Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0001
ÑEÀ THI MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: 1001060 Thôøi gian : 75 phuùt(27/12/2014) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (choïn 1 trong caùc caâu: A, B, C, D )
3
π6
z
=
2
2
2
2
2
2
i
e
),3
1(
i
i
e
i
e 1(2),3
i
1( +−
1( −−
+
+
−
Câu 1 Tập hợp nghiệm của phương trình là
D) B) ∅ C)
{ 2 ee ,2
})3
})3
{ e 1(2,2
})3
ìe 6 − 8 { 2 ee ,2
2015
=
ϕi 1
ϕi 2
A) Caâu 2 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phöông trình ez
e
e
2
k π
2
ie π− . r = ⎧ 1 ⎨ ϕϕ = ⎩ 1
n
[r(cos
isin
n)]
C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 , z2 = r2 . Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ voâ nghieäm. r 2 ±
ϕ =
ϕm
r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
D)
Caâu 3 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?
5 ze
6 + z
A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maët
coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúng phaúng phöùc. B) Haøm f(z) =
5
5
z
z
6
e
6
e
+
+
e
e
=
2 i π
5 )56( +
=
2 i π
5 )56( +
phöùc.
∫
∫
z
z
−
−
2
6
=
z (
dz 2 ) 1
z (
dz 2 ) 1
4
i
z
z
+
2 i =−
D) C)
Câu 4 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa
điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
B) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.
C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng
liên tục tại (xo,yo).
z
e 4−
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D.
π 8
Caâu 5 AÛnh cuûa ñöôøng thaúng y = qua pheùp bieán hình w = = u +iv laø
C) tia argw = π/2. D) ñöôøng thaúng v = 0. A) ñöôøng thaúng u = 0. B) tia argw = -π/2.
n
−
=
)z(f
)a
trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïng
] [ a),z(fsRe
−= 1a
z(a n
n
- 1 -
thì Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu khai ∞+ ∑ −∞=
n
cos
s
z
i
i
Re
(
)
cos
,
+
−
2
n
1 −
1 )!2( n
i
z
1 2
i
1 +
1 z +
i
z
+
⎡ ⎢⎣
⎤ −=⎥⎦
1 )
(
∞ −∑ )1( 0 n = 3
4
2
2 ze
3z
2
2
z
z
...
+
+
+
+
neân thaëng dö . B) Haøm f(z)=(z+i) =
=
3z +
2 !3
2 z
2 z
2 z
=
=
3 ez
dz
3 ez
dz
iπ2
Re
0,
C) f(z) = vaø z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).
∫
4π 3
z
z
31
31 =−
=−
!4. 2 ⎡ 3 zezs ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
π−te
D) ∫
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 27.
Caâu 7 Cho phöông trình vi phaân: y’-2y = u(t-π) Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e pπ − 1− p
+
(3)
Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-2Y = + 27 (2)
e pπ − )(1 p
(
p
)2
2
−
−
e pπ −
−
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
p
p
2
1
2
1 −
1 −
27 p −
t
(2
t
π − )
27
⎞ +⎟⎟ ⎠ 2 e
−
) π
+
27 p − ⎛ ⎜⎜ ⎝ ) π − − t e ( tu
Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = ( e A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
2
2
8
3
3
y
y
x
xy
8
x
v
−
−
B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai.
+
D) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai. u = 6 = . Khẳng định nào sau ,
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Câu 8 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số đây đúng? A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp B) u điều hòa, v không điều hòa.
t
)
f u du ( )
=
Câu 9 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
∫
( F p p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p) B) L
−∫Tp e
0
1
1 − − e
2π
0
khi
0
pt
4sin
tdt
f
t )(
=
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
khi
t << t <<
π 2 π
π
∫ − p e 2 π
0
⎧ ⎨ t 4sin ⎩
1
1 −− e
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
2
t
sh
2[
t ]3
+
+
=
+
+
Câu 10 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?
