Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN
Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu
BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (9/8/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-0001 (Noäp laïi ñeà naøy)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
9
Caâu 1 Cho soá phöùc z =
+ e-9i . Khi ñoù:
i
10 3
i
A) Rez = 3 + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = 10 + cos9, Imz = -sin9
Caâu 2 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm
:
z
i 62
E
3
z
z
:
F z
4 .
C) Rez = 3 + cos9, Imz = 2+sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 z
i , 3
Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø taäp bò chaën.
C) Taäp F laø hình troøn ñoùng taâm 2-6i baùn kính baèng 4. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 3i vôùi 3.
Câu 3 Khẳng định nào sau đây sai?
:
z
z
zD
r
o
A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở thì
hàm = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D .
= u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục
)(zf B) Hàm phức
)(zf
trên miền D.
)(zf khaû vi trên miền D.
C) Nếu hàm u(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. D) Nếu hàm phức = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng
Caâu 4 Haøm phöùc f(z) =
= u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø:
z 2
8 z
z
A) u =
, v =
C) u =
, v =
2
2
2
2
2
2
2
2 9 y x x y x y y
B) u =
, v =
2
2
2
m
9 x x D) moät keát quaû khaùc 2 9 x 9 x 9 y 7 y x y y y x
Caâu 5 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø
,
(
az
)
)( zf
A
lim a z
lim zf )( z a
(vôùi
) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
A0
z
B)
laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm
z
3 i
zf )(
e ( z
z 10 2)3 i
z
z
z
C)
D)
=
Re
s
3, i
= 2 i
3 iei (2
e ( z
10 z 2 )3 i
z 10 2)3 i
z 10 2)3 i
z
4
i
3
z
34
dz dz )10 e ( z e ( z
Caâu 6 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)=
ta laøm nhö sau:
te 5 -10
)( uy
cos
(3 t
) duu
t 0
te 5 -10y(t)*cos3t
Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = Ñaët Y = Y(p) = L y(t) vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
L y(t) = L [
te 5 ] -10 L [y(t)*cos3t]
- 1 -
Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
Y =
-10Y
- 10L y(t) L cos3t Y =
1 p
5
1 p
5
p 2 p
9
2
Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
)5
Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y=
p 9 )(1 p )(9 B + 9p
( p A + 1p
p C (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) 5p t
9 t
5 t
Ae Be Ce
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
Câu 7 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
T
pt f
( ) t dt
A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =
Tp e
0
1
1 e
2π
pt
B)Neáu
cos
2 tdt
vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =
p e 2
0
t
t
3
u
)
e
ch
udu 2
f u du ( )
C) L
D) L
p
pp ((
1 e 1 3 2 )3
)4
0 khi f t )( 0 t 2 khi t t 2 cos
0
( F p p
0
2
2
yxu ,(
)
10
xy
8
x
3
,
.
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa
yxv ,( ) 5 y 5 x 8 y 6
Câu 8 Trong mặt phẳng phức cho các hàm số Khẳng định nào sau đây đúng? A) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp.
=
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 10.
te (3) )
y 8'
tu (
Caâu 9 Cho phöông trình vi phaân: y Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)
=
+10 (2)
pY 8 Y
Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:
e p )(3 p
)8
(
p
(3) + Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= 8
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
+
e p 3 p 10 p 1 5
(8
t
)
(3
t
+10 te8
e
)
e p 1 1 p 8 p 3 10 p 8
tu (
1 Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = e 5
C)Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
A)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
Câu 10 Giả sử L f(t) = F(p), L g(t) = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p)
3
t
B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) 10
4 et
D) L -1
C) L
4
2
8 t ch 8 t sh t 8[ t ]5sin p 10 2 p 8 64 !4 5 8 2 p ( p )3 p 25
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm
quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
.
pF (
)
1
2 pe
0p
- 2 -
2 z
Döïa vaøo keát quaû khai trieån tìm goác haøm aûnh
vaø tính tích phaân
.
