TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN, ĐHQG-HCM
ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN
Học kì II Năm học 2021–2022
MÃ LƯU TRỮ
(do Phòng KT-ĐBCL ghi)
Tên học phần: Giải tích hàm Mã HP: MTH10403
Thời gian làm bài: 90 phút Ngày thi: .../.../2021
Họvàtênsinhviên: ............................................... MSSV: .............
Ghi chú: Sinh viên được phép sử dụng tài liệu gồm giáo trình và tập viết của bản thân.
Câu 1 (2 điểm).Cho
X:={f:[0,1] → Rvới fliên tục từng khúc, liên tục phải tại mỗi x∈ [0,1]và liên tục tại 1}.
Định nghĩa
kfk1:=∫1
0|f(t)|dt,f∈X.
(a) Kiểm tra k · k1là một chuẩn trên X.
(b) Cho dãy
fn(x)=
0nếu 0≤x<1/2−1/n,
n
2x+1
2−n
4nếu 1
2−1
n≤x≤1
2+1
n,
1nếu 1/2+1/n≤x≤1,
với nlà số nguyên dương. Kiểm tra dãy {fn}n≥1hội tụ về hàm
f(x)=0nếu 0≤x<1/2,
1nếu 1/2≤x≤1,
theo chuẩn k · k1. Từ đó suy ra C([0,1],Rkhông đóng trong (X,k · k1.
Câu 2 (2 điểm).Cho q>2, đặt ánh xạ đồng nhất:
I:ℓ2→ℓq
x7→ Ix =x
(a) Kiểm tra Ilà ánh xạ tuyến tính, liên tục.
(b) Hãy tính chuẩn của ánh xạ I.
Câu 3 (3 điểm).Trong bài tập này chúng ta đi chứng minh định lý Banach-Steinhaus.
(a) Cho T:(X,k · kX) → (Y,k · kY)là ánh xạ tuyến tính bị chặn. Chứng minh rằng với mỗi x∈X
và r>0thì sup
z∈B(x,r)
kTzkY≥rkTk
ở đây B(x,r)={z∈X:kz−xkX<r}.
(b) Xét dãy ánh xạ tuyến tính bị chặn Tn:(X,k · kX) → (Y,k · kY)với n∈Z+. Biết rằng Xlà
không gian Banach và kTnk ≥ 4n. Chứng minh rằng tồn tại dãy {xn} ⊂ Xsao cho x0=0,
kxn−xn−1k ≤ 3−nvà kTnxnkY≥2
33−nkTnk.
(c) Chứng minh dãy {xn}trong câu (b)hội tụ về x∈Xvà {Tnx}n∈Z+không bị chặn trong Y.
Câu 4 (4 điểm).Cho Hlà một không gian Hilbert tách được và {en}n≥1là một dãy trực chuẩn
trên H. Cho T:H→Rlà ánh xạ tuyến tính bị chặn trên H, tồn tại M>0sao cho |T(u)| ≤ MkukH
với mọi u∈H. Đặt wk=T(ek)với k=1,2,...
(a) Chứng minh rằng với mọi m∈N
m
Õ
k=1
|wk|2≤M2,
từ đó chứng minh {wk}∞
k=1∈l2và w=Í∞
k=1wkek∈H.
(b) Chứng minh rằng T(u)=hu,wiHvới mọi u∈Hvà kTk=kwkH.
—————— Hết ——————
Người ra đề/MSCB: Bùi Lê Trọng Thanh/1433 . . . . . . . . . Người duyệt đề: .....................................
Chữ ký: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chữ ký: .............................................