2
2 p
2 3 p
9
p
p −
2
t
e
cos
6 t
2
2
− te 2
t *sin 2
=
A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L
2
p
40
2 p − p 4 − +
⎡ ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
4 2)(
(
p
p
4)
+
+
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
D) L -1 C) L -1
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , vôùi y(0) = 0, y’(0) = 0
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
- 2 -
x
y
3' +
=
x
sin2 t te
y
2' y ++
=
⎧ ⎨ ⎩
, vôùi ñieàu kieän x(0) = 0, y(0) = 0
f
t )(
tu (
cos(
t
cos
=
−
) π
−
) π
+
Caâu 13 (2 ñieåm)
udu 5
t e u 2 ∫ − 0
)( uy
cos(
a) Tìm aûnh cuûa haøm goác: 5t2 sint +
t ∫ 0
b) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e5t+2 duut ) −
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 25 thaùng 12 naêm 2014
- 3 -
Boä moân duyeät
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN MOÂN THI: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0001 Giaùm thò 1: Giaùm thò 2:
Giaùo vieân chaám thi 1&2
ÑIEÅM
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh(STT):........ Phoøng thi : …………. Ngaøy thi: 27/12/2014 Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi 1 3 7 2 4 5 6 8 9 10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0010
ÑEÀ THI MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: 1001060 Thôøi gian : 75 phuùt(27/12/2014) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
2
2
u
8
3
3
x
y
y
xy
8
6
x
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (choïn 1 trong caùc caâu: A, B, C, D ) = v
−
−
=
+
, . Khẳng định nào sau
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa Câu 1 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số đây đúng? A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp B) u điều hòa, v không điều hòa.
t
)
f u du ( )
=
Câu 2 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
∫
F p ( p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p) B) L
−∫Tp e
0
1
1 − − e
2π
0
khi
0
pt
4sin
tdt
f
t )(
=
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
khi
π 2 π
π
t << t <<
∫ − p e 2 π
0
⎧ ⎨ t 4sin ⎩
1
1 −− e
3
π6
=
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
2
2
2
2
2
2
2 ee ,2
2 ee ,2
),3
1(
e
i
i
i
e 1(2,2
e
i
e 1(2),3
i
1( +−
1( −−
+
+
−
ìe 6 − 8 z B) ∅ C) {
là
D){
})3
})3
})3
2015
=
ϕi 1
ϕi 2
Câu 3 Tập hợp nghiệm của phương trình A) { Caâu 4 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phöông trình ez
e
e
2
k π
2
ie π− . r = ⎧ 1 ⎨ ϕϕ = ⎩ 1
n
[r(cos
isin
n)]
C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 , z2 = r2 . Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ voâ nghieäm. r 2 ±
ϕ =
ϕm
r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
D)
Caâu 5 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?
5 ze
6 + z
A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maët
coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúng phaúng phöùc. B) Haøm f(z) =
5
5
z
z
6
e
6
e
+
+
e
e
=
2 i π
5 )56( +
=
2 i π
5 )56( +
phöùc.
∫
∫
z
z
−
−
2
6
=
z (
dz 2 ) 1
z (
dz 2 ) 1
4
i
z
z
+
2 i =−
C) D)
Câu 6 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa
điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
- 1 -
B) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.
C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng
liên tục tại (xo,yo).
z
e 4−
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D.
π 8
Caâu 7 AÛnh cuûa ñöôøng thaúng y = qua pheùp bieán hình w = = u +iv laø
C) tia argw = π/2. D) ñöôøng thaúng v = 0. A) ñöôøng thaúng u = 0. B) tia argw = -π/2.
n
−
=
)z(f
)a
trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïng
] [ a),z(fsRe
−= 1a
z(a n
n
n
s
z
i
i
Re
(
)
cos
,
cos
+
−
thì Caâu 8 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu khai ∞+ ∑ −∞=
n
2
1 −
i
z
1 2
1 +
1 n )!2(
i
1 z +
z
+
⎡ ⎢⎣
⎤ −=⎥⎦
1 ) i
(
∞ −∑ )1( n 0 = 3
4
2
2 ze
3z
2
2
z
z
...
+
+
+
+
= neân thaëng dö . B) Haøm f(z)=(z+i)
=
3z +
2 !3
2 z
2 z
2 z
=
=
3 ez
dz
3 ez
dz
iπ2
Re
0,
C) f(z) = vaø z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).
∫
4π 3
z
z
31
31 =−
=−
⎤ =⎥ ⎦
!4. 2 ⎡ 3 zezs ⎢ ⎣
π−te
D) ∫
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 27.