I
)1
dz
( pF
)
e ( 5
iz
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
x
5'
y
3
vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0
3
x
4' y
y
te
vôùi ñieàu kieän
vaø
Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y
7'8'' y
2
1)0('
)0(
0
y
y
y
)(ty
, biểu diễn
3sin t b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian t . Xác định biên độ dao động này.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
Ngaøy 8 thaùng 8 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 3 -
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE
Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-0001 Giaùm thò 2 Giaùm thò 1
Giaùo vieân chaám thi 1&2
ÑIEÅM
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (9/8/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN
Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu
BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (9/8/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-0010 (Noäp laïi ñeà naøy)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
Câu 1 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
T
pt f
( ) t dt
A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =
Tp e
0
1
1 e
2π
pt
B)Neáu
cos
2 tdt
vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =
p e 2
0
t
t
3
u
)
e
ch
udu 2
f u du ( )
C) L
D) L
p
pp ((
1 e 1 3 2 )3
)4
0 khi f t )( 0 t 2 khi t t 2 cos
0
( F p p
0
2
2
yxu ,(
)
10
xy
8
x
3
,
.
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa
yxv ,( ) 5 y 5 x 8 y 6
Câu 2 Trong mặt phẳng phức cho các hàm số Khẳng định nào sau đây đúng? A) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp.
=
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 10.
te (3) )
y 8'
tu (
Caâu 3 Cho phöông trình vi phaân: y Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)
=
+10 (2)
pY 8 Y
Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:
e p )(3 p
)8
(
p
(3) + Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= 8
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
+
e p 3 p 10 p 1 5
(8
t
)
(3
t
+10 te8
e
)
e p 1 1 p 8 p 3 10 p 8
tu (
1 Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = e 5
C)Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
A)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
Câu 4 Giả sử L f(t) = F(p), L g(t) = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p)
3
t
B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) 10
4 et
D) L -1
C) L
4
2
9
8 t ch 8 t sh t 8[ t ]5sin p 10 2 p 8 64 !4 5 ( p )3 p 25
Caâu 5 Cho soá phöùc z =
+ e-9i . Khi ñoù:
i
i
A) Rez = 3 + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = 3 + cos9, Imz = 2+sin9
8 2 p 10 3
Caâu 6 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm
:
z
i 62
E
3
z
z
:
F z
4 .
C) Rez =10 + cos9, Imz = -sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 z
i , 3
Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai?
- 1 -
A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø taäp bò chaën.
C) Taäp F laø hình troøn ñoùng taâm 2-6i baùn kính baèng 4. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 3i vôùi 3.
Câu 7 Khẳng định nào sau đây sai?
:
z
z
zD
r
o
A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở thì
hàm = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D .
= u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục
)(zf B) Hàm phức
)(zf
trên miền D.
)(zf khaû vi trên miền D.
C) Nếu hàm u(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. D) Nếu hàm phức = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng
Caâu 8 Haøm phöùc f(z) =
= u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø:
z 2
8 z
z
A) u =
, v =
C) u =
, v =
2
2
2
2
2
2
2
2 9 y x x y x y y
B) u =
, v =
2
2
2
m
,
9 x x D) moät keát quaû khaùc 2 9 x 9 x 9 y 7 y x y y y x
Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø
(
az
)
)( zf
A
lim a z
lim zf )( z a
(vôùi
) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
A0
z
B)
laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm
z
3 i
zf )(
e ( z
z 10 2)3 i
z
z
z
C)
D)
=
Re
s
3, i
= 2 i
3 iei (2
e ( z
10 z 2 )3 i
z 10 2)3 i
z 10 2)3 i
z
4
i
3
z
34
dz dz )10 e ( z e ( z
Caâu 10 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)=
ta laøm nhö sau:
te 5 -10
)( uy
cos
(3 t
) duu
t 0
te 5 -10y(t)*cos3t
Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = Ñaët Y = Y(p) = L y(t) vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
L y(t) = L [
te 5 ] -10 L [y(t)*cos3t]
Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
Y =
-10Y
- 10L y(t) L cos3t Y =
1 p
5
1 p
5
p 2 p
9
2
Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
)5
Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y=
p 9 )(1 p )(9 B + 9p
( p A + 1p
p C (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) 5p t
9 t
5 t
Ae Be Ce
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm
quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
.
pF (
)
1
2 pe
0p
- 2 -
2 z
Döïa vaøo keát quaû khai trieån tìm goác haøm aûnh
vaø tính tích phaân
.
