CHƯƠNG 1. ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
§2. ĐỊNH THỨC của MA TRẬN VUÔNG
LÊ QUÍ DANH
danh.lequi@uah.edu.vn
KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN
ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
Ngày 22 tháng 9 năm 2021
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §1. MA TRẬN 22/9/2021 1/27
Nội dung
1Cách tính định thức của ma trận vuông
Công thức khai triển định thức
Quy tắc Sarrus
Định thức và các phép biến đổi sơ cấp
Một số tính chất của định thức
2Định thức và ma trận nghịch đảo
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §1. MA TRẬN 22/9/2021 2/27
1. CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC
1.1. Công thức khai triển định thức
Cho A= (aij)n×n∈Mn(R). Định thức của A, ký hiệu |A|
hoặc det(A), là một số thực được tính như sau:
Trường hợp n= 1.Ta có A= (aij)1×1= (a11). Khi đó
|A|=a11.
Trường hợp n > 1.
Ký hiệu A(i|j)là ma trận có được từ Abằng cách xoá đi
dòng ivà cột j. Khi đó A(i|j)∈M(n−1)×(n−1)(K).
Với 1≤i,j ≤n, giá trị cij = (−1)i+j.|A(i|j)|được gọi là phần
bù đại số của aij.
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §1. MA TRẬN 22/9/2021 3/27
Công thức tính |A|theo dòng
|A|dòng i
===== n
X
j=1 aijcij=ai1ci1+ai2ci2+· · · +aincin
Công thức tính |A|theo cột
|A|cột j
==== n
X
i=1 aijcij=a1jc1j+a2jc2j+· · · +anjcnj
Chú ý.
Vì Acó ndòng và ncột nên |A|có 2n“công thức” tính.
Dù tính bằng “công thức” nào thì giá trị |A|là duy nhất.
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §1. MA TRẬN 22/9/2021 4/27
Ví dụ 1.
Tính
a b
c d
.
Tính theo dòng 1:
a b
c d
dòng 1
====== a.(−1)1+1
a b
c d
+b.(−1)1+2
a b
c d
=ad −bc
Tính theo cột 2:
ab
cd
cột 2
===== b.(−1)1+2
a b
c d
+d.(−1)2+2
a b
c d
=−bc +da
LÊ QUÍ DANH (Khoa KHCB) §1. MA TRẬN 22/9/2021 5/27