Caâu 9 Cho phöông trình vi phaân: y’-2y = u(t-π) Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e pπ − 1− p
+
(3)
Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-2Y = + 27 (2)
e pπ − )(1 p
(
p
)2
2
−
−
e pπ −
−
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
p
p
2
1
2
1 −
1 −
27 p −
t
(2
t
π − )
27
⎞ +⎟⎟ ⎠ 2 e
−
) π
+
27 p − ⎛ ⎜⎜ ⎝ ) π − − t e ( tu
Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = ( e A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. D) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.
2
2[
t
sh
t ]3
+
+
=
+
+
Câu 10 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?
2
2 p
2 3 p
9
p
p −
2
t
e
cos
6 t
2
2
− te 2
t *sin 2
=
A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L
2
p
40
2 p − p 4 − +
⎡ ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
4 2)(
(
p
p
4)
+
+
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
D) L -1 C) L -1
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , vôùi y(0) = 0, y’(0) = 0
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
x
y
3' +
=
x
sin2 t te
y
2' y ++
=
⎧ ⎨ ⎩
- 2 -
, vôùi ñieàu kieän x(0) = 0, y(0) = 0
f
t )(
tu (
cos(
t
=
−
) π
−
) π
+
cos
Caâu 13 (2 ñieåm)
udu 5
t e u 2 ∫ − 0
)( uy
cos(
5t2 sint + a) Tìm aûnh cuûa haøm goác:
t ∫ 0
b) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e5t+2 duut ) −
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 25 thaùng 12 naêm 2014
- 3 -
Boä moân duyeät
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN MOÂN THI: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0010 Giaùm thò 1: Giaùm thò 2:
Giaùo vieân chaám thi 1&2
ÑIEÅM
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh(STT):........ Phoøng thi : …………. Ngaøy thi: 27/12/2014 Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi 1 3 7 2 4 5 6 8 9 10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0011
ÑEÀ THI MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: 1001060 Thôøi gian : 75 phuùt(27/12/2014) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (choïn 1 trong caùc caâu: A, B, C, D )
z
e 4−
π 8
Caâu 1 AÛnh cuûa ñöôøng thaúng y = qua pheùp bieán hình w = = u +iv laø
C) tia argw = π/2. D) ñöôøng thaúng v = 0. A) ñöôøng thaúng u = 0. B) tia argw = -π/2.
2
2[
t
sh
]3 t
+
+
=
+
+
Câu 2 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?
2
2 p
2 3 p
9
p
p −
2
t
e
cos
6 t
2
2
te 2 −
*sin 2 t
=
A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L
2
p
40
2 p − p 4 − +
⎤ =⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
(
4)
4 2)(
p
p
+
+
⎡ ⎢ ⎣
2
2
u
3
x
3
y
8
y
v
6
xy
8
x
=
−
−
=
+
D) L -1 C) L -1
, . Khẳng định nào sau
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa
⎤ ⎥ ⎦ Câu 3 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số đây đúng? A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp B) u điều hòa, v không điều hòa.
t
)
f u du ( )
=
Câu 4 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
∫
F p ( p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p) B) L
−∫Tp e
0
1
1 − − e
2π
0
khi
0
pt
4sin
tdt
f
t )(
=
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
khi
π 2 π
π
t << t <<
∫ − p e 2 π
0
⎧ ⎨ t 4sin ⎩
1
1 −− e
3
π6
=
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
2
2
2
2
2
2
2 ee ,2
2 ee ,2
),3
1(
e
e
i
i
i
e 1(2,2
i
e 1(2),3
i
1( +−
1( −−
+
+
−
ìe 6 − 8 z B) ∅ C) {
là
D){
})3
})3
})3
2015
=
ϕi 1
ϕi 2
Câu 5 Tập hợp nghiệm của phương trình A) { Caâu 6 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phöông trình ez
e
e
2
k π
2
ie π− . r = ⎧ 1 ⎨ ϕϕ = ⎩ 1
n
[r(cos
isin
n)]
C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 , z2 = r2 . Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ voâ nghieäm. r 2 ±
ϕ =
ϕm
r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
D)
Caâu 7 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?
5 ze
6 + z
A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maët
coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúng phaúng phöùc. B) Haøm f(z) =
- 1 -
phöùc.