I
)1
dz
( pF
)
e ( 5
iz
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
x
5'
y
3
vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0
3
x
4' y
y
te
vôùi ñieàu kieän
vaø
Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y
7'8'' y
2
1)0('
)0(
0
y
y
y
)(ty
, biểu diễn
3sin t b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian t . Xác định biên độ dao động này.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
Ngaøy 8 thaùng 8 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 3 -
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE
Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-0010 Giaùm thò 2 Giaùm thò 1
Giaùo vieân chaám thi 1&2
ÑIEÅM
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (9/8/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN
Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu
BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (9/8/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-0011 (Noäp laïi ñeà naøy)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
(Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6)
Caâu 1 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)=
ta laøm nhö sau:
te 5 -10
)( uy
cos
(3 t
) duu
t 0
te 5 -10y(t)*cos3t
Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = Ñaët Y = Y(p) = L y(t) vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
L y(t) = L [
te 5 ] -10 L [y(t)*cos3t]
Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
Y =
-10Y
- 10L y(t) L cos3t Y =
1 p
5
1 p
5
p 2 p
9
2
Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
)5
Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y=
p 9 )(1 p )(9 B + 9p
( p A + 1p
p C (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) 5p t
9 t
5 t
Ae Be Ce
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
Câu 2 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
T
pt f
( ) t dt
A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =
Tp e
0
1
1 e
2π
pt
B)Neáu
cos
2 tdt
vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =
p e 2
0
t
t
3
u
)
e
ch
udu 2
f u du ( )
C) L
D) L
p
1 e 1 3 2 )3
)4
pp ((
0 khi f t )( 0 t 2 khi t t 2 cos
0
( F p p
0
2
2
yxu ,(
10
xy
8
3
x
)
,
.
yxv ,( 8 5 5 y x y ) 6
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa =
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 10.
te (3) )
tu (
Câu 3 Trong mặt phẳng phức cho các hàm số Khẳng định nào sau đây đúng? A) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. Caâu 4 Cho phöông trình vi phaân: y 8' y Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)
=
+10 (2)
pY 8 Y
Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:
e p )(3 p
)8
(
p
(3) + Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= 8
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
+
e p 3 p 10 p 1 5
e p 1 1 p 8 p 3 10 p 8
- 1 -
(8
t
)
(3
t
+10 te8
e
)
tu (
1 Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = e 5
C)Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
A)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
Câu 5 Giả sử L f(t) = F(p), L g(t) = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p)
3
t
B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) 10
4 et
D) L -1
C) L
4
2
9
8 t ch 8 t sh t 8[ t ]5sin p 10 2 p 8 64 !4 5 ( p )3 p 25
Caâu 6 Cho soá phöùc z =
+ e-9i . Khi ñoù:
i
i
A) Rez = 3 + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = 10 + cos9, Imz = -sin9
8 2 p 10 3
Caâu 7 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm
:
z
i 62
E
3
z
z
:
F z
4 .
C) Rez = 3 + cos9, Imz = 2+sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 z
i , 3
Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø taäp bò chaën.
C) Taäp F laø hình troøn ñoùng taâm 2-6i baùn kính baèng 4. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 3i vôùi 3.
Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai?
:
z
z
zD
r
o
A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở thì
hàm = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D .
= u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục
)(zf B) Hàm phức
)(zf
trên miền D.
)(zf khaû vi trên miền D.
