Chương 4
ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
KHOA TOÁN - TIN
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
2025
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1142-CHƯƠNG 4 1/65 2025 1 / 65
Nội dung Chương 4
Nội dung Chương 4
1Khái niệm ánh xạ tuyến tính
2Ma trận của ánh xạ tuyến tính
3Trị riêng và vectơ riêng
Mục tiêu
-Kiến thức: Sinh viên hiểu được khái niệm ánh xạ tuyến tính và ma trận của ánh xạ tuyến
tính, mối quan hệ giữa ma trận và ánh xạ tuyến tính, khái niệm giá trị riêng, vectơ riêng
và ma trận chéo hoá được, toán tử chéo hoá được.
-Kỹ năng: Nhận biết ánh xạ tuyến tính; tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính tương ứng với
cặp cơ sở bất kỳ; thực hiện chéo hoá ma trận và toán tử tuyến tính chéo hoá được.
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1142-CHƯƠNG 4 2/65 2025 2 / 65
1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH
Nội dung
1.1 Định nghĩa
1.2 Ví dụ
1.3 Tính chất của ánh xạ tuyến tính
1.4 Hạt nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
1.5 Hạng của ánh xạ tuyến tính
1.6 Đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1142-CHƯƠNG 4 3/65 2025 3 / 65
1.1 Định nghĩa
Cho m,n là hai số nguyên dương.
Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Ánh xạ f:Rn→Rmđược gọi là ánh xạ tuyến tính nếu nó có hai tính chất sau:
i) f(u+v) = f(u) + f(v),∀u,v ∈Rn,
ii) f(ku) = kf(u),∀k∈R,∀u∈Rn.
Khi m=n, ánh xạ tuyến tính f:Rn→Rnđược gọi là một toán tử tuyến tính (hay phép
biến đổi tuyến tính) của không gian vectơ Rn.
Chú ý 0.1
Từ định nghĩa ta dễ dàng suy ra rằng ánh xạ f:Rn→Rmlà ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi
f(ku +lv) = kf(u) + lf(v)
với mọi u,v ∈Rnvà k,l ∈R.
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1142-CHƯƠNG 4 4/65 2025 4 / 65
1.2 Ví dụ
Các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính:
1. Ánh xạ không f:Rn→Rm,f(v) = θRmvới mọi v∈Rn.
2. Với α∈Rbất kỳ, ánh xạ f:Rn→Rn,f(v) = αv ∀v∈Rnlà một phép biến đổi tuyến
tính.
Đặc biệt α= 1 thì phép biến đổi này trở thành phép đồng nhất của Rn, tức là nó giữ
nguyên mọi phần tử của Rn, kí hiệu là IdRn.
3. Phép chiếu f:R2→R2,f(x,y) = (x,0).
4. Ánh xạ f:R2→R,f(x,y) = 2x+ 3y.
5. Ánh xạ f:R3→R2được xác định bởi
f(x1,x2,x3) = (x1−3x2+x3,x1+ 2x3).
Khoa Toán - Tin (HUST) MI1142-CHƯƠNG 4 5/65 2025 5 / 65