5
5
z
z
6
e
6
e
+
+
e
e
=
2 i π
5 )56( +
=
2 i π
5 )56( +
∫
∫
z
z
−
−
2
6
=
z (
dz 2 ) 1
z (
dz 2 ) 1
4
i
z
z
+
2 i =−
C) D)
Câu 8 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa
điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
B) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.
C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng
liên tục tại (xo,yo).
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D.
n
−
=
)z(f
)a
trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïng
] [ a),z(fsRe
−= 1a
z(a n
n
n
Re
s
(
z
i
)
cos
,
i
cos
+
−
thì Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu khai ∞+ ∑ −∞=
2
n
1 −
i
z
1 2
1 +
1 )!2( n
i
1 z +
i
z
+
⎡ ⎢⎣
⎤ −=⎥⎦
1 )
(
∞ −∑ )1( 0 n = 3
4
2
2 ze
3z
z
z
...
2
2
+
+
+
+
= neân thaëng dö . B) Haøm f(z)=(z+i)
=
3z +
2 !3
2 z
2 z
2 z
=
=
3 ez
dz
3 ez
dz
iπ2
Re
0,
C) f(z) = vaø z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).
∫
4π 3
z
z
31
31 =−
=−
!4. 2 ⎡ 3 zezs ⎢ ⎣
⎤ =⎥ ⎦
π−te
D) ∫
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 27.
Caâu 10 Cho phöông trình vi phaân: y’-2y = u(t-π) Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e pπ − 1− p
+
(3)
Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-2Y = + 27 (2)
e pπ − )(1 p
(
p
)2
2
−
−
e pπ −
−
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
p
p
2
1
2
1 −
1 −
27 p −
t
(2
t
π ) −
27
⎞ +⎟⎟ ⎠ 2 e
−
) π
+
27 p − ⎛ ⎜⎜ ⎝ ) π t − − e ( tu
Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = ( e A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. D) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , vôùi y(0) = 0, y’(0) = 0
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
x
y
3' +
=
x
sin2 t te
y
2' y ++
=
⎧ ⎨ ⎩
, vôùi ñieàu kieän x(0) = 0, y(0) = 0
- 2 -
Caâu 13 (2 ñieåm)
f
t )(
tu (
cos(
t
cos
=
−
) π
−
) π
+
udu 5
t e u 2 ∫ − 0
)( uy
cos(
a) Tìm aûnh cuûa haøm goác: 5t2 sint +
t ∫ 0
b) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e5t+2 duut ) −
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 25 thaùng 12 naêm 2014
- 3 -
Boä moân duyeät
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN MOÂN THI: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0011 Giaùm thò 1: Giaùm thò 2:
Giaùo vieân chaám thi 1&2
ÑIEÅM
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh(STT):........ Phoøng thi : …………. Ngaøy thi: 27/12/2014 Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi 1 3 7 2 4 5 6 8 9 10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
Tröôøng ÑH Sö phaïm Kyõ thuaät Tp.HCM KHOA KHOA HOÏC CÔ BAÛN BOÄ MOÂN TOAÙN
aõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0000
ÑEÀ THI MOÂN: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ moân hoïc: 1001060 Thôøi gian : 75 phuùt(27/12/2014) Ñeà thi goàm 3 trang Ñöôïc pheùp söû duïng taøi lieäu M
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM LÖÏA CHOÏN (5,0 ñieåm) (choïn 1 trong caùc caâu: A, B, C, D )
Câu 1 Khẳng định nào sau đây sai?
A) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) khả vi tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y) và v(x,y) thỏa
điều kiện Cauchy – Reimann tại (xo,yo).
B) Nếu hàm v(x,y) không điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y)+iv(x,y) không giải tích trên D.
C) Nếu hàm phức f(z) = u(x,y) + iv(x,y) liên tục tại điểm z = xo+iyo thì các hàm u(x,y), v(x,y) cũng
liên tục tại (xo,yo).
z
e 4−
D) Nếu các hàm u(x,y) và v(x,y) điều hòa trên miền D thì f(z) = u(x,y) + iv(x,y) giải tích trên D.
π 8
Caâu 2 AÛnh cuûa ñöôøng thaúng y = qua pheùp bieán hình w = = u +iv laø
π−te
C) tia argw = π/2. D) ñöôøng thaúng v = 0. A) ñöôøng thaúng u = 0. B) tia argw = -π/2.