C) Nếu hàm u(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. D) Nếu hàm phức = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng
Caâu 9 Haøm phöùc f(z) =
= u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø:
z 2
8 z
z
A) u =
, v =
C) u =
, v =
2
2
2
2
2
2
2
2 9 y x x y x y y
B) u =
, v =
2
2
2
m
x 9 x D) moät keát quaû khaùc 2 x 9 9 x y 9 7 y x y y y x
Caâu 10 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø
,
(
az
)
)( zf
A
lim a z
lim zf )( z a
(vôùi
) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
A0
z
B)
laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm
z
3 i
zf )(
e ( z
z 10 2)3 i
z
z
z
C)
D)
=
Re
s
3, i
= 2 i
3 iei (2
e ( z
10 z 2 )3 i
z 10 2)3 i
z 10 2)3 i
z
4
i
3
z
34
dz dz )10 e ( z e ( z
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm
quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
.
pF (
)
1
2 pe
0p
- 2 -
2 z
Döïa vaøo keát quaû khai trieån tìm goác haøm aûnh
vaø tính tích phaân
.
I
)1
dz
( pF
)
e ( 5
iz
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
x
5'
y
3
vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0
3
x
4' y
y
te
vôùi ñieàu kieän
vaø
Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y
7'8'' y
2
1)0('
)0(
0
y
y
y
)(ty
, biểu diễn
3sin t b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian t . Xác định biên độ dao động này.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
Ngaøy 8 thaùng 8 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 3 -
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE
Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-0011 Giaùm thò 2 Giaùm thò 1
Giaùo vieân chaám thi 1&2
ÑIEÅM
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (9/8/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN
Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu
BOÄ MOÂN TOAÙN
ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: MATH 121201 Thôøi gian : 90 phuùt (9/8/2016) Ñeà thi goàm 3 trang Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-1000 (Noäp laïi ñeà naøy)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm)
2
(Choïn 1 trong caùc caâu A, B, C, D roài ñieàn vaøo BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM ôû trang 6) 2
8
x
3
yxu ,(
10
xy
)
,
.
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa
m
yxv ,( ) 5 y 5 x 8 y 6
Câu 1 Trong mặt phẳng phức cho các hàm số Khẳng định nào sau đây đúng? A) u điều hòa, v không điều hòa. B) u, v là các hàm điều hòa liên hợp. Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu a laø ñieåm baát thöôøng coâ laäp cuûa haøm f(z) vaø
,
(
az
)
)( zf
A
lim a z
lim zf )( z a
(vôùi
) thì a laø cöïc ñieåm caáp m cuûa haøm f(z).
A0
z
B)
laø cöïc ñieåm caáp 2 cuûa haøm
z
3 i
zf )(
e ( z
z 10 2)3 i
z
z
z
C)
D)
=
Re
s
3, i
= 2 i
3 iei (2
e ( z
10 z 2 )3 i
z 10 2)3 i
z 10 2)3 i
z
4
i
3
z
34
dz dz )10 e ( z e ( z
Caâu 3 Ñeå giaûi phöông trình tích phaân: y(t)=
ta laøm nhö sau:
te 5 -10
)( uy
cos
(3 t
) duu
t 0
te 5 -10y(t)*cos3t
Aùp duïng tích chaäp, phöông trình töông ñöông vôùi: y(t) = Ñaët Y = Y(p) = L y(t) vaø bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình ta ñöôïc
L y(t) = L [
te 5 ] -10 L [y(t)*cos3t]
Aùp duïng coâng thöùc Borel ta ñöôïc
Y =
-10Y
- 10L y(t) L cos3t Y =
1 p
5
1 p
5
p 2 p
9
2
Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc: Y =
)5
Phaân tích thaønh phaân thöùc ñôn giaûn: Y=
p 9 )(1 p )(9 B + 9p
( p A + 1p
p C (vôùi A, B, C = const maø chuùng ta chöa tìm) 5p t
9 t
5 t
Ae Be Ce
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm : y(t) = A) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. B) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
C) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
Câu 4 Giả sử L f(t) = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
T
pt f
( ) t dt
A)Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L f(t) =
Tp e
0
1
1 e
2π
pt
B)Neáu
cos
2 tdt
vaø f(t+2) = f(t) thì L f(t) =
p e 2
0
t
t
3
u
)
e
ch
udu 2
f u du ( )
C) L
D) L
p
pp ((
1 e 1 3 2 )3
)4
0 khi f t )( 0 t 2 khi t t 2 cos
0
( F p p
0
- 1 -
=
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 10.
