ty )( t
ñuû lôùn. Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y
vôùi ñieàu kieän
vaø
0
)(ty
3sin t y y 0 y )0(' 6'7'' y 1 )0(
b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian
, biểu diễn . Xác định vị trí cân bằng và biên độ dao động này.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
t
Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
Ngaøy 19 thaùng 12 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 3 -
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ I NAÊM HOÏC 2016-2017 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0100-0010-1100-2016-2112-0402
Giaùm thò 1
Giaùm thò 2
Giaùo vieân chaám thi 1&2
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: …. Thôøi gian : 90 phuùt (21/12/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
ÑIEÅM
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
ÑAÙP AÙN MOÂN HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE (Ngaøy thi: 21/12/2016)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Maõ ñeà: 0001-0010-1100-2016-2112-0402
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
A
B
A
D
C
D
A
B
B
D
Maõ ñeà: 0010-0010-1100-2016-2112-0402
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
B
D
C
A
B
A
D
D
A
B
Maõ ñeà: 0011-0010-1100-2016-2112-0402
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
C
D
A
B
A
D
D
A
B
B
Maõ ñeà: 0100-0010-1100-2016-2112-0402
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
7
8
9
10
6
Traû lôøi
B
B
A
D
C
B
D
D
A
A
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
Ñieåm
Noäi dung
Caâu hoûi Caâu 11 1 ñieåm
n
(
Ta coù:
=
=
Khai trieån Laurent 1 1 ) iz ize n !
zn (!
ni )
1
0
n
0
n
2
)( zf
(
z
2)
1 ize
z
i
(
)
=
2
=
zn (!
ni )
zn (!
ni )
1
1
n
0
n
0
0,25ñ
- 1 -
z
i
2
i
...
1
z (
)
1 1 !2
1 z i )
(!3
2 z i )
(!4
Phần đều Phần chính
z
i
là điểm bất thường cốt yếu.
Vì phần chính có vô số số hạng nên
1 2) izei
)(zf
Tính tích phaân: Vì hàm số
giải tích trên \ i và đường tròn
9
( z
bao quanh điểm bất thường cô lập
nên áp dụng thặng dư ta
3 i z được
I
2) ei
1 iz dz
zs [(Re
2 ei )
]
1 , i iz
iπ 2
= 2 i
=
0,25ñ 0,25ñ 0,25ñ
z i
1 !3
iπ 3
z 9
z
3
i
(
3
Caâu 12 2ñ Aùp duïng tích chaäp, phöông trình ñöôïc vieát laïi *)(5 ty
cos
2 t
te 5
y(t)=
Ñaët Y = Y(p) = L y(t) bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát tuyeán tính vaø ñònh lyù Borel ta ñöôïc
Y =
5L y(t) L cos2t
3 p
5
1
5Y
Y =
p 3 p
p
5
1
2
(*)
4 p 2 p
Y =
)(5
)4
Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc )4
p )(15 )(1 p p
p
4( ( pp Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm
A p p 5 1 p 4 B C p D
)(ty
=
=
t
4
A
)(ty
t
5
t 1
] B C D ][1 YL [1 AL 1 4 p 1 1 1 p t 5 Be p t Ce 1 5 De p
A
3
(tính A beân dưới) neân sau khoaûng thôøi gian
A Be Ce De )94
lim ( t ) t(y
.3
(*)
, , , DCBA 2
lim ty )( t t ñuû lôùn Tìm 4( pp (
)(5
)4
p
)4
p 5 p 4 B D
0.5ñ 0.5ñ 0.75ñ 0.25ñ
3A
,
,
,
döïa vaøo ñaúng thöùc (*) C p )(15 p )(1 p p 29 4
5
t
t
4
t
C B D A p 55 12 1 5 3
Vậy nghiệm phương trình tích phân là
- 2 -
3 )(ty e e e 29 4 55 12 5 3
=
Ñaët
. Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát
)t(y
L
tuyeán tính vaø tính chaát ñaïo haøm haøm goác ta ñöôïc:
2 Yp
) ( pY Y
=
t3sin
1 L
2
)0( )0( pY 6 Y py y y 7)0('
pY ( )6 7 p 1 p 9 p 3 2
Caâu 13 1,5ñ 0.5ñ 0.5ñ
2
2
Phân tích thành phân thức đơn giản
2
(*)
Y p )(1 p p )(6 9 p )9 pp ( 3
2
Bieái ñoåi Laplace ngöôïc hai veá vaø aùp duïng tính chaát tuyeán tính ta ñöôïc
Y A p p p 1 6 B C p 9 p Dp 2 p p )(1 p )(6 )9 pp ( 3 E 3 9
)(ty
=
1 [ AL
2
2
t
t
6
B C D ] E ][YL 1 1 p p p 1 6 1 1 9 9 p p p 3
A
Be
Ce
D
3cos
3sin
Et
)(ty
t
Tìm
döïa vaøo ñaúng thöùc:
2
(*)
, DCBA , ,
2
2
2
A p p p 1 6 B C p 9 p Dp 2 p p )(1 p )(6 )9 pp ( 3 E 3 9
B
A
,
2
1 6 7 50 )9 )9 903 2 0)(60)(10( 0 )1( )((61)(1( 9)1(3 2 )1
2
Từ đẳng thức (*)
p
:1
A 1
B
p
:2
7 104
13 140 A 2
C 6111 B C 12 62
D E 3 2 1 9 D 2 )2(
E 3 2 9
Cho Cho
C 1 50 )9 )6( )((16)(6( 9)6(3 )6
ED, A , B , C
ta được
vào hệ trên rồi giải tìm
Thay
1 6 7 50 1 50
t
6
t
)(ty
D , E 1 150 7 150
Vậy nghiệm phương trình vi phân là
e e 3cos t 3sin t 1 6 7 150 1 50 7 150 1 150
0.5ñ
- 3 -
t
t 6 )
( e e 0
b) Vì
nên sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm
lim t 7 150 1 50
phương trình vi phân,
)( ty 3cos t 3sin t
.
1 6 7 150 1 150
7 1 )( ty 3cos t 3sin t t 3cos t )3sin ) ( αt 3 sin( 1 6 7 150 1 150 1 6 2 30 1 6 2 30 25 25
)
7 1 sin α , cos α
(trong đó
25 25
, xấp
Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương trình vi phân,
)(ty
0.5ñ
xỉ dao động điều hòa theo thời gian
có biên độ dao động
quanh điểm
.
cân bằng có tọa độ
t 2 30
…………………………………………………………………………….
t
t
6
)(ty
oy 1 6
t
Cách giải tổng quát như sau:
t
(
Be
Ce
0
t 6 )
A Be Ce D 3cos 3sin Et
nên sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương
Vì
lim t
trình vi phân
D
D
2
2
D
E
ty )(
3cos
3sin
(
cos
t 3
t )3sin
DA
Et
At
2
2
2
2
D
E
D
E
D
D
sin
,
cos
Đặt
2
2
2
2
D
E
D
E
2
2
2
2
)(ty
, xấp
Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương trình vi phân,
2
ty )( A D E (sin α t 3cos cos α t )3sin A D E ) αt 3 sin(
2 E
quanh
xỉ dao động điều hòa theo thời gian
có biên độ dao động
điểm cân bằng có tọa độ
. A
t D
yo
*** HEÁT***
- 4 -
![Bài giảng Hình học họa hình: Bài mở đầu - Giới thiệu [Chuẩn SEO]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250823/kimphuong1001/135x160/99131755935505.jpg)