(1) vôùi ñieàu kieän ban ñaàu y(0) = 27.
Caâu 3 Cho phöông trình vi phaân: y’-2y = u(t-π) Ñeå giaûi phöông trình vi phaân naøy ta laøm nhö sau: Ñaët Y = Y(p)= L [y(t)]
e pπ − 1− p
+
(3)
Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình (1 ) ta ñöôïc: pY-2Y = + 27 (2)
e pπ − )(1 p
(
p
)2
2
−
−
e pπ −
−
Phaân tích veá phaûi cuûa (3) thaønh phaân thöùc ñôn giaûn ta ñöôïc: Y =
p
p
2
1
2
1 −
1 −
27 p −
t
(2
t
) π −
27
⎞ +⎟⎟ ⎠ 2 e
−
) π
+
27 p − ⎛ ⎜⎜ ⎝ ) t π − − e ( tu
Giaûi phöông trình (2) vôùi Y laø aån ta ñöôïc : Y=
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm: y = ( e A) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn sai, keát quaû sai. C) Caùch laøm ñuùng, tính toaùn ñuùng, keát quaû ñuùng.
B) Caùch laøm sai, tính toaùn ñuùng, keát quaû sai. D) Caùch laøm sai, tính toaùn sai, keát quaû sai.
2
2[
t
sh
t ]3
+
+
=
+
+
Câu 4 Giả sử L [f(t)] = F(p), L [g(t)] = G(p) và a, b là các hằng số. Khẳng định nào sau đây sai?
2
2 p
2 3 p
9
p
p −
2
t
e
cos
6 t
2
te 2 −
2
t *sin 2
=
A) L[af(t) + bg(t)] = aF(p) + bG(p) B) L
2
p
40
2 p − p 4 − +
⎤ =⎥ ⎦
⎡ ⎢ ⎣
p
p
(
4)
4 2)(
+
+
⎡ ⎢ ⎣
2
2
u
3
x
3
y
8
y
v
6
xy
8
x
=
−
−
=
+
D) L -1 C) L -1
, . Khẳng định nào sau
C) u, v điều hòa nhưng không là các hàm điều hòa liên hợp. D) v điều hòa, u không điều hòa
⎤ ⎥ ⎦ Câu 5 Trong mặt phẳng phức, cho các hàm số đây đúng? A) u, v là các hàm điều hòa liên hợp B) u điều hòa, v không điều hòa.
- 1 -
t
)
f u du ( )
=
Câu 6 Giả sử L [f(t)] = F(p). Khẳng định nào sau đây sai?
∫
( F p p
0
⎡ ⎢ ⎣
⎤ ⎥ ⎦
T
pt f
( ) t dt
A) L[f(t-a)u(t-a)] = e-apF(p) B) L
−∫Tp e
0
1
1 − − e
2π
0
khi
0
pt
4sin
tdt
f
t )(
=
C) Neáu f(t) laø haøm goác tuaàn hoaøn vôùi chu kyø T thì L [f(t)] =
khi
t << t <<
π 2 π
π
∫ − p e 2 π
0
⎧ ⎨ t 4sin ⎩
1
1 −− e
3
π6
=
D) Neáu vaø f(t+2π) = f(t) thì L [f(t)] =
2
2
2
2
2
2
2 ee ,2
2 ee ,2
),3
1(
e
i
i
i
e 1(2,2
e
i
e 1(2),3
i
1( −−
1( +−
+
+
−
ìe 6 − 8 z B) ∅ C) {
là
D){
})3
})3
})3
2015
=
ϕi 1
ϕi 2
Câu 7 Tập hợp nghiệm của phương trình A) { Caâu 8 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) (cosϕ ± isinϕ)n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z. B) Phöông trình ez
e
e
2
k π
2
ie π− . r = ⎧ 1 ⎨ ϕϕ = ⎩ 1
n
[r(cos
isin
n)]
C) Cho hai soá phöùc khaùc 0 laø z1 = r1 , z2 = r2 . Khi ñoù : z1 = z2 ⇔ voâ nghieäm. r 2 ±
ϕ =
ϕm
r (cosnϕ m i sinnϕ) , ∀n∈Z.