te (3) )
y 8'
tu (
Caâu 5 Cho phöông trình vi phaân: y Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L y(t)
=
+10 (2)
pY 8 Y
Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc:
e p )(3 p
)8
(
p
(3) + Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y= 8
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
+
e p 3 p 10 p 1 5
(8
t
)
(3
t
+10 te8
e
)
e p 1 1 p 8 p 3 10 p 8
tu (
1 Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = e 5
C)Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. D)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai.
A)Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng. B)Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
Câu 6 Giả sử L f(t) = F(p), L g(t) = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai? A) L af(t) + bg(t) = aF(p) + bG(p)
3
t
B) L -1[aF(p) + bG(p)] = af(t) +bg(t) 10
4 et
D) L -1
C) L
4
2
9
8 t ch 8 t sh t 8[ t ]5sin p 10 2 p 8 64 !4 5 ( p )3 p 25
Caâu 7 Cho soá phöùc z =
+ e-9i . Khi ñoù:
i
i
A) Rez = 3 + cos9, Imz = 2-sin9 B) Rez = 3 + cos9, Imz = 2+sin9
8 2 p 10 3
Caâu 8 Trong maët phaúng phöùc cho caùc taäp hôïp ñieåm
:
z
i 62
E
3
z
z
:
F z
4 .
C) Rez =10 + cos9, Imz = -sin9 D) Rez = 3+ cos9, Imz = -2 – sin9 z
i , 3
Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Taäp E khoâng bò chaën. B) Taäp F laø taäp bò chaën.
C) Taäp F laø hình troøn ñoùng taâm 2-6i baùn kính baèng 4. D) Taäp E laø ñöôøng trung tröïc cuûa ñoaïn thaúng noái 3i vôùi 3.
Câu 9 Khẳng định nào sau đây sai?
:
z
z
zD
r
o
A) Nếu hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa vaø thoûa ñieàu kieän (C-R) trên hình tròn mở thì
hàm = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D .
= u(x,y) + iv(x,y) liên tục trên miền D khi và chỉ khi các hàm u(x,y), v(x,y) liên tục
)(zf B) Hàm phức
)(zf
trên miền D.
)(zf khaû vi trên miền D.
C) Nếu hàm u(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D. D) Nếu hàm phức = u(x,y) + iv(x,y) khoâng khả vi trên miền D thì các hàm u(x,y) và v(x,y) khoâng
Caâu 10 Haøm phöùc f(z) =
= u + iv coù phaàn thöïc vaø phaàn aûo laø:
z 2
8 z
z
A) u =
, v =
C) u =
, v =
2
2
2
2
2
2
2
2 9 y x x y x y y
B) u =
, v =
2
2
2
9 x x D) moät keát quaû khaùc 2 9 x 9 x 9 y 7 y x y y y x
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) Khai trieån Laurent haøm
quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp
.
pF (
)
1
2 pe
0p
- 2 -
2 z
Döïa vaøo keát quaû khai trieån tìm goác haøm aûnh
vaø tính tích phaân
.
I
)1
dz
( pF
)
e ( 5
iz
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
x
5'
y
3
vôùi ñieàu kieän x(0) = 0 vaø y(0) = 0
3
x
4' y
y
te
vôùi ñieàu kieän
vaø
Caâu 13 (2 ñieåm) a) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân y
7'8'' y
2
1)0('
)0(
0
y
y
y
)(ty
, biểu diễn
3sin t b) Chứng tỏ rằng sau khoảng thời gian t đủ lớn nghiệm của phương trình vi phân, xấp xỉ một dao động điều hòa theo thời gian t . Xác định biên độ dao động này.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi.
