Chương 3
KHÔNG GIAN VÉC TƠ Rn
KHOA TOÁN - TIN
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
2025
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1142-CHƯƠNG 3 1/29 2025 1/29
Chương 3: KHÔNG GIAN vectơ Rn
Chương 3 giới thiệu cho các bạn sinh viên về một dạng cấu trúc đại số rất phổ biến là không
gian vectơ, một tập hợp với 2 phép toán cộng và nhân ngoài với "đủ tốt" xung quanh chúng
ta như các ma trận, đa thức, hàm số,....
Nội dung Chương 3 bao gồm:
1. Không gian vectơ Rn
2. Không gian vectơ con
3. Hệ vectơ
4. Cơ sở và tọa độ
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1142-CHƯƠNG 3 2/29 2025 2/29
1. KHÔNG GIAN vectơ Rn
Không gian véc có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý,
khoa học máy tính và kỹ thuật. Dưới đây là một vài các ứng dụng của không gian vectơ:
Ứng dụng
-Trong ngành điều khiển tự động và robot, không gian vectơ được sử dụng để mô tả các
trạng thái và hành động của robot, thiết lập các khái niệm như không gian trạng thái và
không gian hành động.
-Xử lý ảnh và âm thanh: Trong xử lý ảnh và âm thanh, không gian vectơ được sử dụng để
biểu diễn dữ liệu như hình ảnh và tín hiệu âm thanh. Các phép toán trong không gian
vectơ giúp xử lý, nén và trích xuất thông tin từ dữ liệu này.
-Máy học và học máy: Trong các thuật toán máy học và học máy, không gian vectơ
thường được sử dụng để biểu diễn dữ liệu đầu vào và các mô hình học máy. vectơ đặc
trưng của dữ liệu thường được sử dụng để huấn luyện các mô hình dự đoán và phân loại.
-Mật mã học: Trong mật mã học, không gian vectơ được sử dụng để biểu diễn các khái
niệm như không gian khóa và không gian văn bản mã hóa.
-Kinh tế học: Trong lý thuyết kinh tế và tài chính, không gian vectơ có thể được sử dụng
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1142-CHƯƠNG 3 3/29 2025 3/29
Khái niệm không gian vectơ
Mục tiêu
-Kiến thức: Sinh viên hiểu các khái niệm của không gian vectơ, mô hình toán học trong
thực tế.
-Kĩ năng: Thao tác kiểm tra khái niệm của các đối tượng là không gian vectơ
Các nội dung chính gồm:
1.1 Định nghĩa không gian vectơ
1.2 Tính chất
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1142-CHƯƠNG 3 4/29 2025 4/29
1.1. Định nghĩa không gian vectơ Rn
Cho tập hợp Rn={(x1,x2,...,xn)|xi∈R, i = 1,2,...,n}; mỗi phần tử của Rngọi là một
vectơ. Trên Rn, trang bị hai phép toán
(i) Phép cộng vectơ "+":
(x1,x2,...,xn) + (y1,y2,...,yn) = (x1+y1,x2+y2,...,xn+yn);
(ii) Phép nhân vectơ với vô hướng "·":
α·(x1,x2,...,xn) = (αx1,αx2,...,αxn).
Khi đó (Rn,+,·)là một không gian vectơ trên Rhay R-không gian vectơ, hay một cách đơn
giản, không gian vectơ.
Ví dụ 1
Trong không gian R3, cho các vectơ u= (1;2;3), v = (4;0;1). Ta có
u+v= (1;2;3)+(4;0;1) = (1+4;2+0;3+1) = (5;2;4),3·u= 3·(1;2;3) = (3;6;9),
3u−2v= (3;6;9) + (−8;0;−2) = (−5;6;7).
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1142-CHƯƠNG 3 5/29 2025 5/29