D)
Caâu 9 Khaúng ñònh naøo sao ñaây sai?
5 ze
6 + z
A) Haøm f(z) coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc khi vaø chæ khi f(z) giaûi tích trong toaøn maët
coù ñaïo haøm treân toaøn maët phaúng phöùc neân giaûi tích treân toaøn maët phaúng phaúng phöùc. B) Haøm f(z) =
5
5
z
z
6
e
6
e
+
+
e
e
=
2 i π
5 )56( +
=
2 i π
5 )56( +
phöùc.
∫
∫
z
z
−
−
2
6
=
z (
dz 2 ) 1
z (
dz 2 ) 1
4
i
z
z
+
2 i =−
C) D)
n
−
=
)z(f
)a
trieåm Laurent haøm f(z) quanh ñieåm baát thöôøng coâ laäp a coù daïng
] [ a),z(fsRe
−= 1a
z(a n
n
n
Re
(
)
cos
,
s
z
i
i
+
−
cos
thì Caâu 10 Khaúng ñònh naøo sau ñaây sai? A) Neáu khai ∞+ ∑ −∞=
2
n
1 −
1 2
i
z
1 )!2( n
1 +
i
1 z +
i
z
+
⎤ −=⎥⎦
⎡ ⎢⎣
1 )
(
∞ −∑ )1( 0 n = 3
4
2
2 ze
3z
2
z
2
z
...
+
+
+
+
= neân thaëng dö . B) Haøm f(z)=(z+i)
=
3z +
2 !3
2 z
2 z
2 z
=
=
3 ez
dz
3 ez
dz
iπ2
Re
0,
C) f(z) = vaø z = 0 laø ñieåm baát thöôøng coát yeáu cuûa f(z).
∫
4π 3
z
z
31
31 =−
=−
⎤ =⎥ ⎦
!4. 2 ⎡ 3 zezs ⎢ ⎣
D) ∫
PHẦN TỰ LUẬN (5,0 điểm)
Caâu 11 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình vi phaân
y’’ - 6y’ + 25y = e-3t - e2t , vôùi y(0) = 0, y’(0) = 0
Caâu 12 (1,5 ñieåm) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi heä phöông trình vi phaân
x
y
3' +
=
x
t sin2 te
y
y 2' ++
=
⎧ ⎨ ⎩
- 2 -
, vôùi ñieàu kieän x(0) = 0, y(0) = 0
f
t )(
tu (
cos(
t
=
−
) π
−
) π
+
cos
Caâu 13 (2 ñieåm)
udu 5
t e u 2 ∫ − 0
)( uy
cos(
5t2 sint + a) Tìm aûnh cuûa haøm goác:
t ∫ 0
b) AÙp duïng pheùp bieán ñoåi Laplace giaûi phöông trình tích phaân: y(t)= e5t+2 duut ) −
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (cid:63) Ghi chuù : Caùn boä coi thi khoâng ñöôïc giaûi thích ñeà thi. Ngaøy 25 thaùng 12 naêm 2014
- 3 -
Boä moân duyeät
- 4 -
- 5 -
TRÖÔØNG ÑH SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT TP.HCM BOÄ MOÂN TOAÙN MOÂN THI: HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE Maõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0000 Giaùm thò 1: Giaùm thò 2:
Giaùo vieân chaám thi 1&2
ÑIEÅM
Hoï, teân sinh vieân: ..................................... Maõ soá sinh vieân:................................ Soá baùo danh(STT):........ Phoøng thi : …………. Ngaøy thi: 27/12/2014 Löu yù: Sinh vieân laøm baøi thi laàn löôït treân trang 6, 5, 4,3. Ñoái vôùi caùc heä phöông trình ñaïi soá tuyeán tính thì chæ caàn ghi keát quaû vaøo baøi laøm maø khoâng caàn trình baøy caùch giaûi. Sinh vieân noäp laïi ñeà thi cuøng vôùi baøi laøm.