CHUAÅN ÑAÀU RA
Nội dung kiểm tra Töø caâu 1 ñeán caâu 10
Chuẩn đầu ra của học phần (về kiến thức) G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3 G1: 1.1, 1.2 G2: 2.1.3, 2.1.3, 2.1.4 , 2.4.3
Caâu 11: Khai trieån ñöôïc chuoãi Laurent, tính ñöôïc thaëng dö vaø aùp duïng tính tích phaân. Caâu 12, Caâu 13: Aùp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân roài öùng duïng vaøo ñôøi soáng.
Ngaøy 8 thaùng 8 naêm 2016 Thoâng qua Boä moân Toaùn
- 3 -
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN ÑEÀ THI CUOÁI KYØ HOÏC KYØ III NAÊM HOÏC 2015-2016 MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE
Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-1000 Giaùm thò 2 Giaùm thò 1
Giaùo vieân chaám thi 1&2
ÑIEÅM
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh (STT):........ Phoøng thi: ………… Thôøi gian : 90 phuùt (9/8/2016) Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
ÑAÙP AÙN MOÂN HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE (Ngaøy thi: 9/8/2016)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-1000
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
B
D
B
B
A
C
A
C
D
C
Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-0001
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
A
C
D
C
D
B
B
B
A
C
Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-0010
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
B
B
A
C
A
C
D
C
D
B
Maõ ñeà: 2016-0003-1008-0304-0011
Caâu hoûi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Traû lôøi
B
B
B
A
C
A
C
D
C
D
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
Ñieåm
Noäi dung
Caâu hoûi Caâu 11 1,5 ñieåm
Khai trieån Laurent
n
n
0,25ñ
Ta coù:
2 pe
n
=
=
2 )( p n !
n
0
n
0
n
2
3
=
2 pe
1
( pF
)
0
n
3
2
= =
2 pn !
n
1
2 p
2 2 ... p p !2 !3
Phần đều
Phần chính
0p
Vì phần chính có vô số số hạng nên
là điểm bất thường cốt yếu.
0,25ñ
2 pn !
- 1 -
n
Tìm goác cuûa
:
( pF
)
( pF
)
n
1)1
n (2
n
1
n
1
n
1
2 pn ! n )!1 )!1 n ( p nn (!
[1 pFL
1L
0,5ñ
)!1 n 1)1
2 nn (!
)!1
nn t 2 nn (!
)!1
n ( ( p
n
1
n
1
z
5 i
2 ze
1
)(zf
Tính tích phaân: Vì hàm số
giải tích trên \ 0 và đường tròn 0z
bao quanh điểm bất thường cô lập
nên áp dụng thặng dư ta được
2 z
=
2 i
2
4 i
= 2 i
I
)1
dz
2 zes
( )]
0,5ñ
e ( 5
iz
[Re ]0,1
Caâu12
1,5ñ
Ñaët
; bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:
X
Y,x
y
L
L
3
x L
5 y L y 4 L
3 te L
pX Y 5 3 p L L x y
L
0.5ñ
2
X
)5
3
1
5
Y
B p F
p p 3 8 pp ( p )(3 2 p p 3 p )(3
pp (
36 p )(1 9 p )(1
)5
A p E p
p
3
C p G p
1