BAØI LAØM PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Caâu hoûi 1 3 7 2 4 5 6 8 9 10
Traû lôøi
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
- 6 -
ÑAÙP AÙN MOÂN HAØM BIEÁN PHÖÙC VAØ PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE (Ngaøy thi: 27/12/2014)
PHAÀN TRAÉC NGHIEÄM
Maõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0000
Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Maõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-001
Traû lôøi D B C B A D A B C D
Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Maõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0010
Traû lôøi A B C D B D C A D B
Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Maõ ñeà: 0010.0111-0001-0010-2014-0011
Traû lôøi A D A B C D B D C B
Caâu hoûi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Traû lôøi B B A D A B C D D C
BAØI LAØM PHAÀN TÖÏ LUAÄN
)
( pY
Y =
Ñieåm Noäi dung
])t(yL [
Caâu hoûi Caâu 11 1,5ñ . Bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát =
t
2
25 Y
)0(
py
y
y
+
−
−
−
0.5ñ
( 6)0(' −
)
=
]t
2
pY (
)25
6
p
−
⇔=
−
+
2
3
p
)0( 1 −
⇔ =Y
+
+
Ñaët tuyeán tính vaø tính chaát ñaïo haøm haøm goác ta ñöôïc: [ 3 −−L 2 e Yp pY e 1 +
p
A 2−p
B 3+
p 5 − )[(3
(
p
)(2
p
p
)3
]16
−
+
−
2 +
pC D 4)3 ( − + 2 + ( 16 p )3 −
=
=)(ty
D
B
C
]
+
+
+
Bieái ñoåi Laplace ngöôïc hai veá vaø aùp duïng tính chaát tuyeán tính ta ñöôïc
][1 Y−L
1 − AL [
2
p
p
3
1 +
1 −
p
p
(
16
(
16
4 )3
p − 2 )3 −
−
+
2 3 t
3
t
2
t
3
t
−
cos
3 + 3 3 e t
De
t 4sin
t 4sin
t 4
Ae
Be
+
=)(ty
+
,
⇔ Tìm
=
(*) =
+
+
p
A 2−p
B 3+
(
p
]16
)3
p
)(2
−
2 +
−
+
=
0.5ñ 0.5ñ
1 52
]16
)32)[(32(
]16
2 +
Ce + + döïa vaøo ñaúng thöùc: DCBA , , 5 − p )[(3 5 − −
2 +
+
pC D ( 4)3 − + 2 + ( 16 p )3 − 5 − )33 −− D 4
+
0=p
+
=
=A , =B =
)[(23( −− C + 3 − 25
A 2−
A
3=p
+
Töø (*) cho ñöôïc:
1− 17 5 × 25 6 5− 96
B 3 DB + 6 4
1
Töø (*) cho ñöôïc: = .
=D
35 884
25 1768
Suy ra =C ,
=
=
X
Caâu 12 1.5ñ
[ ] Y,x
[ ]y
L
L
3 Y
pX
=
+
x
=
p
⇔
[ sin =
[ L [ ] x
[ ] 3 y L [ ] +′ 2 y
2 L [ ] y
] +′ + L
L
L
] t [ te
Ñaët ; bieán ñoåi Laplace hai veá ta ñöôïc:
]
⎧ ⎨ L ⎩
)2
(
Y
p
X
=
+
+
1
p
2 2 1 + 1 −
2
B
=
=
X
+
+
3
(
)1
−
+
p
⇔
'
'
B
=
=
+
+
2
3
C + p ' C p +
(
− p 2 ()1 3 p 2 ()1
)1
p
Dp 2 p ' p
−
2 7 − + p 2 )(3 + p p 2 p +− )(3 p p +
+
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ )1 ( +− pA 2 )1 ( − p )1 (' pA +− 2 )1 ( p −
E + 1 + EpD + 2 1 +
⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ Y ⎪ ⎩
− 1
A
B
C
D
E
[
]
+
+
+
+
x
=
L
1 −
2
x
=
p
1
3
p
p
p
(
)1
1
1
− 1
y
=
X [ ] L ⇔ 1 − ][ Y L
⎧ ⎨ ⎩
B
C
D
E
A '
[
'
'
'
'
]
+
+
+
+
L
y
=
2
p
p
1
3
1 p − 1 −
1 + 1 +
p
p
p
(
)1
1
1
1 − 1 −
p 2 + p 2 +
1 2 + 1 2 +
t
t
t
3 −
x
⇔
3
t
t
−
Ce ' eC
D D
cos cos '
sin t sin'
t
+ +
+ +
Ae = t ' eAy =
Et + Et +
,
,
,
BA ,
EDC
Bieán ñoåi ngöôïc hai veá ta ñöôïc: ⎧ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ Bte + ' teB +
B
=
+
+
p
3
C +
p
(
)1
Dp 2 p
E 1
p 7 2 + − 2 )(3 p p +
−
0.5ñ 0.5ñ 0.5ñ
+
+ +
2
−−
=B
−=
=
dựa vào pA )1 ( +− 2 ( p )1 −
3− 4
1 16
⎧ ⎨ ⎩ ♦ Tìm 2 p − 2 ()1 2 1 712 − −×+ 2 1)(31( )1 + +
pCho
:0
E
=
BA ++−=
+
2
pCho
:2
BA
=
=
++
+
732 )3( −×+ 2 )19()13( −− + C 3 C 5
3
D
−
:2
C
−=
=
+
+
BA + 9
7 − 3 7 − 25 1 − 3
ED + 5 E 2 − 5
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ pCho ⎪ ⎩
=
−=C
=A
, =C
3− 4
1 16
69 80
=E
=D
Thay B , vaøo heä treân vaø söû duïng maùy tính casio giaûi ñöôïc ,
3− 5
,'
,'
,'
,'
'
EDCBA
3
B
'
'
=
+
+
2
3
C ' p +
p
)1
(
7− 10 ♦ Töông töï, chuùng ta tìm p pA 2 (' +− )(3 p p p ( +
−
+
,
)1 +− 2 )1 − 3
=B '
=
=C '
=
dựa vào EpD ' + 2 1 p +
1 4
11 20
)1
p 2 ()1 3 21 1 +− 2 1)(31( + +
)3( − )((13( −−
2)3( +−− 2 )1 )3 − +
2
,
'
pCho
E
:0
'
'
=
BA ' ++−=
+
'
pCho
:2
=
=
BA ' ' ++
+
C 3 C ' 5 '
−
:2
−=
=
C ' ++
BA '3 + 9
ED '2 + 5 DE '2' − 5
2 3 8 25 4 − 45
⎧ ⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎪ ⎪ pCho ⎪ ⎩
'B
' =C
='A ,
='D ,
1 = , 4
11 20
='E
'
vaøo heä treân vaø söû duïng maùy tính casio giaûi ñöôïc Thay
2− e t
cos
5 t
2
1 + . p
(
p 2 2 +p )1
1
p 2 +p
2
.
Caâu 13 1ñ + 5 ] πpe − L [ a)L [f(t)] =
3
⎞ ⎟⎟ ⎠ 1 p
1
25
(
p
p 2 +p
p 2 + 2 + )2 +
⎛ ⎜⎜ ⎝ p 31 − 2 )1 p ( +
= πpe − + 10 + 0.5ñ 0.5ñ
)( ty
e
cos
t
t 5 +
=
b) Aùp duïng tích chaäp, phöông trình ñöôïc vieát laïi *)(2 ty
Ñaët Y = Y(p) = L [y(t)] bieán ñoåi Laplace hai veá phöông trình, aùp duïng tính chaát tuyeán tính vaø ñònh lyù Borel ta ñöôïc
5
5
1 −p
1 −p
1
p 2 +p
2
+
=
Y = +2Y + 2L [y(t)] L [cost] ⇔ Y =
2
p
5
A −
p )(5
+ p
)1
p
(
1 −
−
1 −
)(ty
C
B
]
[
+
+
Y = Giaûi phöông trình vôùi Y laø aån ta ñöôïc pB C )1 ( +− 2)1 p ( −
][1 Y−L
L
2
p
5
1
1 −
p
)1
(
1 −
tAe 5
+
Be +
=
= =
, CBA , 2
C
=
+
2
p
5
A −
+ p
)1
p
(
1 −
−
p t Cte döïa vaøo ñaúng thöùc pB )1 ( +− 2)1 p ( −
=A
=C
=B
Bieán ñoåi Laplace ngöôïc hai veá ta ñöôïc nghieäm A − t
⇔ )(ty Tìm p )(5 13 8
1− 2
5− 8
, ,
3
0.5ñ 0.5ñ
![Bài tập Đại số tuyến tính [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250930/dkieu2177@gmail.com/135x160/79831759288818.jpg)