D p H p
5
X ( p )4 Y 1 p 3
0.5ñ
1
1
1
x y
A [ B C D ] L x p 3 p 1 p 5
Bieán ñoåi ngöôïc hai veá ta ñöôïc: X [ ] L 1 ][ Y L
3
t
t
5
t
3
t
t
5
t
E [ F G H ] L y 1 1 1 1 1 1 1 p 1 p p 3 p 1 p 5
0.5ñ
Ax Ey
Be Fe
Ce Ge
De He
Tìm
, DCBA
,
,
dựa vào
B
D
3 2 p p 8 )(3 p
)(1
36 p
pp (
)5
A p
p
3
C p
1
p
5
2
2
,
,
A
B
)3(8
12 5
5 16
2
2
)5(3
36
,
C
D
03 36 08 )50)(10)(30( )1(8
)3(3 36 )53)(13)(3(
)5(8
)1(3 36 )51)(31)(1(
25 12
)15)(35(5
1 240
- 2 -
Tìm
, HGFE
,
,
dựa vào
2
F
p p 3 p )(3
9 p )(1
)5
E p
p
3
G p
1
H p
5
pp (
2
,
,
E
F
0 2
903 )50)(10)(30(
3 5
3 16
2
,
G
H
)1( 9)1(3 )51)(31)(1(
5 12
9)3(3 )3( )53)(13)(3( 52 953 )15)(35(5
1 240
Caâu 13
2ñ
Ñaët
=
. Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát
Y
( pY
)
)t(yL
tuyeán tính vaø tính chaát ñaïo haøm haøm goác ta ñöôïc:
0.5ñ
=
t3sin
2 Yp
8)0('
2 L
2
py )0( y pY y )0( 7 Y
1
2
3
2 p
9
p
3
2
pY ( 8 p )7
Y 2
0.25ñ
Phân tích thành phân thức đơn giản
3
2
18 p ( pp p 2 )(1 p p 12 )(7 p )9
0.25ñ
(*)
Y
Bieái ñoåi Laplace ngöôïc hai veá vaø aùp duïng tính chaát tuyeán tính ta ñöôïc
=
B
C
D
E
]
)(ty
1 AL [
2 B C 18 A p p 1 p 7 p ( pp p 2 )(1 p p 12 )(7 p )9 Dp 2 p E 3 9
2
2
1
1
p
3
1 p
p
1
p
7
9
p
9
p
t
7
t
][1 YL
A
Be
Ce
D
cos
Et 3
3sin t
)(ty
0.5ñ
Tìm
döïa vaøo ñaúng thöùc:
, EDCBA
,
,
,
3
2
(*)
3
2
3
2
2 B C 18 A p p 1 p 7 p ( pp p 2 )(1 p p 12 )(7 p )9 Dp 2 p E 3 9
,
A
3
2
0 )1( 18 B 02 0 2 2 7 7 60 12 0)(70)(10( 18 )9 )1(2 )((71)(1( 12 )1 )1( 2 )9
)7( 18 C 311 2436 )7(2 )((17)(7( 12 )7 )7( 2 )9
- 3 -
Từ đẳng thức (*)
p
:1
B
A 1
p
:2
33 160 A 2
7111 B 12
C C 72
3 65
D E 3 2 9 1 D 2 )2(
E 3 2 9
Cho Cho
Thay
A
,
B
,
C
vào hệ trên rồi giải tìm ED,
ta được
2 7
7 60
311 2436
D
,
E
6 145
3 290
Vậy nghiệm phương trình vi phân là
t
7
t
e
e
3cos t
3sin t
)(ty
2 7
7 60
311 2436
6 145
3 290
b)
t
7
t
A
Be
Ce
D
cos
Et 3
3sin t
)(ty
Cách giải tổng quát như sau:
t
Vì
(
Be
Ce
t 7 )
0
nên sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương
lim t
0.5ñ
trình vi phân
2
2
ty )(
DA
3cos
Et
3sin
At
D
E
(
t 3cos
t )3sin
D 2
2
D 2
2
D
E
D
E
sin
,
cos
Đặt
D 2
2
D 2
2
D
E
D
E
2
2
2
2
)(ty
Vậy sau khoảng thời gian t đủ lớn thì nghiệm phương trình vi phân,
, xấp
2
D
2 E
xỉ dao động điều hòa theo thời gian t có biên độ dao động
quanh
A
điểm cân bằng có tọa độ
.
yo
2 7
*** HEÁT***
ty )( A D E (sin t 3cos cos t )3sin A D E sin( t 3 )
- 4 -
![Bài giảng Hình học họa hình: Bài mở đầu - Giới thiệu [Chuẩn SEO]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250823/kimphuong1001/135x160/99131755935505.jpg)
